La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Napoli.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Napoli."— Transcript della presentazione:

1 Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Napoli

2 Pitagora utilizzando… …l’inversione circolare

3 Euclide e “Gli Elementi” Negli Elementi Euclide parte da postulati formula proposizioni le dimostra utilizzando postulati o proposizioni precedentemente dimostrate. Alla fine del Primo libro Euclide dimostra il teorema di Pitagora con una serie di equivalenze di figure, senza utilizzare i concetti di rapporto e di proporzione.

4 TEOREMA DI TOLOMEO Sia ABCD un quadrilatero ciclico. Allora: AB * CD + BC * AD = AC * BD.

5 Trasformazioni del piano Una trasformazione del piano è un’applicazione biunivoca del piano in sé. Un’importante trasformazione del piano è l’isometria che conserva le distanze tra i punti. Si può provare che manda rette in rette e conserva il parallelismo.

6 Inversione Circolare Assegnata, nel piano euclideo, una circonferenza Γ di centro O e raggio r, si definisce inversione circolare rispetto a Γ la trasformazione f Γ che associa ad ogni punto P del piano, distinto da O, il punto P’ appartenente alla semiretta OP e tale che il prodotto delle distanze di P e P’ da O sia uguale a r², cioè: OP*OP' = r². Osserviamo che f Γ non è una trasformazione del piano, ma del piano privato del punto O, e in tale sottoinsieme è biunivoca. f Γ non è una isometria.

7 L’Inversione Circolare Una circonferenza passante per O si trasforma in una retta non passante per O gode delle seguenti PROPRIETA’: Una circonferenza non passante per O si trasforma in una circonferenza non passante per O Una retta non passante per O si trasforma in una circonferenza passante per O privata del punto O Una retta passante per O si trasforma in se stessa È involutoria

8 Dove vanno le circonferenze passanti per il centro? Nel 1864 Peaucellier costruisce un apparecchio e riesce a verificare l’importante proprietà: una circonferenza Ω passante per il centro O di una inversione circolare rispetto a Γ viene mandata da f Γ nell'asse radicale delle due circonferenze Γ e Ω. Si costruisce la circonferenza Γ di inversione di centro O. Si disegna la circonferenza Ω passante per O e si applica l’inversione circolare ad un suo qualsiasi punto P, ottenendo P'. Al variare di P sulla circonferenza Ω, P’ descrive una retta: l'asse radicale delle due circonferenze.

9 Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l’Inversione Circolare (parte 1) Lemma: siano P',Q' le controimmagini di P,Q. Allora: P'Q' = PQ * r² /(OP*OQ) Dim: dalla definizione di inversione e da uno dei criteri di similitudine segue che i triangoli OPQ e OP’Q’ sono simili. Si ha quindi P’Q’:PQ=OQ’:OP. Sapendo che OQ’ = r² /OQ, segue la tesi.

10 Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l’Inversione Circolare (parte 2) Indichiamo con A’, B’, C’ le immagini di A,B,C mediante l’inversione assegnata. Le immagini sono allineate, in particolare: A'B' + B'C' = A'C'. Consideriamo un generico quadrilatero OABC inscritto nella circonferenza Ω, e l’inversione circolare di centro O associata ad una circonferenza Γ, di centro O e raggio r.

11 Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l’Inversione Circolare (parte 2) Utilizzando il Lemma precedentemente dimostrato, l’uguaglianza assume la seguente forma: Moltiplicando tutti i membri per OA*OB*OC, segue la tesi.

12 ...E ora? Teorema di Pitagora: la somma dei quadrati dei cateti di un triangolo rettangolo ABC è pari al quadrato dell'ipotenusa. Dimostrazione: costruisco un punto D tale che ABCD sia un rettangolo, che è un quadrilatero inscritto in una circonferenza. La tesi segue immediatamente dal teorema di Tolomeo: infatti, tenendo conto del fatto che AB=CD, BC=AD e AC=BD, segue che:

13 Appunti e dispense distribuite nel laboratorio PLS, prof.ssa S. Dragotti; R. Courant e H. Robbins, Che cos’è la matematica, casa editrice Universale Bollati Boringhieri; circolare/;http://kchico.wordpress.com/2010/04/06/linversione- circolare/ omeccan0.php?id=5;http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/ge omeccan0.php?id=5 Bibliografia

14 Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Grazie per l’attenzione


Scaricare ppt "Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Napoli."

Presentazioni simili


Annunci Google