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Sonia Taras Sonia Spanu Andrea Pittorra  Cosa sono le equazioni Cosa sono le equazioni Cosa sono le equazioni  Classificazione delle equazioni. Classificazione.

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2 Sonia Taras Sonia Spanu Andrea Pittorra

3  Cosa sono le equazioni Cosa sono le equazioni Cosa sono le equazioni  Classificazione delle equazioni. Classificazione delle equazioni. Classificazione delle equazioni.  Struttura delle equazioni di I grado. Struttura delle equazioni di I grado Struttura delle equazioni di I grado  La soluzione. La soluzione. La soluzione.  Classificazione in base al numero delle soluzioni. Classificazione in base al numero delle soluzioni Classificazione in base al numero delle soluzioni  Equazione ridotta a forma normale. Equazione ridotta a forma normale. Equazione ridotta a forma normale.  Primo principio di equivalenza. Primo principio di equivalenza. Primo principio di equivalenza.  Secondo principio di equivalenza Secondo principio di equivalenza Secondo principio di equivalenza  Risoluzione di una ‘ equazione di primo grado Risoluzione di una ‘ equazione di primo grado Risoluzione di una ‘ equazione di primo grado  Verifica soluzioni di un ’ equazione. Verifica soluzioni di un ’ equazione. Verifica soluzioni di un ’ equazione.

4 Si dice equazione un’uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. ESEMPIO: 3 x + 1 = 7 incognita

5 Numerica Intera fratta; razionale irrazionale Letterale Intera fratta trascendentetrascendente trascendente trascendente irrazionale irrazionale irrazionale razionale razionale razionale

6 ---- Un’equazione si dice numerica se, oltre alle incognite, vi figurano solo numeri. EEEESEMPIO 1): 3x+2=4x-5 UUUUn’equazione si dice letterale se oltre all’incognita vi figurano altre lettere dette costanti. EEEESEMPIO 2): ax+2=2a+4 UUUUn’equazione si dice intera se l’incognita compare solo nei numeratori di entrambi i membri, con esponenti positivi. ESEMPIO: 5x-2=4x-5 ovvero EEEESEMPIO 3): ( 1/3)x+2=(4/5)x-5

7 ---- Un’equazione si dice fratta se l’incognita compare anche al denominatore. EEEESEMPIO 3): Un’equazione si dice razionale se l’incognita non risulta sotto il segno di radice. EEEESEMPIO 4) 6x+2=-4x-5è un’equazione numerica razionale intera UUUUn’equazione si dice irrazionale se l’incognita figura sotto la radice. EEEESEMPIO 5) 2x+5 = 4x-2 è un’equazione numerica irrazionale intera 3x+2= 4x-5 x+2

8 EEEESEMPIO 6: EEEESEMPIO 7: x+2 3x-5 =3x-5 È un’equazione numerica irrazionale fratta ax+b ax-b = ax+b È un’equazione letterale irrazionale fratta È un’equazione su dice trascendente se l’incognita è l’argomento di un logaritmo ovvero di una funzione goniometrica ESEMPIO 8; Log(x+1)-Log(x)=Log(x-3) equazione logaritmica ESEMPIO 9; cos(x+1)=sin(x) equazione goniometrica ESEMPIO 10; 2 x+1 =8 equazione esponenziale

9 ax + b = 0 1° MEMBRO 2° MEMBRO

10 Si dicono soluzioni o radici di un’equazione i valori da attribuire alla variabile affinché i due membri dell’uguaglianza risultino uguali. ESEMPIO 5x-3=4x+1 Essa ammette come soluzione x=4: sostituendo tale valore nell’equazione si ottiene l’identità 17=17.

11 Un equazione si dice: - DDDD eeee tttt eeee rrrr mmmm iiii nnnn aaaa tttt aaaa se ammette un numero finito di soluzioni. - IIII nnnn dddd eeee tttt eeee rrrr mmmm iiii nnnn aaaa tttt aaaa s s s se ammette infinite soluzioni. - IIII mmmm pppp oooo ssss ssss iiii bbbb iiii llll eeee quando non ammette soluzioni.

12 Data l’equazione 5x+4= 0 5x=-4 x=-4/5 Essa è determinata perché ammette solo la soluzione x=-4/5. Data l’equazione ax+b=0 ; Se a≠0 allora è determinata ed ammette una ed una sola soluzione x = -b/a

13 x+3=x-2+5 x-x= x=0 Essa è indeterminata perché ammette infinite soluzioni. Data l’equazione ax+b=0 ; Se a=0 e b=0 allora è indeterminata ; si presenta nella forma 0x=0 che ammette infinite soluzioni

14 2x-7=2(x+1) 2x-7=2x+2 2x-2x=2+7 0x=9 Essa è impossibile perchè non esiste numero il cui prodotto per zero sia uguale a 9 Data l’equazione ax+b=0 ; Se a=0 e b≠0 allora è impossibile ; si presenta nella forma 0x=b che non ammette soluzioni in quanto non esiste nessun numero che moltiplicato per zero mi dia un numero diverso da zero

15 Un’equazione si dice ridotta a forma normale (FN) se il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero. 5x-3=0 È un’equazione ridotta a FN. ESEMPI: 3x-2=0 2x-7=0

16 Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione una stessa espressione, contenente o no l’incognita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. ESEMPIO: Se nell’equazione 5x-3=2 aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 2x si ottiene l’equazione equivalente: 5x-3+2x=2+2x.

