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CONCAVITA’ Una curva ha la concavità rivolta verso l’alto nel punto P di ascissa x o se esiste un intorno I di x o tale che per ogni x appartenente a I.

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Presentazione sul tema: "CONCAVITA’ Una curva ha la concavità rivolta verso l’alto nel punto P di ascissa x o se esiste un intorno I di x o tale che per ogni x appartenente a I."— Transcript della presentazione:

1 CONCAVITA’ Una curva ha la concavità rivolta verso l’alto nel punto P di ascissa x o se esiste un intorno I di x o tale che per ogni x appartenente a I il punto della curva di ascissa x sta sopra la retta tangente alla curva in P Xo X f(Xo) f(X) P

2 CONCAVITA’ Una curva ha la concavità rivolta verso il basso nel punto P di ascissa x o se esiste un intorno I di x o tale che per ogni x appartenente a I il punto della curva di ascissa x sta sotto la retta tangente alla curva in P Xo X f(Xo) f(X) P

3 FLESSI Se non esiste nessun intorno di x o in cui la curva sta tutta sopra o sotto la tangente, allora il punto P si dice punto di flesso Xo X f(Xo) f(X) P

4 CONCAVITA’ E DERIVATA Vale il seguente teorema: Sia f(x) derivabile in un intorno di x o e due volte derivabile in x o (ovvero esista la derivata della derivata); allora: se la funzione ha la concavità rivolta verso l’alto in x o allora f”(x o ) ≥0 se la funzione ha la concavità rivolta verso il basso in x o allora f”(x o )≤0

5 CONCAVITA’ E DERIVATA Viceversa: se f”(x o )>0 allora la funzione ha la concavità rivolta verso l’alto in x o se f”(x o )<0 allora la funzione ha la concavità rivolta verso il basso in x o

6 CONCAVITA’ E DERIVATA Dimostrazione della prima parte: La tangente in P ha equazione E, posto x=x o +h Ovvero: Xo Xo+h f(Xo) f(Xo+h) P y

7 CONCAVITA’ E DERIVATA Per definizione di concavità rivolta verso l’alto: Ovvero: Xo Xo+h f(Xo) f(Xo+h) P y

8 CONCAVITA’ E DERIVATA Dividendo per h Poiché f è derivabile, vale nell’intervallo h il teorema di Lagrange, ovvero esiste un punto c interno ad h per cui: Xo Xo+h f(Xo) f(Xo+h) P y C

9 CONCAVITA’ E DERIVATA Sostituendo: Ovvero, posto c=x o +k Dividendo per k (che è positivo, perché c è maggiore di x 0 )

10 CONCAVITA’ E DERIVATA Passando al limite per k tendente a zero, per il teorema del confronto: Ma questo limite è la derivata seconda in x o cvd

11 FLESSI Vale il seguente teorema: Sia x o un punto di flesso della funzione f e sia f due volte derivabile in tale punto; allora: Non vale il viceversa: un punto in cui la derivata seconda si annulla non è necessariamente un punto di flesso

12 FLESSI Dimostrazione: In un intorno sinistro di x o la curva ha la concavità verso il basso, quindi, per quanto dimostrato Xo f(Xo) P

13 FLESSI In un intorno destro di x o la curva ha la concavità verso l’alto, quindi Poiché x o appartiene a entrambi gli intorni le due relazioni devono valere entrambe, quindi: Xo f(Xo) P

14 FLESSI La ricerca dei punti di concavità e dei punti di flesso, quindi, richiede lo studio del segno della derivata seconda ++ - FLESSO


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