La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Sistemi compatibili ( Il metodo di Fourier-Motzkin ) Claudio Arbib Università degli Studi di L’Aquila.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Sistemi compatibili ( Il metodo di Fourier-Motzkin ) Claudio Arbib Università degli Studi di L’Aquila."— Transcript della presentazione:

1 Sistemi compatibili ( Il metodo di Fourier-Motzkin ) Claudio Arbib Università degli Studi di L’Aquila

2 Sommario Sistemi di disequazioni lineari e poliedri Sistemi compatibili Disequazioni implicate Proiezione di un poliedro –Definizione –Esempi Teorema di Fourier Algoritmo di Fourier-Motzkin Applicazioni

3 Poliedri Definizione: Siano a  IR n, b  IR. L’insieme H = {x  IR n : ax = b}  IR n si dice iperpiano. L’insieme S = {x  IR n : ax < b}  IR n si dice semispazio chiuso. Definizione: L’intersezione di un numero finito m di semispazi chiusi di IR n definisce un poliedro di IR n. Quindi  A  IR m  n, b  IR m l’insieme P(A, b) = {x  IR n : Ax < b}  IR n definisce un poliedro. In particolare, , H, S, IR n sono poliedri.

4 Poliedri e insiemi convessi Definizione: Osserviamo che non tutti i poliedri di IR n si possono rappresentare algebricamente con un sistema di disequazioni lineari. Ad esempio questa stella: Definizione: S  IR n è convesso se, comunque si prendano y, z  S, il punto x =  y + (1 –  )z  S per ogni scelta di  in [0, 1]. Teorema: P(A, b) è un poliedro convesso. Dimostrazione: Siano y, z  P(A, b), cioè Ay 0: quindi servendosi dell’ipotesi su y e z si può scrivere  Ay + (1 –  )Az <  b + (1 –  )b = b. Perciò x  P(A, b). P

5 Disequazioni implicate Definizione:  x   è una disequazione implicata dal sistema Ax  b se ogni x che soddisfa Ax  b soddisfa anche  x   3x 1 + x 2  2 x1x1 x2x2 S x 2  0 x 1 + 2x 2  1 x 1  0 5x 1 + 5x 2  4

6 Disequazioni implicate Definizione: Sia P un sistema di disequazioni in IR n e P l’insieme delle sue soluzioni. Allora P è minimale se la rimozione di una sua qualsiasi disequazione restituisce un sistema il cui insieme di soluzioni contiene propriamente P. Definizione:  x   è combinazione conica delle disequazioni Ax  b  {a i x  b i, i = 1, …, m} se e solo se ( ,  ) =  i (a i, b i ) i  0 Proposizione: Ogni disequazione ottenuta come combinazione conica di Ax  b è una disequazione implicata.

7 Disequazioni implicate = (0, 0, 1, 0.5) Esempio: 3x 1 + x 2  1 x 2  0 x 1 + 2x 2  1 x 1  0 (  1, 0, 0) ( 0,  1, 0) ( 1, 2, 1) ( 3, 1, 2) (2.5, 2.5,1.5) x1x1 x2x2 S 2.5x x 2  = 0 +

8 Sistemi compatibili Definizione: Un sistema di disequazioni lineari (= poliedro convesso) si dice compatibile (incompatibile) se (non) ammette soluzione. Problema: Stabilire se un dato poliedro P = P(A, b) è o no compatibile Principio: Ciò che esiste, fa ombra (Corollario: i vampiri non esistono)

9 Proiezione di un poliedro Definizione: Sia P  IR n un poliedro. Un insieme P’  IR n–1 si dice proiezione di P nel sottospazio delle variabili x 1, …, x k–1, x k+1,…, x n se 1)  w = (w 1, …, w k–1, w k+1, …, w n )  P’  z  IR tale che (w 1, …, w k–1, z, w k+1, w n )  P 2)  u = (u 1, …, u k–1, u k, u k+1,…, u n )  P il vettore (u 1, …, u k–1, u k+1,…, u n )  P’ Esempio: P:x 1 > 0, x 2 > 0, 3x 1 + 2x 2 < 6 P’ :0 < x 1 < 2 poniamo z = (6 – 3x 1 )/2 > 0  x 1  P’ evidentemente (x 1, (6 – 3x 1 )/2)  P  x 1  P’

10 Proiezione di un poliedro Esempio: P :x 1 > 0 x 2 > 03x 1 + 2x 2 < 6 P’:0 < x 1 < 2  x 1  P’,  z: (x 1, z)  P  P’ è proiezione di P P P’

11 Proiezione di un poliedro Esempio: P :x 1 > 0x 2 > 13x 1 + 2x 2 < 6 P’:0 < x 1 < 2  y  P tale che y 1 = 2  P’ non è proiezione di P perché non è verificata la (1) P P’