17 Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per una stessa espressione algebrica, contenente o no l’incognita e che non perda di significato per i valori attribuiti alle lettere che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. ESEMPIO: 3x+4 2 = 5x+1 3 Se moltiplichiamo ambo i membri per 6 otteniamo l’equazione equivalente: 9x+12=10x+2

18 Per verificare se un valore è soluzione di un’equazione occorre sostituire nell’equazione iniziale, il valore all’incognita e, se tale valore è soluzione, deve trasformarla in identità.

19 2x+5x-2=-4x+3-7x Trasportiamo al primo membro tutti i termini che contengono l’incognita cambiandoli di segno 2x+5x +7x + 4x -2=-+3 Trasportiamo al secondo membro tutti i termini noti cambiandoli di segno 2x+5x +7x + 4x =+3 +2

20 A cura di: Frau Francesco Pala Francesca Patta Simona Francesca

21 Che cosa sono? Formula risolutiva I 3 tipi di equazioni Trinomio di secondo grado Regola di Cartesio

22 L’ equazione di secondo grado è un trinomio eguagliato a zero. Ax 2 +bx+c=0 Esempio: 4x 2 +4x+1=25 (2x+1) 2 = 25 Si può notare che il primo membro dell’equazione è il quadrato di un binomio Quindi si può scrivere anche: 2x+1= +/-5 2x=+5-1 2x= -5-1 X=2 X= -3

23 Formula risolutiva X 1,2 : -b+/-√b 2 -4(a)(c) 2(a) La formula risolutiva è il metodo che utilizziamo in una equazione di 2° grado per trovare x1 e x2. Una volta trovati i valori suddetti, l’equazione è stata completata.

24 I 3 tipi di equazione Pura Spuria Completa

25 Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma: ax2+bx=0 Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione: X= (ax+b)=0 Per la legge di annullamento del prodotto quest’equazione è equivalente alle due:legge di annullamento del prodotto X= 0 ax+b=0 E in definitiva le sue soluzioni sono: X=- b a a

26 Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma: ax 2 +c = 0 Portando c al secondo membro e dividendo per a si ottiene: x 2 =-c/a l'equazione non ammette soluzioni reali (ma due soluzioni immaginarie); viceversa, se: -c/a > 0 l'equazione è risolta da: X = +-√-c/a

27 Consideriamo il polinomio completo di secondo grado: ax 2 +bx+c e supponiamo anche che il discriminante dell'equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio sia positivo. Motiplicando e dividendo per a si ottiene: a (x2 + b x + c ) a a Abbiamo già trovato prima che X1 + x2 = - b a e X1*x2=c a Dunque: A [x 2 +- (x 1 +x 2 ) x + x 1 x 2 ] = a [ x2 – x1x – x2x + x1x2] = a [ x (x – x1) – x2 (x – x1)] = a (x – x1) (x – x2)

28 Si considerino i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado avente radici reali, si dice che si ha una permanenza se due coefficienti consecutivi sono concordi, si ha una variazione se sono discordi. La regola di Cartesio permette di ricavare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado essa afferma: In un'equazione di secondo grado avente radici reali il numero di di soluzioni negative è uguale al numero di permanenze, mentre il numero di soluzioni positive è uguale al numero di variazioni. Esempio: x 2 -5x+6=0, siccome a=1 b=-5 c=6 ci sono due variazioni si hanno due soluzioni positive infatti esse sono x 1 =2 e x 2 =3. Attenzione a regola di Cartesio si applica solo se il discriminante non è negativo, infatti in tal caso le radici sono immaginarie. Regola di Cartesio

29 A cura di: Canu Andrea Costaggiu Claudio Dessì Chiara

30 I punti che toccheremo Definizione di equazione di 3° e 4° grado Come risolvere un equazione di 3° e 4° grado Esempio di equazione di 3° e 4° grado

31 Esistono due tipi di equazione di 3° grado:  Equazioni reciproche di 3° grado di prima specie.  Equazioni reciproche di 3° grado di seconda specie.

