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Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce1. Funzione continua in un punto Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice continua in un punto dell’intervallo.

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1 Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce1

2 Funzione continua in un punto Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice continua in un punto dell’intervallo se, per x tendente a quel punto f(x) converge al suo valore in quel punto Prof. V. Scaccianoce2

3 Funzione continua in un punto Quindi deve Esistere il valore della funzione in quel punto Esistere il limite della funzione per x tendente a quel punto e coincidere col valore della funzione Prof. V. Scaccianoce3

4 Funzione continua in un punto Dalla definizione di limite si può anche dire Una funzione è continua in un punto c se avvicinandosi x a c la funzione si avvicina a f(c) oppure cade in un ε intorno di f(c) Prof. V. Scaccianoce4

5 Funzione continua a destra o a sinistra di un punto Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a destra di un punto c dell’intervallo se Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a sinistra di un punto c dell’intervallo se Prof. V. Scaccianoce5

6 Esempi La funzione y=[x] (parte intera di x) per ogni x intero è continua solo a destra Una funzione definita nell’intervallo (a,b) in a è continua solo a destra, in b solo a sinistra Prof. V. Scaccianoce6

7 Teoremi sulle funzioni continue Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti segue che Se 2 funzioni sono continue in un punto c è continua in c –La loro somma –La loro differenza –Il loro prodotto –Il loro quoziente (se la funzione al denominatore non si annulla in c) Prof. V. Scaccianoce7

8 Teoremi sulle funzioni continue Una funzione costante è continua in qualsiasi puntoUna funzione costante è continua in qualsiasi punto La variabile x è continua in qualsiasi punto Le funzioni razionali intere sono continue in qualsiasi punto Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni valore della x che non annulli il denominatore Prof. V. Scaccianoce8

9 f(x)=k continua  x La funzione è definita per ogni valore Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto c ed è k infatti | f(c)-k|=|k-k|=0<ε Prof. V. Scaccianoce9

10 f(x)=x continua  x La funzione è definita per ogni valore Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto x 0 ed è x 0 infatti | f(c)- c |=| c - c |=0<ε Prof. V. Scaccianoce10

11 Teoremi sulle funzioni continue Le funzioni senx e cosx sono continue per ogni valore della x La funzione y=a x (a>0) è continua  x La funzione lg a x (a>0) è continua  x>0 La funzione y= n √x è continua  x>=0 Prof. V. Scaccianoce11

12 Esempi Prof. V. Scaccianoce12

13 Continuità in un intervallo Sia y=f(x) una funzione definita in [a.b] essa è continua in tale intervallo se lo è per ogni punto dell’intervallo (dal punto di vista intuitivo equivale a dire che il diagramma della funzione è “tutto d’un pezzo”) Prof. V. Scaccianoce13

14 Teoremi sulla continuità Se una funzione è continua in x 0 Se f(x 0 )>0 esiste un intorno di x 0 in cui f(x) > (Permanenza del segno) Se una funzione è continua in [a;b] e se f(a)e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno x 0 in cui f(x 0 )=0 (Esistenza degli zeri) Prof. V. Scaccianoce14

15 Teoremi sulla continuità Se una funzione è continua in [a,b] in tale intervallo assume valore massimo M e minimo m (Weierstrass) in tale intervallo assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo(Bolzano-Darboux) se agli estremi assume valori opposti, si annulla almeno in un punto dell’intervallo Prof. V. Scaccianoce15

16 Funzione di funzione Data la funzione z=g(x) da A a B e si chiama funzione di funzione o funzione composta y=f(z)=f(g(x)) quella funzione che ad ogni valore di z=g(x) associa un determinato valore Esempio: z=g(x)=2x 2 +3 è una funzione il cui codominio è z≥3 y=f(z)=lg(z) ha quindi senso e y=lg(2x 2 +3) è la funzione composta tra f e g, cioè f(g(x)) Prof. V. Scaccianoce16

17 Teorema Se g(x) ammette limite finito l per x che tende a x 0 e f(z) è continua in l allora Prof. V. Scaccianoce17

18 Funzione inversa Se una funzione y=f(x) è biunivoca ad ogni valore di y corrisponde uno ed un solo valore di x quindi si può parlare di funzione che ad ogni valore della y fa corrispondere un valore x (x=g(y)) tale funzione è chiamata funzione inversa Esempi y=x 2 +5 è biunivoca per x≥0 l’inversa è x=√(y-5) y=lg(x) è monotona la sua inversa è x=a y Prof. V. Scaccianoce18

