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aprile 2009III e IV ITI – A.S. 2008-20092/40 Premessa Scopo di questo percorso didattico è studiare, dal punto di vista matematico, alcuni fra i più noti.

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2 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Premessa Scopo di questo percorso didattico è studiare, dal punto di vista matematico, alcuni fra i più noti giochi di scommesse italiani (Lotto, Superenalotto, Totocalcio, Totogol, scommesse sportive) e vari giochi classici (roulette, poker ed altri giochi di carte, giochi di dadi). Utilizzando gli strumenti elementari del calcolo combinatorio e del calcolo delle probabilità discrete, si arriva a concludere come non possa essere costruito alcun metodo di gioco che garantisca di vincere. La conclusione è anzi che, per essere sicuri di vincere occorre essere i gestori del gioco. Tuttavia, per essere sicuri di non perdere, è sufficiente… non giocare!

3 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Calcolo Combinatorio Il Calcolo Combinatorio è la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare, secondo date regole, gli elementi di un insieme finito di oggetti, con l’obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti e/o ordinamenti.

4 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Disposizioni semplici (1/2) Dati n oggetti distinti, si dicono disposizioni semplici di n oggetti di classe k, con, tutte le possibili file che si possono formare con k degli n oggetti, distinti fra loro, considerando distinte due file se differiscono per l’ordine o per qualche elemento.

5 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Disposizioni semplici (2/2) Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k è dato da D n,k = n (n-1) … (n-k+1), cioè D n,k è uguale al prodotto dei k interi consecutivi decrescenti a partire da n.

6 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Permutazioni semplici (1/2) Si dicono permutazioni semplici di n oggetti le disposizioni semplici di n oggetti di classe n. In altri termini, le permutazioni di n oggetti sono tutti i possibili modi diversi di mettere in fila gli n oggetti.

7 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Permutazioni semplici (2/2) Tale prodotto viene indicato con il simbolo n!, che si legge n fattoriale o fattoriale di n. Il numero delle permutazioni di n oggetti è dato da cioè è il prodotto dei primi n numeri naturali.

8 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Disposizioni con ripetizione Dati n oggetti distinti, si dicono disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k, tutte le possibili file di k degli n oggetti, non necessariamente distinti fra loro, considerando distinte due file se differiscono per l’ordine o per qualche elemento. Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è dato da

9 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Esercizi sulle disposizioni 1.Quante parole di due lettere distinte si possono formare con le cinque vocali a, e, i, o, u? 2.In una gara di Formula 1 con 22 piloti, quante sono le possibili terne candidate a salire sul podio? 3.Dati i simboli 1, X, 2, quante colonne di 14 simboli siffatti si possono costruire? (gioco del Totocalcio)

10 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Soluzioni esercizi (1/2) ou oa oe oi ei eo eu ea Esercizio 1 Le parole formate da due vocali distinte sono: D 5,2 = 5 x 4 = 20 Queste sono infatti: io iu ia ie ua ue ui uo ae ai ao au

11 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Soluzione esercizi (2/2) Esercizio 2 Tutti i possibili podi di un Gran Premio di F1 con 22 piloti partecipanti alla gara sono: Esercizio 3 Tutte le possibili colonne della schedina del Totocalcio sono: D 22,3 = 22*21*20 = 9240 D r 3,14 = 3 14 =

12 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Combinazioni semplici Dati n oggetti distinti, si dicono combinazioni semplici di classe k, con, tutti i possibili gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, considerando distinti due gruppi se differiscono per almeno un elemento. Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k è dato da

13 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Coefficienti binomiali Si usa denotare il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k con il simbolo che si legge “n su k” e prende il nome di coefficiente binomiale. Proprietà: 2) 3) 1) 4)

14 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Esercizi sulle combinazioni 4.Un barman dispone di 30 liquori diversi. Quanti cocktail potrà preparare usando, ogni volta, tre dei predetti liquori? 5.Quante sono le diagonali di un poligono convesso avente n lati? 6.Quante sestine si possono fare al gioco del Superenalotto?

15 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Soluzioni esercizi (1/3) Esercizio 4 Supposto che non conti l’ordine con cui vengono aggiunti i liquori, il numero di cocktail che il barman può preparare è dato da:

16 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Soluzioni esercizi (2/3) Esercizio 5 Un poligono convesso con n lati ha n vertici. Ogni lato unisce due vertici consecutivi. Ogni diagonale unisce due vertici non consecutivi. Esagono: Lati n = 6 Diagonali C 6,2 -6 = 9 C n,2 è il numero di tutte le coppie di vertici che possiamo unire. Il numero delle diagonali è allora dato da:

17 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Soluzioni esercizi (3/3) Esercizio 6 Nel SuperEnalotto vengono estratti 6 numeri tra i primi novanta numeri naturali. Le possibili sestine sono: Curiosità Supponiamo di fare la giocata minima (2 colonne da sei numeri ciascuna) per tre volte alla settimana. Sapete quanto tempo impiegheremo per giocare tutte le combinazioni? Circa 2 milioni di anni!!!

18 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Calcolo delle Probabilità (discrete) Il Calcolo delle Probabilità è quella branca della matematica che studia i metodi per assegnare un “grado di verificabilità” ad eventi casuali, ossia un numero che misuri la facilità o meno che quell’evento ha di realizzarsi. Per i nostri scopi ci occupiamo solo di probabilità “discrete”, ossia riguardanti eventi verificabili nell’ambito di un numero finito di possibilità. In tale ambito solitamente si adotta la definizione “classica” di probabilità: la probabilità di un dato evento è data dal rapporto fra il numero di casi favorevoli al realizzarsi dell’evento ed il numero di tutti i casi possibili. Si fa l’implicita assunzione che tutti i casi possibili abbiano eguale facilità di verificarsi.

19 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lancio di una moneta Si lanci una moneta e si voglia prevedere il risultato del lancio (testa o croce). Si suppone che i due possibili esiti abbiano uguale probabilità, allora la probabilità di ciascuno di essi è 1/2 = 0,5. Se si scommette una posta in denaro sul risultato, è giusto ricevere, in caso di vincita, una somma pari alla posta scommessa divisa per la probabilità. Ossia, in questo gioco, la vincita equa sarebbe pari al doppio della posta giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei ricevere 2 euro).

20 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lancio di una moneta Se la moneta viene lanciata un certo numero n di volte, si vuole indovinare la disposizione di teste e croci. Il numero di disposizioni (con ripetizione) di 2 oggetti (i simboli testa e croce) ad n ad n è D r 2,n = 2 n. La probabilità di indovinare è quindi 1/2 n. Se si scommette una posta in denaro sul risultato, è giusto ricevere, in caso di vincita, una somma pari alla posta scommessa divisa per la probabilità. Ossia, in questo gioco, la vincita equa sarebbe pari a 2 n volte la posta giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei ricevere 2 n euro).

21 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lancio di un dado Si lanci un dado e si voglia prevedere il risultato del lancio. Si suppone che i sei possibili esiti abbiano uguale probabilità, allora la probabilità di ciascuno di essi è 1/6 = 0,1667. Se si scommette una posta in denaro sul risultato, è giusto ricevere, in caso di vincita, una somma pari alla posta scommessa divisa per la probabilità. Ossia, in questo gioco, la vincita equa sarebbe pari al sestuplo della posta giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei ricevere 6 euro). Analogamente al caso della moneta si procede nel caso di più lanci del dado (o del lancio di più dadi).

22 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Gioco della roulette Nel gioco della roulette la pallina, fermandosi su una delle caselle, ha 37 possibili esiti, cioè i numeri naturali da 0 a 36. La probabilità di ciascun numero è quindi 1/37 = 0,027. Il giocatore ha varie possibilità di scommessa, ma non può scommettere sullo zero. Se si scommette una posta in denaro sul singolo numero, la vincita equa sarebbe pari a 37 volte la posta giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei ricevere 37 euro). Invece il banco paga solamente 36 volte la posta. In pratica il banco fa finta che non esista lo zero (non si può scommettere su esso e non viene considerato nel pagare le vincite). Tuttavia, se lo zero esce, tutti i giocatori perdono la posta puntata…

23 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Gioco della roulette Si può poi scommettere sul tipo di numero uscito: pari o dispari, oppure rosso o nero (i numeri dall’1 al 36 sono contrassegnati da questi colori, metà sono rossi e metà sono neri, mentre lo zero è verde). La probabilità di vincere, però, non è 1/2 come nel gioco della monete, ma leggermente inferiore: 18/37 = 0,486. Ovviamente a causa della presenza dello zero, che il banco non considera né pari né dispari, né rosso né nero: se esce zero, vince il banco. Tuttavia, anche in questo caso, le vincite sono pagate come se lo zero non ci fosse: la vincita equa sarebbe pari a 37/18 della posta giocata, il banco paga invece 2 volte la posta giocata.