32 ax 3 +bx 2 +bx+a=0 Un equazione di terzo grado reciproca di prima specie è un polinomio di terzo grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali, uguagliato a zero. Definizione di un equazione di 3° grado di prima specie

33 Risoluzione di un equazione di 3° grado di prima specie.  ax 3 +bx 2 +bx+a=0  a(x 3 +1)+bx(x+1)=0  a(x+1)(x 2 -x+1)+bx(x+1)=0  (x+1)[a(x 2 -x+1)+bx]=0  (x+1)[ax 2 -ax+a+bx]=0  (x+1)[ax 2 +(b-a)x+a]=0  {x+1=0  {ax 2 +(b-a)x+a=0  x 1 =-1  x 2 =-(b-a)+ (b-a) 2 -4a 2  x 3 =-(b-a)- (b-a) 2 -4 a 2 2a Risolvendo le rispettive operazioni otterremo i risultati delle X. Legge di annullamento del prodotto

34 Esempio numerico di equazione di 3° grado di prima specie  6x 3 +5x 2 +5x+6=0  6(x 3 +1)5x(x+1)=0  6(x+1)(x2-x+1)+5x(x+1)=0  (x+1)[6(x 2 -x+1)+5x]=0  (x+1)[6x2-6x+6+5x]=0  (x+1)[6x 2 -x+6]=0  X+1=0  6x 2 -x+6=0  x 1 =-1  X 2,3 =-b b 2 -4ac + - 2a a= 6 b= 1 c= 6 6x 2 -x+6=0 Risolvendo la rispettiva operazione otterremo i risultati delle X.

35 Definizione di un equazione di 3° grado di seconda specie Un equazione di terzo grado reciproca di seconda specie è un polinomio di terzo grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti, uguagliato a zero. ax 3 +bx 2 -bx-a=0

36 Risoluzione di un equazione di 3° grado di seconda specie  ax 3 +bx 2 -bx-a=0  a(x 3 -1)+bx(x-1)=0  a(x-1)(x 2 +x+1)+bx(x-1)=0  (x-1)[a(x 2 +x+1)+bx]=0  (x-1)[ax 2 +ax+a+bx]=0  x-1=0  ax 2 +(b+a)x+a=0  x 1 = +1  x 2 = -(b+a)+ (b+a) 2 -4a 2  x 3 = -(b+a)- (b+a)-4a 2 2a Risolvendo le rispettive operazioni otterremo i risultati delle X Legge di annullamento del prodotto

37 Esempio numerico di equazione di 3° grado di seconda specie  12x 3 -37x 2 +37x-12=0  12(x 3 -1)37x(x-1)=0  12(x-1)(x 2 +x+1)-37x(x-1)=0  (x-1)[12(x 2 +x+1)-37x]=0  (x-1)[12x 2 +12x+12-37x]=0  (x-1)[12x 2 -25x+12]=0  x-1=0  12x 2 -25x+12=0  x 1= 1  x 2=  x 3=

38 Esistono due tipi di equazioni di 4° grado:  Equazioni reciproche di 4° grado di prima specie.  Equazioni reciproche di 4° grado di seconda specie.

39 Definizione di un equazione di 4° grado di prima specie  L’equazione di quarto grado di prima specie, è un polinomio di quarto grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali, uguagliato a zero. ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0

40 Risoluzione di un equazione di 4° grado di prima specie…  ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0  ax 2 +bx+c+b+a=0  a(x 2 + )+b(x+ )+c=0  a[(x+ ) 2 -2]+b(x+ )+c=0  a[y 2 -2]+by+c=0  ay 2 -2a+by+c=0  ay 2 +by-2a+c=0 x2x2 x2x2 x2x2 x2x2 x2x2 xx2x2 1 x2x2 1 x 1 x 1 x ottengo = y1y1 y2y2

41 …continuo equazione di 4° grado di prima specie(2)…  Le y le abbiamo ottenute con la seguente formula risolutiva:  Y 1,2 = -b b 2 -4ac + - 2a = Ora bisogna sostituire a : i valori delle y. 1 x +x x+= 1 x y1y1 y2y2 Otteniamo con il m.c.m. X 2 -Y 1 X+1=0 X 2 -Y 2 X+1=0 Otteniamo con il m.c.m.