12 Proiezione di un poliedro Esempio: P :x 1 > 0x 2 > 13x 1 + 2x 2 < 6 P’ :0 < x 1 < 4/3 P’ è proiezione di P P P’

13 Proiezione di un poliedro Esempio: P :x 1 > 0x 2 > 13x 1 + 2x 2 < 6 P’ :0 < x 1 < 1  (u 1, u 2 )  P: u 1  P’  P’ non è proiezione di P perché non è verificata la (2) P P’

14 Teorema di Fourier Sia dato il poliedro P a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n < b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n < b 2 … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n < b m Dividiamo l’insieme delle righe R in 3 sottoinsiemi: R 0 = {i  R: a i1 = 0}, R + = {i  R: a i1 > 0}, R – = {i  R: a i1 < 0} Costruiamo un nuovo poliedro P’ contenente: 1)tutte le diseguaglianze di R 0 2)una diseguaglianza per ogni elemento in R +  R –

15 Teorema di Fourier Una disequazione del tipo (2) è associata a una riga h  R + e una riga k  R – a h1 x 1 + a h2 x 2 + … + a hn x n < b h a k1 x 1 + a k2 x 2 + … + a kn x n < b k ah1ah1 ah1ah1 ( + ) x 1 + ( + ) x 2 + … + ( + ) x n < ( + ) ak1ak1 |a k1 | ah2ah2 ah1ah1 ak2ak2 a hn ah1ah1 a kn |a k1 | bhbh ah1ah1 bkbk riga h riga k La disequazione di P’ si ottiene per combinazione conica delle due –dividendo la prima per a h1 –dividendo la seconda per |a k1 | –sommandole insieme

16 Teorema di Fourier Il nuovo sistema di disequazioni P’ non contiene la variabile x 1 Teorema (Fourier) P’ è una proiezione di P nello spazio delle variabili x 2, …, x n. Dimostrazione Sia w = (w 2, …, w n )  P’. Dobbiamo mostrare che esiste uno scalare z tale che (z, w 2, …, w n )  P. Per ogni i  R 0 si ha a i2 w 2 + … + a in w n < b i Per ogni h  R +, k  R – si ha inoltre ( + ) w 2 + … + ( + ) w n < ( + ) ah2ah2 ah1ah1 ak2ak2 |a k1 | a hn ah1ah1 a kn |a k1 | bhbh ah1ah1 bkbk

17 Teorema di Fourier ( seguito ) Riscriviamo l’ultima condizione + … + – < – – ah2w2ah2w2 ah1ah1 a k2 w 2 |a k1 | a hn w n ah1ah1 a kn w n |a k1 | bhbh ah1ah1 bkbk Al variare di k in R – (di h in R + ) il primo (secondo) membro descrive una classe C (una classe D) di numeri reali, e tutti gli elementi di C risultano < degli elementi di D Dunque esiste un elemento di separazione z tale che: + … + – < z a k2 w 2 |a k1 | a kn w n |a k1 | bkbk k  R–k  R– z < – – ah2w2ah2w2 ah1ah1 a hn w n ah1ah1 bhbh ah1ah1 h  R+h  R+

18 Teorema di Fourier ( seguito ) Le ultime due disequazioni si possono riscrivere: a k1 z + a k2 w 2 + … a kn w n < b k  k  R – Inoltre,  i  R 0 si ha a h1 z + a h2 w 2 + … a hn w n < b h  h  R + 0z + a i2 w 2 + … a in w n < b i Ne segue che (z, w 2, …, w n )  P Viceversa, siccome P’ è fatto di disequazioni implicate da P, ogni soluzione di P è soluzione anche di P’. Fine della dimostrazione

19 Algoritmo di Fourier-Motzkin Il Teorema di Fourier permette di ridurre il problema di decidere se un poliedro è o meno vuoto a quello di decidere se è o meno vuota una sua proiezione Poiché la proiezione di un poliedro è ancora un poliedro, il teorema può essere ripetutamente applicato, fino a pervenire a un poliedro del quale sia semplice decidere Ad esempio, si può applicare il teorema n – 1 volte: in questo caso il poliedro risultante P (n–1) sarà un intervallo dell’asse reale, eventualmente vuoto o illimitato Ovvero, si può applicare il teorema per n volte: in questo caso il poliedro risultante P (n) avrà la forma 0·x < t. Si danno allora 2 casi: –se t > 0, P (n) è banalmente compatibile, in quanto descrive l’intero IR n, e quindi anche P è compatibile; –se esiste un indice i tale che t i < 0, allora P (n) è banalmente incompatibile, e così P.

20 Applicazioni Il metodo di eliminazione di Fourier-Motzkin si può applicare per –Decidere se un poliedro è vuoto oppure no –Costruire la rappresentazione implicita di conv(S) per un insieme finito S  IR n –Risolvere un problema di Programmazione Lineare


Scaricare ppt "Sistemi compatibili ( Il metodo di Fourier-Motzkin ) Claudio Arbib Università degli Studi di L’Aquila."

Presentazioni simili


Annunci Google