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1 IL PROBLEMA DEL CONTROLLO Cosa si intende per: CONTROLLARE UN SISTEMA (un Impianto o un Processo) Controllare un sistema “S” significa imporre all’uscita.

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1 1 IL PROBLEMA DEL CONTROLLO Cosa si intende per: CONTROLLARE UN SISTEMA (un Impianto o un Processo) Controllare un sistema “S” significa imporre all’uscita y(t) di tale sistema un andamento più simile possibile ad uno desiderato y des (t).

2 2 INTRODUZIONE In genere in un sistema S da controllare (chiamato anche: impianto o processo) possiamo distinguere: Se voglio controllare un sistema devo riuscire ad individuare per ogni uscita desiderata y des (t) un ingresso x(t) tale che l’uscita y(t) assuma un valore più vicino possibile a quella desiderata y des (t). - gli ingressi manipolabili x(t) - l’uscita y(t) - gli ingressi non manipolabili z(t)

3 3 Controllare un sistema significa: riuscire a realizzare un “meccanismo” tale che per ogni y des (t) genera automaticamente un ingresso di controllo x(t) il quale produce un’uscita y(t) che si avvicina il più possibile alla y des (t) In pratica Tale “meccanismo” che produce il particolare ingresso di controllo si chiama “controllore” e deve essere un dispositivo automatico

4 4 L’ingresso di controllo deve tenere conto delle caratteristiche dinamiche del sistema, delle sue variazioni nei parametri fondamentali e deve opporsi agli effetti del disturbo In genere l’uscita y(t) dipende dall’ingresso manipolabile x(t) e dal disturbo z(t) per cui passando a Laplace tale dipendenza si può scrivere Y(s) = G(s) X(s) + G z (s) Z(s) NB:La dimostrazione del motivo per cui l’uscita può essere espressa secondo tale semplice formula è difficile e necessita la conoscenza delle equazioni differenziali (meglio lasciare perdere).

5 5 Se indico con Y D (s) la trasformata dell’uscita desiderata potrei risolvere il problema risolvendo l’equazione: Y(s) = G(s) X(s) + G z (s) Z(s) Sostituendo Y D (s) al posto di Y(s) ricavo il valore dell’ingresso di controllo X(s): Il valore dell’ingresso x(t) cercato corrisponde all’antritrasformata di X(s):

6 6 Per trovare tale ingresso non bisogna valutare nulla dell’uscita (controllo ad anello aperto) ma presenta i seguenti problemi Devo avere una conoscenza perfetta del modello del sistema G(s) da controllare e tale sistema non deve variare nel tempo Devo avere una conoscenza perfetta dei disturbi e di come i disturbi agiscono sul sistema per valutare Z(s) e G z (s) IL SISTEMA DI CONTROLLO IN CATENA APERTA E’ POCO ROBUSTO

7 7 Esempio pratico: controllo di velocità di un motore C m = coppia motrice del motore Cm CrωB C r = coppia resistente (salita) B = coppia attrito (asfalto o vento) ω = velocità di rotazione dell’albero

8 8 Infatti se voglio controllare la velocità di rotazione dell’albero posso agire sulla farfalla del carburatore e generare una coppia Cm proporzionale all’angolo α della farfalla: C m = p α C m = B ω + C r La relazione che lega le grandezze è: Controllare tale motore significa avere ω = ω des Cm è l’ingresso del sistema ω è l’uscita del sistema

9 9 Il controllo a catena aperta viene fatto nella seguente maniera: Ricavo ω stimo l’attrito B* e la coppia resistente Cr*. B* ω d + C r * = B ω + C r Sostituisco tale valore di Cm nella formula generale costruisco la Cm con tali valori trovo C m = B* ω d + C r * C m = B ω + Cr ottengo

10 10 B ω = B* ω d + Cr* - Cr solo se Cioè devo avere una conoscenza perfetta dell’attrito B e della coppia resistente C r Tale sistema di controllo non è applicabile

11 11 La tecnica di controllo più efficace è la seguente Misuro la velocità ω con un tachimetro e in base alla differenza tra il valore desiderato e quello stimato applico una coppia motrice proporzionale alla differenza tra la velocità desiderata e quella misurata C m = K ( ω d - ω mis ) Sostituendo nella relazione generale C m = B ω + C r

12 12 Il misuratore di velocità commetterà un errore e quindi K ( ω des - ω mis ) = B ω + C r ω mis = ω - Δ ω K ( ω des - ω + Δ ω ) = B ω + C r Ricavo ω K ω des + K Δ ω - C r = K ω + B ω ω (K + B ) = K (ω des + Δ ω) - C r K ω des + K Δ ω - C r = ω (K + B )

