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OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO 1 ITC PIOVENE a x 2 + b x + c Risolvere l’equazione Risolvere la disequazione Scomposizione del trinomio (se possibile)

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Presentazione sul tema: "OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO 1 ITC PIOVENE a x 2 + b x + c Risolvere l’equazione Risolvere la disequazione Scomposizione del trinomio (se possibile)"— Transcript della presentazione:

1 OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO 1 ITC PIOVENE a x 2 + b x + c Risolvere l’equazione Risolvere la disequazione Scomposizione del trinomio (se possibile) Disegnare la parabola associata Completamento di un quadrato Servirsi della parabola per risolvere la disequazione

2 EQUAZIONI Equazioni di II°: a x 2 + b x + c = 0 2 ITC PIOVENE Se b è pari : formula ridotta (da sapere e da utilizzare !!)

3 E’ possibile risolverla in modo intuitivo? 1.a x 2 + b x = 0 (c=0; manca il termine noto!) raccolgo x: x (a x + b) = 0; annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a 2.a x 2 + c = 0 (b=0; manca il termine di I°) X = 0  l’equazione non ammette soluzioni reali; X = 0  x = ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non x = |2|) 3.a x 2 = 0 ( b = c = 0); x = 0 è l’unica soluzione!! EQUAZIONI DI II° GRADO 3 ITC PIOVENE

4 a x + b > 0 x > -b/a x < - b/a a x + b ≥ 0 x ≥ -b/a x ≤ - b/a a x + b - b/a a x + b ≤ 0 x ≤ -b/a x ≥ - b/a DISEQUAZIONI DI I° GRADO 4 ITC PIOVENE a > 0a < 0

5 DISEQUAZIONI DI II ° GRADO (METODO ALGEBRICO) 5 ITC PIOVENE  a  Calcoliamo Δ = b a c x1x1 x2x2  a  x1x1 x2x2 a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 1 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c  ≤ 0 2 1: x x 2 (-∞, x 1 ) U (x 2, + ) 2: x 1 < x < x 2 1: x 1 < x < x 2 2: x x 2

6 DISEQUAZIONI DI II ° GRADO ( METODO ALGEBRICO-GRAFICO ) 6 ITC PIOVENE 1: 2:  a   a  x 1 = x 2 1: 2: 1: 2: 1: 2:  a   a 

7 DISEQUAZIONI FRATTE 7 ITC PIOVENE 1.Indipendentemente dal trovarsi nel caso 1 o 2, conviene (non è necessario, ma consigliabile) imporre : 2. Costruire una tabella che chiameremo di prodotto/rapporto oppure di segno oppure Scegliere gli intervalli utili a seconda che ci si trovi nel caso 1 oppure nel caso 2 Tecnica di lavoro

8 La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). DISEQUAZIONI FRATTE 8 ITC PIOVENE

9 La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) DISEQUAZIONI FRATTE 9 ITC PIOVENE

10 La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli DISEQUAZIONI FRATTE 10 ITC PIOVENE

11 La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli Individuo gli intervalli utili DISEQUAZIONI FRATTE 11 ITC PIOVENE

12 ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 12 ITC PIOVENE 1.Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio

13 ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 13 ITC PIOVENE 1.Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ y x

14 ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 14 ITC PIOVENE 1.Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 1.domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞ ) 2.Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x 2 – 4) = 0Cerchiamo gli zeri y x

15 ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 15 ITC PIOVENE 1.Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 1.domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞ ) 2.Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x 2 – 4) = 0Cerchiamo gli zeri 3.Ma per la legge di annullamento di un rapporto  x 2 – 1 = 0  |x| = y x

16 ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 16 ITC PIOVENE 1.Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 1.domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞ ) 2.Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x 2 – 4) = 0Cerchiamo gli zeri 3.Ma per la legge di annullamento di un rapporto  x 2 – 1 = 0  |x| = 1 4.Cerchiamo il segno della f(x): cerchiamo cioè dove f(x) >0 (+) e dove f(x) 0, e, per esclusione, sapendo dove f(x) =0 e dove f(x)>0  sappiamo anche dove f(x)>0Cerchiamo il segno della f(x): y x

17 1.ESISTENZA DI UN RAPPORTO: è possibile dividere due numeri reali (a / b) se e solo se il denominatore è diverso da zero (b ≠ 0) 2.ANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTO: un rapporto è nullo se e solo se è nullo il numeratore (e contemporaneamnete il denominatore è diverso da zero): a / b = 0 se e solo se a = 0 3.ANNULLAMENTO DI UN PRODOTTO: un prodotto di più fattori è nullo se e solo se è nullo almeno uno dei fattori a * b * c... = 0 se e solo se a = 0; oppure b=0; oppure.... RICORDA 17 ITC PIOVENE

18 18 ITC PIOVENE RICORDA (ESEMPIO) 1.Il rapporto esiste (dominio della funzione) se e solo se x+2 ≠ 0  x ≠ -2 2.Il rapporto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x-1=0  x= -1 1.Il prodotto esiste (dominio della funzione) sempre, per ogni valore reale di x 2.Il prodotto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x - 1=0 oppure x – 2 = 0  x = 1 oppure x = 2

19 ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 2 19 ITC PIOVENE f(x)>0: x 2 – 1 > 0  |x| > 1 oppure x 1 x 2 – 4 > 0  |x| >2 oppure x f(x) l’ultima riga fornisce informazioni sul segno della funzione: per tutte le x < -2 la funzione è positiva; per le x comprese tra -2 e -1 la funzione è negativa....

