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La scomposizione col metodo di Ruffini. Per comprendere la scomposizione col metodo di Ruffini procediamo per passi: Cominciamo con il seguente esercizio:

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1 La scomposizione col metodo di Ruffini

2 Per comprendere la scomposizione col metodo di Ruffini procediamo per passi: Cominciamo con il seguente esercizio: Effettuare la seguente divisione: Osserviamo che: La divisione si può fare (grado dividendo maggiore grado divisore) Si può effettuare la divisione con Ruffini (grado del divisore=1) Il quoziente avrà grado 2 (grado dividendo meno grado divisore) Il resto avrà grado zero (deve essere minore del grado del divisore che è 1). Quindi il resto è un numero

3 Effettuiamo quindi la divisione Quindi Q= e R=0

4 Se uno volesse fare la verifica: Quoziente x Divisore + Resto = Dividendo Ma, dato che il resto è zero, abbiamo semplicemente: Quoziente x Divisore = Dividendo O anche, leggendo da destra a sinistra: Dividendo = Quoziente x Divisore Quindi nel nostro esempio:

5 Osserviamo che quanto appena scritto è la scomposizione del polinomio Che abbiamo scritto come un prodotto di polinomi di grado minore. Questo è vero solo perché il resto della divisione è zero!!!!!!!!!!

6 Questo vuol dire che sappiamo scomporre il polinomio ? Assolutamente NO! Perché se l’esercizio fosse stato: scomponi il polinomio nessuno poteva Immaginare che andava diviso per x-1 e che tale divisione avrebbe avuto resto zero. Almeno per ora…

7 Voltiamo per adesso pagina (ma non dimentichiamoci quanto appena visto) Con l’espressione P(x) (che si legge pi di x) si intende un qualunque polinomio nella lettera x. Esempio: Sia Cosa intendiamo con l’espressione ? Si intende l’espressione numerica che si ottiene sostituendo a tutte le x del polinomio il numero 2. In questo caso quindi:

8 Diventa Che è un’espressione che sappiamo calcolare: In conclusione quindi

9 Proviamo P(3) Diventa Che è un’espressione che sappiamo calcolare: In conclusione quindi

10 Proviamo P(-1) Diventa Che è un’espressione che sappiamo calcolare: In conclusione quindi

11 Affrontiamo adesso il seguente Esercizio. Sia. Si calcoli P(2) e dopo si effettui la divisione

12 Cominciamo con P(2): Adesso la divisione: Quindi Si osserva però che abbiamo calcolato P(2) e abbiamo diviso per x-2. E soprattutto che: Il resto della divisione è uguale a P(2)

13 Sarà una coincidenza??? Cambiamo il polinomio e la divisione e scopriamo cosa succede Esercizio. Sia. Si calcoli P(-3) e dopo si effettui la divisione

14 Cominciamo con P(-3): Adesso la divisione: Quindi Stavolta abbiamo calcolato P(-3) e abbiamo diviso per x+3. Il resto della divisione è uguale a P(-3)

15 Che non sia una coincidenza ce lo assicura il TEOREMA DEL RESTO Il resto della divisione fra un polinomio P(x) e un binomio (x-a) è sempre P(a).

16 Dimostrazione. Consideriamo la divisione P(x):(x-a). Sappiamo che vale l’uguaglianza: Dividendo = Quoziente x Divisore + Resto. Nel nostro caso il dividendo è P(x) e il divisore è (x-a) quindi possiamo scrivere: P(x) = Quoziente (x-a) + Resto Se adesso vogliamo trovare P(a) bisogna sostituire a ad x in tutti i termini della precedente uguaglianza. Si ottiene quindi: P(a)=Quoziente (a-a) + Resto Ma a-a è ovviamente zero quindi rimane soltanto P(a)=Resto Che è quello che volevamo dimostrare

17 Immediata conseguenza del precedente teorema è il TEOREMA DI RUFFINI Un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e soltanto se P(a)=0. Dimostrazione. Un polinomio è divisibile per (x-a) se il resto della divisione è zero. Ma abbiamo visto che il resto è uguale a P(a). Ne segue che il polinomio è divisibile per (x-a) solo se P(a)=0 che è quello che volevamo dimostrare.

18 Possiamo quindi tornare al problema della scomposizione di un polinomio… Infatti dato un polinomio da scomporre, grazie a quanto imparato fino ad ora, possiamo: -Chiamare P(x) il polinomio -Cercare un numero a tale che P(a)=0 -Se si trova, effettuare la divisione fra il polinomio ed (x-a) -La scomposizione cercata è quoziente (x-a) Ma c’e ancora un problema…

19 I numeri sono infiniti, come possiamo trovare quel numero a tale che P(a)=0?? Sarebbe un’impresa impossibile se non ci venisse incontro il seguente TEOREMA Dato un polinomio P(x), se P(a) è uguale a zero, allora a è un divisore del termine noto del Polinomio.

20 In altre parole, dato un polinomio P(x), se vogliamo trovare un numero a tale che P(a)=0, dobbiamo cercarlo fra i divisori, negativi e positivi, del termine noto. Esempio. Sia dato il polinomio Il termine noto è 4. I divisori di 4 sono: 1, -1, 2, -2, 4, -4. Il teorema ci dice che gli unici numeri per cui “il P di quel numero” può (ma non è sicuro) essere zero sono 1, -1, 2, -2, 4, -4

21 Osservazione importante Dato un polinomio P(x) non è detto che esista un numero per cui il “P di quel numero” sia zero

22 Adesso siamo in grado di scomporre un polinomio con il metodo di Ruffini Quinta tecnica: la scomposizione col metodo di Ruffini: 1)Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto 2)Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero. 3)Se per nessun numero, il “P di quel numero” è zero si scrive irriducibile 4)Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a). 5)La scomposizione cercata è Quoziente (x-a)

23 Esempio: scomporre il polinomio 1)Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Divisori di +4: {1, -1, 2, -2, 4, -4}

24 2)Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero Non è zero. Continuiamo:

25 4) Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a) Quindi e R=0

26 In conclusione… 5) La scomposizione cercata è: Quoziente (x-a) Quindi: Abbiamo scritto il polinomio iniziale come prodotto di polinomi di grado minore. L’abbiamo cioè scomposto

27 Esempio: scomporre il polinomio 1)Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Divisori di -3: {1, -1, 3, -3}

28 2)Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero Non è zero. Continuiamo:

29 4) Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a) Quindi e R=0

30 In conclusione… 5) La scomposizione cercata è: Quoziente (x-a) Quindi: Abbiamo scritto il polinomio iniziale come prodotto di polinomi di grado minore. L’abbiamo cioè scomposto

31 Esempio: scomporre il polinomio 1)Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Divisori di +1: {1, -1}

32 2)Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero Non è zero. Continuiamo: Non è zero e non ci sono altri divisori!

33 In conclusione… 3) Se per nessun numero, il “P di quel numero” è zero si scrive irriducibile Quindi: E’ irriducibile!


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