19 Teorema Se una funzione è continua in un intervallo ed assume i valori m ed M come minimo e massimo, la sua funzione inversa è continua nell’intervallo (m,M) Prof. V. Scaccianoce19

20 Limiti fondamentali Analogamente si dimostra l’esistenza del limite sinistro Essendo uguali i 2 limiti è dimostrato il limite richiesto Si dimostra l’esistenza del limite destro Per x che tende a 0 + senx>0 Poiché senx 0 1

21 Limiti fondamentali DIMOSTRAZIONE Prof. V. Scaccianoce21

22 Limiti fondamentali e=2,71… ed è la base dei logaritmi neperiani O anche Prof. V. Scaccianoce22

23 Limiti fondamentali Prof. V. Scaccianoce23

24 Punti di discontinuità o singolari 1 a specie: se in quel punto esistono finiti i limiti destro e sinistro e sono diversi La differenza dei 2 limiti si chiama salto Esempio la funzione f(x)=[x] (parte intera di x) per ogni x intera ha una discontinuità di 1 a specie con salto=1 Prof. V. Scaccianoce24

25 Punti di discontinuità 2 a specie: quando in quel punto non esiste uno dei 2 limiti destro o sinistro o se esiste è ±∞ y=sen(1/x) in x=0 ha discontinuità di 2 a specie perché in tale punto non esiste limite né destro né sinistro y=a 1/x con a>1 ha in x=0 una discontinuità di 2 a specie perché il limite per x che tende a 0 da destra è +∞ Prof. V. Scaccianoce25

26 Punti di discontinuità 3 a specie: se esiste il limite finito della funzione il quel punto, ma ivi essa non è definita o, se è definita, il suo valore non è uguale al valore del limite. In questo caso la discontinuità si dice anche eliminabile f(x)=sen(x)/x ha in 0 una discontinuità di 3 a specie infatti per x=0 esiste il limite, ma la funzione non è definita Prof. V. Scaccianoce26

27 Esercizi Studiare i punti singolari di y=tg(1/x) –La funzione non esiste per x=0 e x=π/2+kπ –Per x=0 non esiste né il limite destro né il sinistro (discontinuità di 2 a specie) –Per x=π/2+kπ la funzione vale ±∞ (discontinuità di 2 a specie) Prof. V. Scaccianoce27

28 Forma indeterminata 0/0 Se si tratta di una funzione razionale fratta P(x)/Q(x) poiché i polinomi sono funzioni continue il limite per x tendente a c sarà P(c)/Q(c), per il teorema del resto si avrà quindi che sia P(c) che Q(c) sono divisibili per (x-c) si opera quindi la semplificazione in quanto per x che tende a c x non è c e quindi si può dividere Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli Prof. V. Scaccianoce28

29 Forma indeterminata 0*∞ In certi casi è sufficiente operare delle semplificazioni dopo aver spostato i fattori in modo da poterli semplificare Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli Prof. V. Scaccianoce29

30 Forme indeterminate ∞-∞ Se si tratta di un polinomio intero P(x) si mette in evidenza il monomio di grado maggiore (è facile costatare che il limite corrisponde al limite di quel solo monomio e quindi è + o - ∞ a seconda del coefficiente e del grado del monomio) In altri casi, dopo aver individuato i termini a e b che tendono a +∞ e -∞ si razionalizza moltiplicando per la somma algebrica degli stessi termini di cui il 2° cambiato di segno. Prof. V. Scaccianoce30

31 Forme indeterminate ∞/∞ Se si tratta di un polinomio fratto P(x)/Q(x) si mette in evidenza il termine di grado maggiore e si semplifica stando attenti ai segni È valida la seguente tabella Numeratore di grado >del denominatore den>num x tende a+∞x tende a-∞ x tende a ±∞ Segni concordi discor di Segni concordi discor di +∞-∞+∞-∞0 Se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore il risultato è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo Prof. V. Scaccianoce31


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