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Giovanazzi Gualtiero L.S.E 1 Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x.

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1 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 1 Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y Relazione come predicato La coppia ordinata (x,y) soddisfa la relazione R x R y oppure (x,y)  R Se x  X e y  Y soddisfano il predicato p(x,y) x R y  p(x,y) altrimenti

2 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 2 Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y Relazione: Osservazione Una relazione R è ben definita solo quando sono ben determinati i due insiemi X, Y

3 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 3 Y X Relazione: Dominio e Codominio Sottoinsieme di X da cui parte ALMENO UNA freccia Sottoinsieme di Y in cui arriva ALMENO UNA freccia DOMINIOCODOMINIO R

4 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 4 abcd X x Y X Y Relazione: Grafico R X a b c d Y (a,1)  R (a,4)  R (c,1)  R (c,4)  R (c,3)  R (b,5)  R G = graf R = = { (x,y): (x,y)  XxY  (x,y)  R }  XxY

5 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 5 Relazione: Grafico X x Y X Y R X a b c d Y R = G  XxY X x Y X Y R X a b c d Y (x,y)  R  (x,y)  G

6 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 6 Y R X Relazione - Funzione Dati due insiemi non vuoti X e Y, dicesi FUNZIONE o APPLICAZIONE di X in Y una relazione R di X e Y che soddisfi la seguente condizione  x  X  y  Y : (x,y)  R Parte più di una freccia Parte una e una sola freccia NON parte alcuna freccia Da un elemento di X:

7 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 7 X gufo ragno formica mucca cavallo uomo Y x R y se x ha per numero di zampe y X Molise Lombardia Piemonte Veneto T.A.A. Sicilia Y Bolzano Verona Cuneo Torino Ancona Trento x R y se x è una regione contenente y Relazione – Funzione: Esempio X x Y X Y ugmcfr BZ VR TO CN TN AN X Y LMVTSP Quale delle seguenti relazioni è una FUNZIONE?  x  X  y  Y : (x,y)  R

8 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 8 Funzioni Numeriche Noi ci occuperemo esclusivamente di funzioni reali (Y  ) di variabili reali (X  ) Classificazione delle funzioni: Una funzione f: X Y si dice numerica se A e B sono insiemi numerici. AlgebricheTrascendenti Razionali intereGoniometriche Razionali fratteLogaritmiche IrrazionaliEsponenziali In generale sono trascendenti tutte le funzioni che non sono algebriche

9 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 9 suriettiva: tutti gli elementi di Y sono immagine di almeno un X Funzioni Classificazione XY iniettiva: gli elementi di Y sono immagini al più di un solo elemento di X XY biiettiva: ogni elemento di Y è immagine di uno e uno solo elemento di X (corrispondenza biunivoca) XY Un’applicazione chiamasi f(X)=Y se x 1  x 2  f(x 1 )  f( x 2 ) oppure se f(x 1 ) =f( x 2 )  x 1 = x 2

10 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 10 Funzione SURIETTIVA: Esempio  x  X  y  Y : (x,y)  R X gufo ragno formica mucca cavallo uomo Y x R y se x ha per numero di zampe y X x Y X Y ugmcfr Verifichiamo che R sia una funzione Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce SI  Da ogni x  X esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente f (X) = Y 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Ad ogni y  Y arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. SI

11 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 11 Funzione INIETTIVA: Esempio  x  X  y  Y : (x,y)  R X x Y X Y F I E M POR 1. Verifichiamo che R sia una funzione Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce SI  Da ogni x  X esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente se f (x 1 ) = f (x 2 )  x 1 = x 2 oppure se x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) 2. Verifichiamo che f sia INIETTIVA Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Ad ogni y  Y arriva NON più di una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto. SI X Penna Raspa Oliatore Y x R y se x è utilizzato da y Insegnante Meccanico Falegname Elettricista

12 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 12 Funzione BIIETTIVA: Esempio X x Y X Y OAB P S T 1. Verifichiamo che R sia una funzione f (x 1 )= f (x 2 )  x 1 =x 2 o x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA  Ad ogni y  Y arriva NON più di una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto. SI X Oro Bronzo Argento Y x R y se x è la medaglia per y Primo Secondo Terzo f (X) = Y 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA  Ad ogni y  Y arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. SI  x  X  y  Y : (x,y)  R  Da ogni x  X esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente SI