13 13 Se K ha un valore elevato: Quindi se K è elevato ω = ω des + Δ ω Ma se lo strumento di misura è buono Δ ω = 0 ω = ω des

14 14 L’ipotesi di controllo precedente è stata ottenuta senza richiedere nessuna particolare conoscenza del sistema e del disturbo. In base a quanto scritto in precedenza il sistema va pilotato con una coppia C m proporzionale alla differenza tra uscita desiderata e misurata Necessita però una conoscenza perfetta dell’uscita ottenuta tramite il misuratore e per questo viene chiamata A CATENA CHIUSA C m = K ( ω d - ω mis )

15 15 L’ingresso al sistema deve essere ottenuto amplificando (con amplificazione K elevata) il segnale d’errore ( ω d - ω mis ) ω K ω mis - ωdωd ω d -ω mis sistema misuratore Occorre precisare che: tutti le grandezze in gioco (tranne l’uscita) vengono trasformate in segnali elettrici e quindi K è un amplificatore elettronico e il misuratore è un trasduttore.

16 16 In generale abbiamo Y(s) - R(s) E(s) G(s) H(s) G(s) è la f.d.t. del sistema con il controllore (il controllore è spesso ma non sempre un amplificatore) H(s) è la f.d.t. del trasduttore R(s) è la trasformata di Laplace dell’ingresso desiderato (di riferimento)

17 17 Da ora in poi parleremo dei sistemi di controllo che soddisfano alla legge Y(s) K - R(s) E(s) G(s) KcKc 1 E ci riferiremo al seguente schema che riesce a soddisfare alla precedente specifiche di controllo

18 18 Analizziamo con il metodo degli schemi a blocchi Y(s) K - R(s) E(s) G(s) KcKc 1 Ottengo per K elevato Cioè quello richiesto

19 19 Vediamo quali sono le caratteristiche (vantaggi) della retroazione La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno dalle variazioni dei parametri del sistema (diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni parametriche di G(s)) L’uscita dipende meno dai disturbi (diminuisce rapporto segnale rumore) La banda passante si allarga (maggiore prontezza del sistema) Diminuisce l’errore a regime

20 20 La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno dalle variazioni dei parametri del sistema (diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni parametriche di G(s)) Analizziamo il primo vantaggio

21 21 Cioè il diagramma di Bode di W(s) cioè del sistema reazionato rimane pressochè lo stesso anche se G(s) varia da G’(s) a G’’(s) G’(s)G’’(s) W(s) La relazione tra ingresso ed uscita W(s) è

22 22 Il diagramma di Bode di W(s) varierà comunque molto meno di G(s) In realtà la formula seguente G’(s)G’’(s) W’(s)W’’(s) è solo un’approssimazione e anche W(s) varierà

23 23 Il rapporto tra la variazione relativa di W(s) e la variazione relativa di G(s) viene chiamata “sensibilità parametrica” La “sensibilità parametrica” S è varia con la pulsazione G’(s)G’’(s) W’(s)W’’(s)

24 24 G’(s)G’’(s) W’(s)W’’(s) La “sensibilità parametrica” S vale in generale (si può dimostrare con alcuni passaggi matematici) G(s)

25 25 Esempio numerico di “sensibilità parametrica” S S = 0,001 mi dice che se G(s) si modifica dello 20% per una certa frequenza allora W(s) si modifica in un rapporto 0,001 più basso e cioè dello 0,02% generalmente S viene espresso in db e cioè 20log(S) in tale caso S = 20 log(0,001) =-60db

26 26 Analizziamo il secondo vantaggio della retroazione L’uscita dipende meno dai disturbi (diminuisce il rapporto segnale rumore)

27 27 Si abbia un disturbo dopo l’amplificatore (ricordare che gli amplificatori nei controlli non devono introdurre rumore e cioè devono essere ben fatti) Y(s) K + D(s) G(s) KcKc 1 R(s) -

28 28 Calcoliamo il valore dell’uscita dovuta al solo rumore Yd(s) K + D(s) G(s) KcKc 1 - se K è elevato Quindi anche Yd(s) = 0

29 29 Ovviamente la formula E’ un’approssimazione La funzione di trasferimento W D (s), cioè il rapporto tra il segnale d’uscita dovuto al solo rumore ed il rumore stesso, è quel parametro che viene definito “rapporto segnale rumore” N. Esso è piccolo, ma non nullo, se se K è elevato è elevato

30 30 Valutiamo il rapporto tra segnale e rumore per ogni pulsazione senza l’approssimazione precedente

31 31 Esempio numerico di “rapporto segnale rumore” N S N (ω)=0,001 mi dice che se ad una certa frequenza il rumore vale 40mV allora l’uscita è più piccola di 0,001 e cioè vale 0,04mV generalmente S N (ω) viene espresso in db e cioè 20log(N) in tale caso S N (ω) = 20 log(0,001) =-60db

32 32 Analizziamo il terzo vantaggio della retroazione La banda passante si allarga (maggiore prontezza del sistema)

33 33 G(s) W(s) 20 db BGBG BWBW KcKc L’effetto sulla banda passante viene riportato nel seguente grafico KG(s) Se KG(s) ha modulo elevato (>20db) W(s) vale circa K C (costante)

34 34 L’allargamento della banda passante porta il vantaggio che il sistema diventa più pronto. Infatti B G e B W sono legati alla costante di tempo di salita dell’uscita ad un ingresso a gradino G(s) W(s) 20 db BGBG BWBW KcKc B W > B G dice che il sistema W è più pronto di G

35 35 In pratica : in un sistema non retroazionato il regime viene raggiunto dopo perché B G> B W Con la retroazione quindi diminuisce il tempo iniziale in cui segnale di uscita y(t) è molto diverso da quello desiderato y d (t). Infatti in seguito a variazioni d’ingresso a gradino non possiamo pretendere che anche l’uscita risponda prontamente con variazione brusca verticale

36 36 Come già detto una banda passante più larga implica una maggiore prontezza del sistema. La differenza che si ha tra riferimento ed uscita dopo l’applicazione di variazioni brusche in ingresso quindi viene ridotta al minimo con la retroazione Una pseudo-dimostrazione matematica di quanto detto è nella pag. seguente

37 37 Calcoliamo la banda passante e la risposta al gradino in un sistema con un solo polo (tipo filtro passa basso RC) La risposta al gradino di questo sistema si calcola trovando l’antitrasformata di laplace di

38 38 Y(s) K - R(s) E(s) G(s) KcKc 1 Mettendo il sistema in retroazione con K=10 e Kc=1 La f.d.t. del sistema vale: Cioè la costante di tempo è circa 10 volte più piccola

39 39 Analizziamo il quarto vantaggio Diminuisce l’errore a regime

40 40 Possiamo dimostrare che con la retroazione diminuisce l’errore a regime, cioè l’errore che si ha dopo un tempo molto lungo dall’applicazione del segnale di riferimento

41 41 Y(s) K - R(s) E(s) G(s) KcKc 1 Yd (s) = K c R(s) invece si ha Se il controllo fosse senza errori si avrebbe: Y(s) = W(s) R(s) con

42 42 L’errore indesiderato sarà la differenza E(s) = Y d (s) - Y(s) Sostituendo Eseguendo i calcoli e semplificando ottengo

43 43 L’errore a regime si ottiene antitrasformando E(s) Esiste un teorema chiamato teorema del valore finale che ci permette di trovale il valore a regime di una funzione per t->infinito eseguendo un limite per s->0 della sua trasformata di Laplace moltiplicata per s Applichiamo quindi il teorema del valore finale per trovale l’errore a regime E dopo aver trovato e(t) si fa il limite per t->

44 44 Le caratteristiche che ci servono per calcolare tale limite sono: Per trovare il valore del limite per s-> 0 di E(s) non è necessario conoscere in maniera precisa G(s) e di R(s) ma solo il valore che assumono per s->0 Il tipo di ingresso R(s) Il tipo di sistema G(s)

45 45 Analizziamo il tipo di ingresso R(s) L’ingresso può essere: un gradino alto Ro una rampa di pendenza Ro una rampa parabolica Ro Gli ingressi elencati in precedenza sono quelli tipici e si differenziano l’uno dall’altro dall’ordine del polo in zero nella loro trasformata di Laplace.

46 46 Il tipo di sistema G(s) Per tipo di sistema si intende il numero di poli in zero ed in particolare si può avere: (sistema di tipo 0) nessun polo in zero (sistema di tipo 1) un polo semplice in zero (sistema di tipo 2) un polo doppio in zero I tipi di sistema elencati in precedenza sono quelli che tratteremo. Essi si differenziano l’uno dall’altro dall’ordine del polo in zero

47 47 Il tipo di sistema viene valutato dopo avere espresso G(s) nella forma di bode Se l’esponente i di s vale 0 (cioè non ci sono poli sull’origine) allora il sistema e di TIPO 0 e K viene chiamata costante di posizione e indicata con K P

48 48 Se l’esponente i di s vale 1 (cioè c’è un polo semplice sull’origine) allora il sistema e di TIPO 1 e K viene indicata con K V e chiamato costante di velocità Se l’esponente i vale 2 (cioè c’è un polo doppio sull’origine) allora il sistema e di TIPO 2 e K viene indicata con K A e chiamato costante di accelerazione

