Lezione 7: Esempi di analisi dei sistemi non lineari

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1 Lezione 7: Esempi di analisi dei sistemi non lineari
Ing. Raffaele Carli ( Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 09 dicembre 2013

2 Sommario Esempi di linearizzazione di sistemi non lineari:
Sistema I ordine tempo-continuo Sistema idraulico ad un serbatoio Sistema II ordine tempo-continuo Pendolo Sistema massa – smorzatore - molla NL (oscillatore di Van der Pol)

3 Esempio 1 – Sistema idraulico ad un serbatoio
Richiami teorici Equazione di stato ( dove x(t) : livello liquido nel serbatoio) Punti di equilibrio 𝐽 𝑥 𝑒 =− 𝑎 2∙ 𝑥 𝑒

4 Esempio 1 – Sistema idraulico ad un serbatoio
Movimento con Simulink

5 Esempio 1 – Risultati Caso 1 punto di equilibrio xe = 1
a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 2 punto di equilibrio xe = 1

6 Esempio 1 – Linearizzazione
Sistema idraulico ad un serbatoio Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio xe = 1

7 Esempio 3 – Risultati linearizzazione
Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 2

8 Esempio 1 – Confronti Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato

9 Esempio 1 – Confronto risultati
Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 2

10 Esempio 1 – Confronto risultati
Caso 2 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 5

11 Esempio 1 – Confronto risultati
Caso 3 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 10

12 Esempio 2 – Pendolo Pendolo Richiami teorici
Equazioni di stato Punti di equilibrio xe 𝐽 𝑥 𝑒 = 0 1 − 𝑔 𝐿 ∙cos⁡( 𝑥 𝑒1 ) − 𝐵 𝑚∙𝐿 𝑥 𝑒1 =𝑘𝜋 𝑥 𝑒2 =0

13 Esempio 2 – Risoluzione I
Pendolo Traiettoria con pplane

14 Esempio 2 – Risultati Pendolo Traiettorie con pplane

15 Esempio 2 – Risultati Pendolo Movimento con pplane
g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0

16 Esempio 2 – Risoluzione II
Pendolo Movimento e traiettoria con Simulink

17 Esempio 2 – Risoluzione II
Pendolo Movimento e traiettoria con Simulink

18 Esempio 2 – Risultati Caso 1
g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0

19 Esempio 2 – Linearizzazione
Pendolo Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio [0; 0]

20 Esempio 2 – Risultati linearizzazione
Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0 xe1=0 , xe2=0

21 Esempio 2 – Risultati Caso 2
g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01 = 0.2 , x02 = 0 xe1 = π , xe2 = 0

22 Esempio 2 – Confronti Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato

23 Esempio 2 – Confronto risultati
Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0

24 Esempio 2 – Confronto risultati
Caso 2 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.5 , x02=0

25 Esempio 2 – Confronto risultati
Caso 3 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=1.5 , x02=0

26 Esempio 3 – Oscillatore di Van del Pol
Richiami teorici Equazioni di stato Punti di equilibrio xe 𝑥 𝑒1 =0 𝑥 𝑒2 =0

27 Esempio 32 – Risoluzione I
Oscillatore di Van del Pol Traiettoria con pplane

28 Esempio 2 – Risultati Oscillatore di Van del Pol
Traiettorie con pplane

29 Continua…

30 Laboratorio di Analisi dei sistemi
Grazie per l’attenzione! Ing. Raffaele Carli Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione