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RIMBORSO DI UN PRESTITO. Rimborso di un prestito Un prestito, o mutuo, presenta una sola entrata monetaria iniziale (capitale preso a prestito) seguita.

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1 RIMBORSO DI UN PRESTITO

2 Rimborso di un prestito Un prestito, o mutuo, presenta una sola entrata monetaria iniziale (capitale preso a prestito) seguita da una (rimborso globale finale) o più uscite monetarie (rimborsi parziali). Le modalità mediante le quali un prestito può essere rimborsato, o ammortizzato, si distinguono in:  rimborso globale finale  rimborso globale con interessi periodici  rimborso graduale o ammortamento

3 TIPOLOGIA  rimborso globale finale Capitale e interessi vengono restituiti alla scadenza. (in genere utilizzato per prestiti di breve durata).  rimborso globale con interessi periodici Capitale restituito alla scadenza, interessi periodici. Gli interessi I1, I2,..., In, maturati nei vari periodi, vengono corrisposti periodicamente, in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene rimborsato integralmente alla scadenza. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.  rimborso graduale o ammortamento Capitale e interessi restituiti periodicamente. Consiste nella corresponsione periodica degli interessi e restituzione graduale del capitale. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.

4 Rimborso globale finale  Nel regime ad interesse semplice  Nel regime ad interesse composto  Nel regime ad interesse anticipato, all’epoca iniziale il debitore riceve l’importo dove d è il tasso di sconto periodale.

5 Rimborso globale con interessi periodici Nel rimborso globale con interessi periodici, il debitore riceve all’epoca iniziale il capitale S preso a prestito, da rimborsarsi in un’unica soluzione alla scadenza con versamento periodico degli interessi I k sull’intero importo S al tasso periodale di interesse i o di sconto d.

6 Pertanto, gli esborsi totali alle varie scadenze risultano, per pagamenti posticipati degli interessi e, per pagamenti anticipati degli interessi, Rimborso globale con interessi periodici

7 Ammortamento L’importo di ciascuna rata R k è costituito da: quota capitale, C k ) destinata alla restituzione (parziale o totale) della somma mutuata, quota interesse, I k ) che remunera il capitale effettivamente disponibile nel periodo considerato:

8 Schema di un piano di ammortamento Epoca k Rata di rimborso R k Quota capitale C k Quota inter I k Debito residuo D k Debito estinto E k 0...… S0 1 2 n … 0S

9 GRANDEZZE CARATTERISTICHE Epoca k Indicata con t 0, t 1,..., t n (o più semplicemente con 0, 1,..., n, nel caso di rendite periodiche equintervallate) corrisponde ai tempi in cui vengono effettuati i pagamenti. Rata di rimborso R k Si indica con R k (k = 0, 1, 2,..., n) e rappresenta la somma da corrispondere periodicamente da parte del debitore. Quota capitale C k Si indica con C k (k = 1, 2,..., n) e rappresenta la quota con cui viene rimborsato, all’epoca k, il capitale mutuato S. Quota interesse I k Si indica con I k (k = 1, 2,...., n) in caso di pagamenti posticipati (anticipati) e rappresenta gli interessi, maturati tra l’epoca k – 1 e k sul debito residuo D k – 1 (D k ), ossia sulle quote capitale non ancora rimborsate all’epoca k – 1.

10 Debito residuo D k Si indica con D k (k = 0, 1, 2,..., n) e indica, con riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di quote capitale C k, (k = 0, 1, 2,..., n) ancora da rimborsare a tale epoca. All’epoca iniziale, quando viene concesso il prestito S, il debito residuo sarà uguale all’intero ammontare del capitale prestato perché non si è ancora provveduto a rimborsare alcuna quota capitale. Debito estinto E k Si indica con E k (k = 0, 1, 2,..., n) e indica, con riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di quote capitali C k (k = 0, 1, 2,..., n), già rimborsata a tale epoca. GRANDEZZE CARATTERISTICHE

11 RELAZIONI FONDAMENTALI Ogni quota interesse (posticipata) è proporzionale al debito residuo del periodo precedente secondo il tasso periodale di interesse i. La rata è la somma di quota capitale e quota interesse Debito estinto e debito residuo in k>0:

12 Ogni quota capitale va a diminuire il debito residuo e a incrementare il debito estinto. La somma del debito estinto e di quello residuo rimane costante per ogni epoca k e pari al capitale iniziale. RELAZIONI FONDAMENTALI Debito estinto e debito residuo in t=0 e t=n:

13 Condizione di chiusura elementare del piano di rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al capitale preso a prestito S. Condizione di chiusura finanziaria del piano di rimborso o condizione di equità: la somma dei valori attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S. RELAZIONI FONDAMENTALI

14 Tipi particolari di ammortamento Americano: il capitale finale è costituito in modo progressivo su un fondo collaterale  Francese: le rate sono costanti  Italiano: le quote capitale sono costanti

15 Ammortamento americano L’ammortamento di tipo americano prevede: un’operazione di rimborso globale con interessi periodici calcolati al tasso periodale i; Un’operazione di costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q, consenta all’epoca n di scadenza del prestito, di poter disporre di un capitale di importo pari all’ammontare S del prestito, sulla base del tasso i, (solitamente inferiore a i).