24 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Gioco della roulette Quindi, nelle scommesse su rosso o nero e su pari o dispari, giocando un euro e vincendo, si ricevono effettivamente 2 euro, mentre la vincita equa sarebbe di 37/18 = 2,06 euro. Si può scommettere anche sulle “dozzine” di appartenenza del numero uscito, con tre possibilità: da 1 a 12, da 13 a 24 e da 25 a 36. La probabilità di vincita non è 1/3 ma, a causa dello zero, di 12/37 = 0,324. Tuttavia la vincita pagata dal banco è di 3 volte la posta, anziché di 37/12 volte (se scommetto un euro e vinco, ricevo 3 euro anziché 3,08 euro come sarebbe giusto).

25 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Gioco della roulette Sono ammesse altre possibilità di scommessa: si può scommettere su una coppia di numeri (probabilità 2/37), su una terna (probabilità 3/37), su una quaterna (probabilità 4/37). In tutti i casi non è ammessa la puntata sullo zero ed il banco paga le vincite come se lo zero non ci fosse (ossia come se le suddette probabilità fossero, rispettivamente, 1/18, 1/12, 1/9). Complessivamente il banco, grazie allo zero, guadagna circa 1/37 di tutte le giocate della serata (in quanto mediamente, nel corso della serata, lo zero viene estratto una volta ogni trentasette giri di roulette). Può sembrare una quantità irrisoria, ma è proprio su essa che si basa il guadagno del casino!

26 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Gioco della roulette In un casino, infatti, vengono fatte centinaia di estrazioni in ogni serata, e vengono puntate decine di migliaia di euro. Di queste, 36/37 vengono impiegate, mediamente, per pagare le vincite, ma mediamente 1/37 resta al casino. E 1/37 di decine di migliaia di euro non è poco. Il giocatore che pure ha vinto, è stato in realtà “scippato” di una piccola parte della sua vincita. In alcune roulette, oltre allo zero, esiste anche il “doppio zero”, ossia 00. In questo caso, la “tassa” che il banco si assicura di incassare aumenta: non più 1/37 ma 2/38, ossia 1/19 delle giocate. Tutto sommato sono quantità che i vincitori accettano volentieri di devolvere al banco (che in qualche modo deve pur mantenersi).

27 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Concorsi pronostici I concorsi pronostici gestiti dallo Stato sono decisamente più “disonesti” rispetto alla roulette. La “tassa” che i gestori del gioco incamerano, pagando le vincite con cifre inferiori rispetto a quelle matematicamente eque, è decisamente superiore ad 1/37. Andiamo a vedere cosa succede nel Lotto, nel Superenalotto, nel Totocalcio e nel Totogol.

28 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Vi sono undici “ruote”, dieci delle quali abbinate ad altrettante città italiane ed una invece “nazionale”. In ciascuna ruota vengono estratti cinque numeri dall’1 al 90. Sebbene i numeri vengano estratti in un certo ordine, per cui si può parlare di primo estratto, secondo estratto, terzo estratto, quarto estratto e quinto estratto, in realtà ai fini delle vincite non occorre indovinare l’ordine di estrazione, ma solo i numeri estratti. Possiamo quindi parlare di combinazioni di 90 oggetti a 5 a 5. Il numero di possibili esiti dell’estrazione su una ruota è quindi pari al coefficiente binomiale di 90 su 5. Calcolandolo, esso vale Quindi quasi quarantaquattro milioni di possibilità!

29 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Giocando sull’estratto semplice, ossia sull’indovinare uno dei numeri estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le cinquine che contengono il numero giocato. Esse possono avere, accanto ad esso, quattro qualsiasi fra i restanti 89 numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi uguale al coefficiente binomiale di 89 su 4, che vale Dividendo per il precedente numero di casi possibili, si ha una probabilità di vittoria pari ad 1/18 = 0,056. La vincita matematicamente equa sarebbe quindi di 18 volte la puntata.

30 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Giocando sull’ambo, ossia sull’indovinare due dei numeri estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le cinquine che contengono i due numeri giocati. Esse possono avere, accanto ad essi, tre qualsiasi fra i restanti 88 numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi uguale al coefficiente binomiale di 88 su 3, che vale Dividendo per il numero di casi possibili, si ha una probabilità di vittoria pari a 2/901 = 0,002. La vincita matematicamente equa sarebbe quindi di 400,5 volte la puntata. Invece la vincita pagata dallo Stato è solamente di 250 volte la puntata.

31 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Giocando sul terno, ossia sull’indovinare tre dei numeri estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le cinquine che contengono i tre numeri. Esse possono avere, accanto ad essi, due qualsiasi fra i restanti 87 numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi uguale al coefficiente binomiale di 87 su 2, che vale Dividendo per il numero di casi possibili, si ha una probabilità di vittoria pari ad 1/ La vincita matematicamente equa sarebbe quindi di volte la puntata. Anche qui lo Stato paga una vincita notevolmente inferiore.

