La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Esempio 1 Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse x. Supponiamo per esempio che la particella.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Esempio 1 Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse x. Supponiamo per esempio che la particella."— Transcript della presentazione:

1 x Esempio 1 Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse x. Supponiamo per esempio che la particella parta da un punto P localizzato a 1m dall’origine e si sposti verso il punto Q localizzato a 5 m dall’origine e quindi torni indietro al punto R a 2 m dall’origine. E supporremo che il tutto si concluda in 4 secondi P R Q Lo spostamento totale è di un metro nella direzione positiva dell’asse x : ΔS = 1 m Il tempo impiegato è 4 secondi: Δ t = 4 s La velocità media è: v = Δ S / Δt = 0,25 m/s nella direzione positiva dell’asse x

2 Per stimare la velocità istantanea dobbiamo procedere diversamente. Definiamo un sistema di assi cartesiani per x e t. Lo spostamento in questo sistema di assi sarà descritto da una curva così sec m x t P Q R

3 La velocità istantanea in ogni punto si ricava come la pendenza della retta tangente in quel dato punto. Così per esempio nel punto Q la velocità istantanea è zero sec m x t P Q R v = dx / dt = 0

4 Nel punto S indicato in verde, sarà la pendenza della tangente alla curva nello stesso punto: sec m x t P Q R S E come si calcola ?

5 In questa retta, individuiamo due punti, per esempio A ( t =2s ; x = 7,3m) e B ( t =4s; x = 2,5m) sec m x t S A B

6 E calcoliamo la pendenza (coefficiente angolare di questa retta): sec m x t A B S ΔxΔx ΔtΔt Δ x = -4,8m Δ t = 2 s v = Δ x / Δ t = -2,4 m/s

7 Che cosa è questa v = Δ x / Δ t = -2,4 m/s ? sec m x t A B S ΔxΔx ΔtΔt Δ x = -4,8m Δ t = 2 s v = Δ x / Δ t = -2,4 m/s La velocità v così calcolata è la velocità di un punto materiale che si muove a velocità costante fra A e B e che nel punto S ha ovviamente la stessa velocità del nostro punto materiale di prima.

8 In modo del tutto analogo possiamo calcolare la velocità istantanea in qualsiasi punto ! sec m x t P Q R

9 Esempio x P R Q E facile intuire che il moto lungo l’asse x dell’esercizio precedente avviene con accelerazione variabile: Si pone allora il problema di calcolare anche l’accelerazione istantanea.

10 Poiché l’accelerazione istantanea è a = dv / dt, risulta intuitivo che dobbiamo prima ricavare la funzione v (t). Per fare questo, calcoliamo la velocità istantanea v i (t i ) in numero di punti sufficientemente elevato sec x t P Q R

11 Definiamo un sistema di assi cartesiani per v x e t, e riportiamo i valori delle velocità istantanee calcolate nei vari punti e operiamo una interpolazione grafica sec m/s vxvx t Q R P S W

12 La linea curva che abbiamo individuato nel piano ( v x, t) altro non è che la rappresentazione grafica della velocita del punto materiale in funzione del tempo v x (t) sec m/s vxvx t

13 Di questa funzione v x (t) potremo calcolare l’accelerazione istantanea punto ricordando che a = dv /dt è la pendenza della retta tangente in ogni punto sec m/s vxvx t

14 Esempio 3 Consideriamo un moto unidimensionale (trattabile quindi con formalismo puramente scalare) con accelerazione a = costante x Abbiamo imparato che se a = costante: a)La velocità v cresce linearmente col tempo t: v = v 0 + at b)Lo spostamento x cresce quadraticamente col tempo t: x = v 0 t + ½ a t 2

15 Quindi se definiamo dei piani cartesianoiin cui raffigurare graficamente l’andamento delle tre grandezze fisiche in questione in funzione del tempo, otterremo quanto segue: t t t a v x a = costante (pendenza della curva = 0) v cresce linearmente col tempo (pendenza della curva = costante) x cresce quadraticamente col tempo, la pendenza della curva cresce uniformemente col tempo

16 Nel Corso di Analisi Matematica imparerete la calcolare e derivate di alcune semplici funzioni: Funzione y = f(x)Derivata dy / dx y = kdy/dx = 0 y = k xdy/dx = k y = kx 2 dy/dx = 2kx Come abbiamo visto, l’equazione dello spostamento x in funzione del tempo t è una parabola: x = v 0 t + ½ a t 2 e applicando le regole sulle derivate, ricaviamo che: v = dx/dt = dx/dt ( v 0 t ) + dx/dt ( ½ a t 2 ) = v o + at Ed eseguendo la derivata su v: dv/dt = a = costante

17 Esempio 4 La velocità di una automobile che viaggia in direzione ovest si riduce uniformemente da 45 km/h a 30 km/h in una distanza di 100 m. 1° Quesito: qual è il valore della accelerazione costante ? Possiamo ridurre il calcolo al caso scalare: una autovettura che si muove lungo l’asse x x 100 m 45 km/h 30 km/h