16 Il debitore, all’epoca k (< n) subisce un esborso complessivo: S k = iS + Q k - interessi iS corrisposti periodicamente e posticipatamente al creditore al tasso di interesse periodale i, - quota di costituzione Q k Inoltre, alla scadenza finale n: Ammortamento americano

17 nel caso di versamenti posticipati di importo costante Q, capitalizzati in regime composto al tasso periodale i’, dovrà valere: Quindi il versamento periodale sarà pari a: AMMORTAMENTO A DUE TASSI: tasso i di remunerazione per l’operazione di rimborso prestito e tasso i' di accumulazione Ammortamento americano

18 Esempio La tabella seguente mostra un piano di ammortamento americano di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni i = 12% e i' =10%.

19 ESEMPIO AnnoQuote interessi Debito residuo VersamentoFondoEsborso , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50

20 AMMORTAMENTO FRANCESE L’ammortamento di tipo francese, o a rata costante o progressivo, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda n rate posticipate di ammortamento alle varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R. L’importo R delle rate è determinato in base al principio di equivalenza finanziaria, ovvero mediante l'uguaglianza dei valori attuali

21 AMMORTAMENTO FRANCESE Relazioni notevoli: Le quote capitale crescono in progressione geometrica di ragione (1 + i)

22 Esempio La tabella seguente mostra un piano di ammortamento francese di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i = 12%.

23 ESEMPIO AnnoRataQuota capitaleQuota interesseDebito residuoDebito estinto , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,57.655, , , , ,66.450, , , , ,35.101, , , , ,03.598, , , , ,11.896,300, ,50 R k =S  n|i C k =R k -I k I k =iD k-1 E k =E k-1 +C k D k =D k-1 -C k C k =C 1 (1+i) k-1 C 1 =S  n|i

24 Relazione tra piano di ammortamento francese e americano L’ammortamento americano non prevede, a differenza dell’ammortamento francese, un effettivo rimborso graduale del capitale mutuato, ma una serie di versamenti su un fondo collaterale, atti a costituire, alla scadenza, il capitale necessario al rimborso totale del prestito. L’esborso periodico costante, dato dalla somma della quota interessi e della quota di costituzione del capitale mutuato risulta uguale a quello previsto per un corrispondente piano di ammortamento francese qualora sia i = i.

25 Ammortamento italiano L’ammortamento di tipo italiano, o uniforme, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo. Nell’ammortamento di tipo italiano, all’epoca iniziale il debitore prende a prestito la somma S convenendo il rimborso della stessa mediante il versamento delle rate alle rispettive scadenze in modo tale che sia:

26 affinché sia soddisfatta la condizione elementare di chiusura: Ammortamento italiano

27 Debito residuo e debito estinto variano in progressione aritmetica rispettivamente di ragione -Q e Q Relazioni notevoli

28 Le quote interessi e le rate decrescono in progressione aritmetica di ragione -iQ;

29 Esempio La tabella seguente mostra un piano di ammortamento italiano di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i = 12%.

30 ESEMPIO AnnoRataQuota capitale Quota interesseDebito residuoDebito estinto R k =C k +I k C k =S/10 I k =iD k-1 E k =E k-1 +C k D k =D k-1 -C k

31 Usufrutto e nuda proprietà ogni rata è la somma di due componenti: - remunerazione del debito residuo (la quota interesse) - parziale rimborso del debito residuo (la quota capitale) Può accadere che queste due componenti debbano essere valutate separatamente. (es. estinzione anticipata del debito e la corresponsione di interessi e quote capitale vada a soggetti diversi) Si definisce usufrutto il valore attuale delle quote interesse ancora da corrispondere e nuda proprietà il valore attuale delle analoghe quote capitale.

32 La somma V s, all’epoca s, che il debitore deve corrispondere al creditore è uguale al valore attuale delle rate ancora da rimborsare, calcolato ad un tasso i convenuto. Usufrutto e nuda proprietà

33 Estinzione anticipata di un prestito Nel caso particolare dell'ammortamento francese: se i due tassi coincidono, il valore di riscatto che il debitore deve corrispondere al creditore è uguale al debito residuo.

34 Estinzione a epoca intermedia Se i = i', si ha Se l’estinzione avviene in un’epoca intermedia

35 esempio Un prestito di Euro deve essere rimborsato mediante 20 pagamenti annuali costanti posticipati al 13%. La rata d’ammortamento è Euro 8541,20. Quattro mesi dopo il pagamento della sesta rata si richiede il riscatto del debito che viene concesso al tasso annuo del 12%. Se il riscatto viene concesso al tasso del 13%, si ha

36 Esercizio 1 Un debito di Euro è rimborsabile secondo rate costanti in 10 anni al tasso dell’8%. Determinare la rata, quota capitale e quota interesse e il debito residuo all’anno 4. R=1490,3 I 4 =R-C 4 =620,73

37 Esercizio 2 Un debito di Euro sarà rimborsato in 8 anni con ammortamento italiano al tasso di interesse annuo del 8%. Determinare la quota capitale la rata e l’ammontare del debito residuo all’anno 5. C=48000/8=6000 D 5 = *6000=18000 I 5 =0,08*D 4 =0.08*24000=1920 R 5 =7920

38 Esercizio 3 Calcolare l’ammontare del versamento annuale, della rata e del fondo di costituzione all’anno 5 di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni con ammortamento americano al tasso i = 12% e i' =10%. interessequota capratafondo ,279137,273137, ,279137,276588, ,279137, , ,279137, , ,279137, , ,279137, , ,279137, , ,279137, , ,279137, , ,279137, I=i*S=0.12*50.000=6000 C=S/s 10|0,1 =3137,27 R=C+I= ,27=9137,27 F 5 =Cs 5|0,1 =19153,35

39 esercizi ACD: cap.7 es.7.1, 7.4, 7.16, 7.18, 7.21 BC: cap.3 es.3,4,7,10


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