42 …continuo equazione di 4° grado di seconda specie(3).  Ora risolvendo le due equazioni di secondo grado otteniamo i risultati delle x.  x 2 -y 1 x+1=0  x 2 -y 2 x+1=0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4

43 Esempio numerico di equazione di 4° grado di prima specie…  6x 4 -5x 3 -38x 2 -5x+6=0  6x 2 -5x =0  6(x 2 + )-5(x+ )-38=0  6[(x+ ) 2 -2]-5(x+ )-38=0  6(y 2 -2)-5y-38=0  6y y-38=0  6Y 2 -5Y-50=0 1 x2x2 1 x 1 x 1 x x2x2 x2x2 x2x2 x2x2 x2x2 Divido tutti i termini per x 2 xx2x2

44 …continuo equazione di 4° grado di prima specie(2)…  Y 1.2 = 5 ±  5± x+ 1 x 10 3 =x 15 2 x =-+ ; 3x 2 +3=10 m.c.m 2x 2 +2=-5x m.c.m = = 2x 2 +5x+2= 0 3x x+3=0

45 …continuo equazione di 4°grado prima specie(3).  3x 2 -10x+3=0  X 1.2 = 10 ±  x 3.4 = -5 ± = 10 ± 8 6 = 4 = -5±3 4 = = = = =

46 Definizione di un equazione di 4° grado di seconda specie  L’equazione di quarto grado di prima specie, è un polinomio di quarto grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti, uguagliato a zero. ax 4 +bx 3 -bx-a=0

47 Risoluzione di un equazione di 4° grado di seconda specie  ax 4 +bx 3 -bx-a=0  a(x 4 +1)+bx(x 2 -1)=0  a(x 2 -1)(x 2 +1)+bx(x 2 -1)=0  (x 2 -1)[a(x 2 -1)+bx]=0  (x 2 -1)[ax 2 -a+bx]=0  (x 2 -1)[ax 2 +bx-a]=0  x 2 -1=0  ax 2 +bx-a=0  x 1 =  x 2 =  x 3 =  x 4 =

48 Esempio numerico di equazione di 4° grado di seconda specie  2x 4 +5x 3 -5x-2=0  2(x 4 -1)5x((x 2 -1)=0  2(x 2 -1)(x 2 +1)+5x(x 2 -1)=0  (x 2 -1)[(2(x 2 +1)+5x]=0  (x 2 -1)[2x x]=0  (x 2 -1)[2x 2 +5x+2]=0  x 2 -1=0  2x 2 +5x+2=0 Legge di annullamento del prodotto

49 …continuo equazione di 4° grado di seconda specie(2).  Ora risolviamo l’equazione: 2x 2 +5x+2=0  x 3.4 = *2(2) = = = 2

50 EQUAZIONI PARAMETRICHE  Roberta Floris  Elisabetta Melinu  Cristina Carta

51 Un ’ equazione di secondo grado si dice parametrica se almeno uno dei coefficienti dipende da una o pi ù variabili dette parametri.

52 Ecco un ’ esempio di equazione parametrica: x ² +Kx+2k=0 Dove b è uguale a k e c é uguale a 2k.

53 Data l ’ equazione parametrica: x ² +Kx+2k=0 trovare i valori di k in modo che le radici siano reali. La condizione da verificare è : b ² -4ac≥0

54 Nel nostro caso, a=1, b=k, c=2k, a=1, b=k, c=2k, per cui: per cui: k ² -4(1)(2k)≥0 K ² -8k≥0 K(k-8)≥0 da cui k≤0 o K≥8

55 K≤0 o K≥

56 Data l ’ equazione parametrica x ² -(k-2)x+k+1=0, determiniamo i valori di k in modo che, essendo le soluzioni reali: A) Una radice sia l ’ opposto dell ’ altra. B) Una radice sia uguale a 2. C) Una radice sia l ’ inverso dell ’ altra. D) Il prodotto delle radici sia uguale a -6.

57 A)UNA RADICE SIA L ’ OPPOSTO DELL ’ ALTRA SE: X 1 = -X 2 cio è X 1 - X 2 =0 ma X 1 + X 2 = -b/a, basta quindi imporre che sia k-2= 0 k=2 Per questo valore di k, tuttavia, le soluzioni non sono reali e dobbiamo concludere che il sono reali e dobbiamo concludere che il problema non ha soluzioni.

58 B) UNA RADICE SIA UGUALE A 2 Basta sostituire 2 al posto di X e risolvere l’equazione in k cos ì ottenuta: Basta sostituire 2 al posto di X e risolvere l’equazione in k cos ì ottenuta: 4-2(k-2)+k+1=0 k=9 Questa volta il valore trovato di k appartiene all’insieme definito dalla condizione di realt à delle radici (9>8) è d è quindi la soluzione del problema.

59 C) UNA RADICE SIA L’INVERSO DELL’ALTRA SE: X 1 = 1/X2 cio è X 1 *X 2 = 1 ma X 1 *X 2 = c/a, basta quindi imporre che sia k+1=1 k=0 per questo valore di K le soluzioni sono reali e sono anche coincidenti;ne consegue che esse sono anche coincidenti;ne consegue che esse devono essere uguali a 1. devono essere uguali a 1.

60 D)IL PRODOTTO DELLE RADICI SIA UGUALE A -6 Deve essere c/a -6 cio è k+1= -6 k= -7 anche questo valore di k è accettabile perch é è minore di 0.


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