18 Sappiamo che: v = v 0 + at Conosciamo v = 30 k/h, e conosciamo v 0 = 45 k/h, tuttavia il dato che ci viene fornito NON è il tempo t in cui avviene la variazione di velocità, ma lo spostamento x = 100 m = 0,100 km. Risolviamo la relazione v = v 0 + at rispetto a t e otteniamo : t = (v –v 0 ) / a [1] Definiamo adesso la velocità media fra t e t 0 come = (v 0 + v) / 2 Possiamo quindi scrivere x = t  t = x / = 2x / (v 0 +v) che eguagliata alla [1] risulta nella relazione: (v –v 0 )/a = 2x/(v 0 +v)  a = (v –v 0 )/(2x /(v 0 +v)) = km/h 2

19 2° Quesito: Quanto tempo è trascorso durante la decelerazione ? Scriveremo: t = (v –v 0 )/a = (30 – 45) km/h / km/h 2 = h = 9,6 s

20 3° Quesito: Se si suppone che l’automobile continui a decelerare con la medesima legge, quanto tempo dovrà trascorrere affinché si fermi, essendo partita con una velocità di 45 km/h ? Scriveremo di nuovo: t = (v –v 0 )/a = (0 – 45) km/h / km/h 2 = h = 28,8 s

21 Esempio 5 Una particella si muove all’interno di un tubo rettilineo sotto vuoto lungo 2 m 1° Quesito: Supponendo costante l’accelerazione, quanto tempo rimane la particella nel tubo, se vi entra con una velocità di 1000 m/s e ne esce con velocità 9000 m/s ? 2 m 1000 m/s 9000 m/s Di nuovo, scriveremo: x = t dove = (v 1 + v 2 )/2 = ( )/2 = 5000 m/s Da cui t = x / = 2 m / 5000 m/s = 0,0004 s

22 2° Quesito: Determinare l’accelerazione Dalla relazione: v 2 = v 1 +at ricaviamo a = (v 2 –v 1 ) / t cioè: a = ( ) m/s / s = 20 x 10 6 m/s 2 Che si legge: 20 milioni di: metri al secondo quadrato

23 Esempio 6 Un oggetto cade liberamente partendo da fermo. Determinare la posizione e la velocità dell’oggetto dopo 1; 2; 3 e 4 secondi. Definiamo il nostro asse y di riferimento e scegliamo il punto di partenza all’origine. y 0 La posizione y in funzione del tempo t è data dalla formula: y ( t ) = v 0 t − ½ g t 2 Dove g = 9,8 m/s 2 e v 0 = 0 Da cui si ricava per s=1: y 1 = − ½ 9,8 = −4,9 m E per la velocità si ricava: v 1 = v o – gt = 0 – 9,8 = −9,8 m/s

24 Analogamente, applicando le stesse formule al caso t=2; 3 e 4 s si ricava y 2 = − ½ 9,8 x 2 2 = −19,6 m y 3 = − ½ 9,8 x 3 2 = −44,1 m y 4 = − ½ 9,8 x 4 2 = −78,4 m v 2 = v o – gt = 0 – 9,8 x 2 = −19,6 m/s v 3 = v o – gt = 0 – 9,8 x 3 = −29,4 m/s v 4 = v o – gt = 0 – 9,8 x 4 = −39,2 m/s

25 Esempio 7 Una palla è lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo con una velocità di 29,4 m/s. 1° Quesito: Quanto tempo impiega la palla a raggiungere il suo punto più alto ? y 0 y max Dati del quesito: v 0 = 29,4 m/s Inoltre risulta evidente che v (y max ) = 0 Per ricavare il tempo t scriveremo: v = v 0 − g t t = (v 0 − v) / g t = ( 29,4 -0 ) m/s / 9,8 m/s 2 = 3 s

26 2° Quesito: determinare la massima altezza y max raggiunta dalla palla. Scriveremo: y = v 0 t – ½ g t 2 dove: v 0 = 29,4 m/s e t = 3 s Quindi: y max = 29,4 x 3 − ½ 9,8 x 3 2 = 88,2 − 44,1 = 44 m

27 3° Quesito: A che istante la palla sarà ad una altezza y k di 39,2 m dal suolo ? Scriveremo nuovamente: y = v 0 t – ½ g t 2 dove: v 0 = 29,4 m/s e y = 39,2 m Abbiamo quindi una equazione di secondo grado in t: ½ g t 2 − v 0 t + y k = 0 4,9 t 2 − 29,4 t + 39,2 = 0 a b c t = (−b ± (b 2 − 4ac) 1/2 ) / 2a (b 2 − 4ac) 1/2 = 9,8 t = ( 29,4 ± 9,8 ) / 9,8  t 1 = 2 t 1 = 4


Scaricare ppt "0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Esempio 1 Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse x. Supponiamo per esempio che la particella."

Presentazioni simili


Annunci Google