20 CONTINUA SEGNO FUNZIONE 20 ITC PIOVENE f(x) = 0 ↔ x = - 1 e x = 1 f(x) > 0 ↔ (-∞, -2) U (-1, 1) U (2, + ∞) f(x) < 0 ↔ (-2, -1) U (1, 2) y x

21 QUANDO PIU’ CONDIZIONI DEVONO ESSERE VERIFICATE CONTEMPORANEAMENTE I SISTEMI 21 ITC PIOVENE Tecnica di lavoro 1.Si risolvono tutte le disequazioni date 2.Si costruisce una tabella (non di segno!!!!) dove: la linea continua significa che la condizione è soddisfatta La linea tratteggiata significa che la condizione non è soddisfatta 3.La soluzione sarà l’insieme di tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le condizioni contemporaneamente

22 22 ITC PIOVENE ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI SISTEMI Tecnica di soluzione La legge della funzione presenta tre radici, due di indice pari e una di indice dispari. Le operazioni tra numeri reali ci impongono che gli argomenti delle radici di indice pari siano, contemporaneamente, non negativi, cioè maggiori o uguali a zero! Le condizioni sono verificate contemporaneamente nell’intervallo tra 1 e 3 Dom f [1, 3] 1 3

23 DALLA RICERCA DEI RISULTATI ALLA LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA ITC PIOVENE 1 3 Non ci poniamo il problema di trovare zeri e segno della funzione, perché l’espressione algebrica non è facile da manipolare!

24 ANCORA UN ESEMPIO...CON RADICI 24 ITC PIOVENE Confrontiamo dominio, zeri e segno di due funzioni, con una legge apparentemente molto simile!!! Constatiamo, con valori numerici semplici, che le due funzioni sono diverse Per alcuni valori della variabile indipendente si ottengono gli stessi risultati, per altri invece....

25 RICERCA DEL DOMINIO: FUNZIONE 1 25 ITC PIOVENE L’algebra dei numeri reali impone che l’argomento della radice di indice pari sia non negativa e il denominatore sia diverso da zero. E’ un sistema! Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente. La prima disequazione è una frazione, l’algebra delle disequazioni fratte consiglia di cercare dove i singoli fattori sono positivi e poi leggere i risultati su una tabella di segno f(x) Risolvendo il sistema si vede che la II condizione è già compresa nella prima  Domf (- ∞, -2) U [1, + ∞)

26 ....CONTINUIAMO A CERCARE LE PRIME INFORMAZIONI PER LO STUDIO DI FUNZIONE E, POI, A METTERE TALI CONDIZIONI SU UN GRAFICO (FUNZIONE 1) 26 ITC PIOVENE Zeri della funzione: f(x)=0; la legge di annullamento di una radice, prima, e di un rapporto poi, ci consente di scrivere f(x)=0 ↔ x = 1. Segno della funzione: f(x) >0; per l’algebra delle radici di indice pari, una radice di indice pari, dove consente di ottenere un risultato, produce sempre un risultato positivo Riassumiamo: f(x) = 0 ↔ x = 1 f(x) > 0 ↔ qualunque x appartenente al domf f(x) < 0 ↔ per nessuna x appartenente al dominio

27 DAI CALCOLI AL GRAFICO... FUNZIONE 1 27 ITC PIOVENE -2 1 y x

28 28 ITC PIOVENE RICERCA DEL DOMINIO: FUNZIONE 2 L’algebra dei numeri reali impone che i due radicandi siano, contemporaneamente, positivi. L’avverbio contemporaneamente ci ricorda che siamo in presenza di un sistema! Ma siamo anche in presenza di una frazione e quindi il denominatore deve essere diverso da zero. Imporremo questa condizione automaticamente, perché non accetteremo l’annullamneto del denominatore dom f: x ≥ 1 oppure [1, + ∞ ) Zeri della funzione: x =1 f(x) > 0 : qualunque x appartenente al dominio f(x) < 0 : nessuna x appartenente al dominio

29 DAI CALCOLI AL GRAFICO... FUNZIONE 2 29 ITC PIOVENE 1 y x


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