13 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 13 Funzione (y =) f(x) = x 2 X x Y X Y 1. Verifichiamo che R sia una funzione f (x 1 )= f (x 2 )  x 1 =x 2 o x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA  Ad ogni y  Y arriva al più una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto. NO f (X) = Y 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA  Ad ogni y  Y arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. NO  x  X  y  Y : (x,y)  R  Da ogni x  X esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente SI x R y se x 2 è y X  - … … Y  - … …

14 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 14 x R y se x 2 è y X  - … … Y  … 0 Funzione (y =) f(x) = x 2 X x Y X Y f (x 1 )= f (x 2 )  x 1 =x 2 o x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA  Ad ogni y  Y arriva al più una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto. NO f (X) = Y 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA  Ad ogni y  Y arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. SI 1. Verifichiamo che R sia una funzione  x  X  y  Y : (x,y)  R  Da ogni x  X esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente SI

15 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 15 Insieme Dominio - Insieme Codominio funzioni reali di variabili reali f : A B A  geometricamente situato sull’asse x f(A)  B  geometricamente situato sull’asse y

16 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 16 Insieme di Esistenza di una Funzione L’insieme di esistenza di una funzione è il dominio più ampio possibile  x  1+x >  0  2/(1+x) > 0 Campo d’esistenza  x  Campo d’esistenza  x  x 3 +4  0 Campo d’esistenza

17 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 17 Funzione Inversa Sia f un’applicazione biiettiva tra A e B, si definisce applicazione inversa di f, l’applicazione f -1 tra B e A tale che f -1 (b) = f -1 (f(a)) = a B A a b f b = f(a) f -1 f -1 (b) = f -1 ( f(a) ) = a Noto , grafico di f,  ’, grafico di di f -1 è il simmetrico di  rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. x y O   ’

18 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 18 Funzioni Monotòne x y O x1x1 x2x2 Scegliamo arbitrariamente due punti. SE f(x 1 ) < f(x 2 ) f dicesi crescente f(x 1 ) > f(x 2 ) f dicesi decrescente x y O x1x1 x2x2 Scegliamo arbitrariamente due punti. SE f(x 1 )  f(x 2 ) f dicesi non decrescente f(x 1 )  f(x 2 ) f dicesi non crescente

19 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 19 Funzioni Pari - Funzioni Dispari x y O x-x f(x) x y O x -x f(x) = f(-x) f dicesi Pari f(x) = x 2 f(x) = cos(x) f(x) = | x | f(x) = -f(-x) f dicesi Dispari f(x) = x f(x) = sin(x) f(x) = tg(x) f(x) -f(x)=f(-x)

20 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 20 Funzioni Periodiche Se  T t.c.  x f(x+T) = f(x) f dicesi Periodica di periodo T f(x) = sin(x) : sin(x+k·2  ) = sin(x) f(x) = cos(x) : cos(x+k·2  ) = cos(x) f(x) = tg(x) : tg(x+k·  ) = tg(x) x y O x1x1 x 2 =(x 1 +T) T

21 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 21 Funzioni Limitate Se l’insieme f(A) è la funzione y=f(x) dicesi f : A(  ) B (  ) Limitato superiormente Limitato inferiormente Limitato Limitata superiormente Limitata Limitata inferiormente Limitata:  l,L  :  a  A l  f(a)  L Limitata superiormente:  L  :  a  A f(a)  L Limitata inferiormente:  l  :  a  A f(a)  l

22 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 22 Funzioni Limitate Se l’insieme f(A) è dotato di la funzione y = f(x) è dotata di Massimo minimo Massimo assoluto minimo assoluto Se M è detto Massimo Assoluto f : A(  ) B (  ) max f(A) = 1 y = f(1) = 1 è dotata di Massimo Assoluto Se m è detto minimo Assoluto min f(A) = 0 y = f(0) = 0 è dotata di minimo Assoluto

23 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 23 Funzioni Limitate Si chiama estremo superiore (estremo inferiore) di f l’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme f(A) f : A(  ) B (  ) Una funzione può possedere il sup (inf) nell’insieme A senza che questo sia un massimo (minimo) assoluto: f(x) = 1/x in A = (0,  ) inf f = 0 non  min f infatti f(x)>0

24 Giovanazzi Gualtiero L.S.E 24 Funzioni particolari: le Successioni Si chiama successione di numeri reali nn’applicazione di N 0 in  f:n  f(n) = a n 1  f(n) = a 1 2  f(n) = a 2... n  1/n : { 1, 1/2, 1/3, … 1/n, …} Una successione {a n } si dice crescente non decrescente decrescente non crescente se nNnN a n < a n+1 a n  a n+1 a n > a n+1 a n  a n+1 successioni monotòne


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