32 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Giocando sulla quaterna, ossia sull’indovinare quattro dei numeri estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le cinquine che contengono questi quattro numeri. Esse possono avere, accanto ad essi, uno qualsiasi fra i restanti 86 numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi uguale al coefficiente binomiale di 86 su 1, cioè proprio 86. Dividendo per il numero di casi possibili, si ha una probabilità di vittoria pari ad 1/ La vincita matematicamente equa sarebbe quindi di volte la puntata. Ancora una volta la vincita pagata dallo Stato è inferiore.

33 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Giocando sulla cinquina, ossia sull’indovinare tutti i numeri estratti, vi è evidentemente un unico caso favorevole. Dividendo per il numero di casi possibili, si ha una probabilità di vittoria pari ad 1/ Qui lo Stato la combina davvero grossa. Una cinquina viene infatti pagata un milione di volte la posta giocata. Sembra tanto, ma la vincita matematicamente equa sarebbe di volte la puntata! In pratica, chi gioca un euro sulla cinquina e vince, crede di aver vinto un milione di euro, ma in realtà lo Stato gli ha sottratto quasi altri 43 milioni di euro sotto forma di tassa di gioco nascosta. In più il vincitore dovrà pagare ulteriori tasse sul milione vinto…

34 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Lotto Tutte queste considerazioni giustificano il nome che alcuni danno a queste tasse nascoste applicate nei giochi pronostici, realizzate col meccanismo regolamentare di diminuire notevolmente il premio matematicamente equo: la tassa sull’ignoranza. Va ricordato che esiste la possibilità di giocare più combinazioni contemporaneamente (ad esempio giocando più numeri e/o effettuando la giocata su più di una ruota). In tali casi la vincita viene suddivisa per il numero di combinazioni effettivamente giocate (e qui lo Stato dimostra viceversa di conoscere bene il calcolo combinatorio…).

35 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Superenalotto La combinazione vincente del Superenalotto è formata da sei numeri dall’1 al 90, ricavati dai primi estratti di sei determinate ruote del Lotto. Ulteriori due ruote forniscono ulteriori due numeri (numero Jolly e numero Superstar) per creare ulteriori possibilità di vincita di cui non ci occupiamo. Esiste anche un meccanismo per creare comunque la combinazione vincente di sei numeri nel caso in cui su alcune ruote del Lotto esca lo stesso numero come primo estratto. In ogni caso, comunque, la combinazione vincente viene formata da sei numeri casuali, tutti diversi tra loro, compresi tra 1 e 90. Anche qui non conta l’ordine (combinazioni semplici di 90 oggetti a 6 a 6).

36 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Superenalotto Si giocano “colonne” di 6 numeri (occorre giocare almeno due colonne) e ogni colonna ha un costo fisso. La propria colonna vince se ha almeno tre numeri in comune con la colonna vincente. Vi sono quattro categorie di vincita, a seconda che siano stati indovinati tre numeri, quattro, cinque o tutti e sei. Qui il guadagno dello stato è semplice. Ad esempio, se si realizza il sei, come si è già visto si dovrebbe ricevere volte la posta giocata. Invece la vincita non tiene assolutamente conto del calcolo probabilistico, ma viene calcolata raggruppando tutti i vincitori nelle quattro categorie e dividendo fra essi delle quote del montepremi (ed una quota va comunque allo Stato).

37 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Totocalcio, Totogol Analogo discorso riguarda Totocalcio e Totogol. Vi sono 14 partite di calcio nella “schedina”. Nel Totocalcio occorre individuare chi vince ciascuna partita (vi sono tre possibilità contrassegnate dai segni 1, X e 2, dove X indica il pareggio e gli altri indicano la vittoria della prima o della seconda squadra). Sono disposizioni con ripetizione di tre oggetti a 14 a 14. Nel Totogol occorre indovinare il numero complessivo di gol realizzati in ciascuna partita (vi sono quattro possibilità contrassegnate dai segni 01, 2, 3 e 4+). Sono disposizioni con ripetizione di quattro oggetti a 14 a 14.

38 aprile 2009III e IV ITI – A.S /40 Totocalcio, Totogol Anche qui i premi, in base al numero di partite indovinate (almeno 12 nel Totocalcio, almeno 10 nel Totogol), sono basati solo su una suddivisione del montepremi e non sul calcolo combinatorio. E ben due terzi del montepremi vanno agli organizzatori…


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