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INSOLUBILITA DEL X PROBLEMA DI HILBERT Tania Notarantonio Luglio 2002.

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Presentazione sul tema: "INSOLUBILITA DEL X PROBLEMA DI HILBERT Tania Notarantonio Luglio 2002."— Transcript della presentazione:

1 INSOLUBILITA DEL X PROBLEMA DI HILBERT Tania Notarantonio Luglio 2002

2 Il problema diofanteo Unequazione diofantea è unequazione della forma: E 0 (x 1,…,x n ) = E 1 (x 1,…,x n ) dove E 0, E 1 sono poly(nomi) a coefficienti interi positivi. poly::=monom| |monom+monom monom::=NAT|VAR| |monom. monom NAT::=(1|2|…|9)(0|1|2|…|9) * VAR::=x|y|z|u|v|w|VAR NAT Unequazione diofantea esponenziale è una equazione della forma: E 0 (x 1,…,x n ) = E 1 (x 1,…,x n ) dove E 0, E 1 sono polinomi esponenziali (polyexp) a coefficienti interi positivi. polyexp::=monom| |monom+monom monom::=NAT|VAR| |monom. monom| |monom monom

3 0 -3 Esempio Data lequazione: (x+2) 2 = 1 + 7y 2 il cui grafico è il seguente: Sue soluzioni intere sono: (-1,0),(-3,0). Ci chiediamo se esistono soluzioni sui naturali: una breve ricerca rivela che (6,3) è soluzione intera positiva per lequazione data. Cercare soluzioni intere / naturali sono sottoproblemi del cercare soluzioni reali ma non per questo risulta essere più banale.

4 ALGORITMO DI DECISIONE Il X problema di Hilbert era: trovare un metodo per determinare se una equazione diofantea data ha soluzioni su. E 0, E 1 si no

5 (u+1 )2+ ( w+1) 2 z2z2 :questo problema specifica le terne pitagoriche: x 2 + y 2 = z 2, dove x,y,z > 1

6 (u+1 )w+3 + (v+1) w+3 z w+3 :grazie al grande teorema di Fermat dimostrato nel 1995 Lenigma di Fermat LUltimo teorema di Fermat o enigma di Fermat afferma che non esistono numeri interi positivi legati dalla relazione: x n + y n = z n con n > 2

7 INDICE » casi decidibili emblematici » riduzione del X a » idea chiave della dimostrazione di insolubilità: insiemi diofantei; insiemi diofantei esponenziali; insiemi r.e. ( listabili ). » insolubilità del X ( gödelizzazione, argom. diagonale ) » questioni aperte limitazione alla forma normale di Davis ampliamento del X a D E R ? ?

8 Sottoproblemi classici (risolti) del X. equazioni lineari: ax + by = c con a, b, c > 0 equazioni di Pell: x 2 - (b 2 - 1) y 2 = 1 con b > 0 C.N.S. per la risolubilità di è che M.C.D(a,b) | c ; ha sempre infinite soluzioni. ricade come caso particolare nella decidibilità dellaritmetica additiva (Presburger, 1929). Sia che ricadono nella decidibilità di equazioni di 2° grado.

9 Riduzione di altri problemi al diofanteo

10 Congettura di Martin Davis (1953) Def.: (rappresentazione diofantea di un insieme S) Si dice diofanteo un insieme S associato a un polinomio parametrico diofanteo D come segue: (a 1, …, a n ) S x 1, …, x m D(a 1, …, a n, x 1, …, x m ) = 0 (n si chiama dimensione di S) Congettura: le nozioni diofanteo si equival- di insieme ricorsivamente enumerabile gono Dalla dimostrazione di questa discese, nel 1970, linsolubilità del X problema di Hilbert.

11 CRESCITA ESPONENZIALE Paradigma di ricorrenza: b (0) = 1 b (n+1)=b. b (n) a=b c a = b (c) Varianti: b (n) = b (n) = n per n = 0,1 b (n+2) = b (n+1) + b. b (n) b (n+2) = b (n+1) - b. b (n) n = 1 (n) [seq. Fibonacci] La diofantinità di a = b c discende da quella di una delle segg. relazioni: v = 2u (1970); a = b (c) (1970); a = b (c) (1993)

12 Ecco il modo in cui Davis (1973) rappresenta la relazione m = n k con m,n,k > 0: pell(c,x,y) Def x 2 - (c 2 - 1). y 2 = 1 pell(a,x,y) pell(a,u,v) pell(b,s,t) b > a > 1 y k > 0 b > 4y 4y | b - 1 v > 0 y 2 | v u | b - a s > x u | s - x t k 4y | t- k ( x - y. (a - n) - m) 2 = f 2. (2a. n - n 2 - 1) 2 2a. n - n > m > 0 pell(w,a,(w - 1). (g + 1)) w > n > 0 w > k

13 Corollari della diofantinità di m = n k r.e secondo Turing Gli insiemi diofantei esponenziali coincidono... diofantei Per altra via: gli insiemi diofantei sono chiusi rispetto alla quantificazione limitata ( y) y x le funzioni diofantee sono tutte e sole le ricorsive.

14 poly(N,P) :- natural(N), !, M is N mod 3, (M==0 -> M1=3; M1=M), I is (N-M1) //3, (N==0-> P=1; M==1 -> name(I,S), [X] = "x", name(P,[X|S]) ;cantor(L,R,I), poly(L,PL), poly(R,PR), ( M==2 -> P=PL+PR; P=PL*PR )). poly(0,1). poly(N,Xi) :- atom(Xi), name(Xi,[X|S]), [X]="x", name(I,S), N is 3*I+1. poly(N,P+Q) :- poly(L,P),poly(R,Q), cantor(L,R,C), N is 3*C+2. poly(N,P*Q) :- poly(L,P),poly(R,Q), cantor(L,R,C), N is 3*C+3. Gödelizzazione di polinomi - I

15 Gödelizzazione di polinomi - II % l'N-simo numero triangolare e`... triang(N,T) :- natural(N), !, T is (N*(N+1)) // 2. %…la somma T= N triang(0,0). triang(Np1,TT) :- triang(N,T), Np1 is N+1, TT is T+Np1. cantor(L,R,C) :- natural(L), !, LpR is L+R, triang(LpR,T), C is T+R. cantor(L,R,C) :- triang(N,T), (T==C -> L=N,R=0; T>C -> R is C-T+N, L is N-1-R), !. Indicheremo con L(n), R(n) le projez. associate alla funzione di abbinamento, i.e., cantor(L(n), R(n), n)

16 Argomento diagonale contro la risolubilità del X Ora sappiamo gödelizzare i poly involgenti la sola costante 1 e, come variabili, le x 0, x 1, x 2,... : n | P n (x 0, x) Di qui una enumerazione effettiva D 0, D 1, D 2,… di tutti i sottinsiemi diofantei di : D n = { x 0 | x P L(n) (x 0, x)= P R(n) (x 0, x)} Possiamo trovare polynomi P L(n*) (x 0, x), P R(n*) (x 0, x) anche per linsieme, che si dimostra diofanteo, { k | R(k) D L(k) } (=D n* ) mentre è, evidentemente, non diofanteo il = { h | h D h } -->-->-->

17 Argomento diagonale contro la risolubilità del X -->-->--> Se per assurdo potessimo risolvere il X, allora avremmo modo di verificare se R(k) D L(k), ossia x P L(n*) (x 0, x) = P R(n*) (x 0, x) o no; sarebbero dunque ricorsive la funzione D h (x) (di h ed x) e la 1- D x (x) funzione caratteristica di, che dunque sarebbe diofanteo, contraddizione.

18 TEOREMA: indecidibilità forte del X problema Esistono un polinomio diofanteo V(x 0, x 1, …,x m ) e una funzione calcolabile tot. a tali che nessun algoritmo A dia risposta corretta circa la risolubilità su dellequazione V(a( A ), x 1, …,x m ) = 0 : A(a( A )) SI x 1, …,x m V(a( A ), x 1, …,x m ) = 0 Già la famiglia V(b, x 1, …,x m ) = 0, con b di equazioni diofantee è dunque indecidibile. Compromesso fra il grado d di V e il numero massimo m di incognite: luno può essere reso più piccolo a costo di accrescere laltro. Ecco alcuni record: ( d,m ) = ( 4, 58 ), ( 8, 38 ), ….., ( , 9 )

19 Limitazione alla FORMA NORMALE di Davis La chiusura dei diofantei rispetto ad ( y) y x, derivabile dalla diofantinità di m = n k, era stata individuata come possibile chiave per rispondere negativamente al X, grazie alla scoperta di una rappresentazione degli r.e., nota come forma normale di Davis: z ( y) y z x 1, …, x h P(y,z, x 1, …, x h ) = 0 Grazie alla diofantinità di m = n k, oggi sappiamo che h 2. Può essere fissato h=1 ?

20 X in ambienti numerici diversi da Risolvere una equazione: D( X 1,….., X m ) = 0 nelle X 1,….., X m su è equivalente a risolvere lequazione: D((x 1 -y 1 )/(z+1),….., (x m -y m )/(z+1)) = 0 nelle incognite x 1, y 1,…..,, x m, y m, z su +. Questultima equazione è equivalente alla seguente equazione omogenea: (z+1) d D((x 1 -y 1 )/(z+1),….., (x m -y m )/(z+1)) = 0 dove d è il grado del polinomio D.

21 Due problemi interriducibili: stabilire se una equazione diofantea ha soluzione in ; stabilire se una equazione diofantea omogenea ha solu- zioni non-banali in. Le equazioni sono una sottoclasse delle equazioni diofantee ed è pertanto possibile che questa sottoclasse ridotta sia decidibile. Inteso in senso largo il X problema di Hilbert rimane ancora aperto. In senso stretto, così come è stato letteralmente formulato, risulta chiuso grazie ai contributi di Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson e Yuri Matiyasevi č.


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