49 49 Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a gradino usando il teorema del valore finale Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale ed inoltre G(0)=K P quindi il risultato (l’errore a regime) è

50 50 Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a rampa usando il teorema del valore finale Il polo doppio che possiede R(s) non si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e quindi il risultato è INFINITO Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita non può assumere un valore a rampa uguale all’ingresso

51 51 Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a rampa parabolica usando il teorema del valore finale Il polo triplo che possiede R(s) non si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e quindi il risultato è INFINITO Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita non può assumere un valore a rampa parabolica uguale all’ingresso

52 52 Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo uno con ingresso a gradino usando il teorema del valore finale Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale ma abbiamo che G(s) a denominatore diverge e quindi il risultato è zero Cioè l’errore a regime diventa zero e l’uscita assume un valore a rampa uguale all’ingresso

53 53 Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo uno con ingresso a rampa Il polo doppio che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e con il polo semplice di G(s) … dopo alcuni passaggi (sapendo che K V è la costante di Bode di G(s) di tipo1) L’errore all’ingresso a rampa parabolica è infinito

54 54 L’errore a regime in un sistema di tipo due con ingresso a gradino e rampa vale zero L’errore a regime in un sistema di tipo due con ingresso a rampa parabolica vale K A è la costante di Bode della funzione G(s) di tipo 2

55 55 Le caratteristiche importanti di G(s) sono riportate nella seguente tabella

56 56 Il valore dell’errore a regime è riassunto nella seguente tabella

57 57 STABILITA’ DEL SISTEMA Una fondamentale caratteristica che deve avere il sistema controllato, tanto importante che se questa non è presente le altre diventano inutili è la Un sistema non può funzionare se non è stabile. Un sistema si dice “asintoticamente stabile” se in assenza di ingresso l’uscita ritorna a essere nulla dopo una perturbazione in ingresso anche molto forte ma di durata limitata

58 58 Il sistema precedente è stabile se l’uscita torna a zero dopo l’applicazione di un qualsiasi ingresso impulsivo. S

59 59 La stabilità come espressa in precedenza viene chiamata “asintotica”. Un sistema è asintoticamente stabile se: LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA NON POSSIEDE POLI CON PARTE REALE POSITIVA O NULLA

60 60 La dimostrazione dell’enunciato precedente deriva dal fatto che, se applico in ingresso un impulso allora la trasformata di laplace dell’uscita vale Ma se Cioè la funzione di trasferimento G(s) di un sistema coincide con la risposta all’impulso Ma se antitrasformo una funzione in s con poli negativi ottengo esponenziali con esponente negativo e cioè che tendono a zero

61 61 In conclusione per controllare la stabilità devo trovare i poli di G(s) e vedere se questi poli sono tutti negativi Per il sistema controllato lo stesso discorso va fatto sulla funzione W(s). Per controllare la stabilità devo trovare i poli di W(s) e vedere se questi poli sono tutti negativi Y(s) - R(s) E(s) G(s) H(s)

62 62 Y(s) - R(s) E(s) G(s) H(s) Devo controlare il denominatore e vedere se

63 63 Non consideriamo nessuno dei molti criteri matematici per vedere se esistono radici con parte reale negativa nell’equazione Tali metodi sono Routh Urwitz Prendiamo in considerazione il solo metodo grafico semplice dedotto dai grafici di Bode.

64 64 Y(s) K - R(s) E(s) G(s) KcKc 1 Prendiamo il sistema G(s) controllato Calcoliamo il guadagno d’anello così definito:

65 65 Disegniamo i diagrammi di Bode di F(s) 0db -180°

66 66 0db -180° Il margine d’ampiezza è il valore in db di F(s) quando la fase vale 180° Il margine di fase è la distanza in gradi della fase di F(s) quando l’ampiezza è 0db

67 67 Si può dimostrare che il sistema controllato è stabile se il margine d’ampiezza è negativo e il margine di fase è positivo Valori tipici dei margini di ampiezza e di fase sono ad esempio: Con tali valori il sistema è abbastanza stabile, con valori più bassi si ha rischio di instabilità.

68 68 Proviamo a vedere cosa succede se aumenta il guadagno K: 0db -180° IL MARGINE D’AMPIEZZA SI RIDUCE FINO A CAMBIARE SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE

69 69 Non è facile vedere cosa succede se aumento i poli sull’origine, ma si intuisce che questa volta si alza abbassa il diagramma delle fasi 0db -180° IL MARGINE DI FASE SI RIDUCE FINO A CAMBIARE SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE


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