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Stime per intervalli Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi.

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Presentazione sul tema: "Stime per intervalli Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi."— Transcript della presentazione:

1 Stime per intervalli Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi

2 2 Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli Il campo dell’inferenza statistica è costituito da metodi utilizzati per assumere decisioni o per trarre conclusioni su una popolazione e per tale scopo si basano sull’informazione contenuta in un campione Inferenza Statistica

3 3 CAMPIONE POPOLAZIONE Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc. Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

4 4 Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo) Campionamento Riferimento: Vicario, Levi “Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri” Progetto Leonardo Capitoli 7 e 8 Una popolazione può essere finita o infinita Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

5 5 Definizione: un insieme {X 1,X 2,..,X n } viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta f x 1,x 2,..,x n (x 1,x 2,..,x n ) delle n variabili X 1,X 2,..,X n può essere espresso come: Campionamento Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

6 6 Definizione: dato un campione {X 1,X 2,..,X n } proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità: Statistiche Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

7 7 Teorema: dato un campione {X 1,X 2,..,X n } proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che: Statistiche dove  e  2 sono rispettivamente media e varianza di f(x) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

8 8 Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X 1,X 2,..,X n } proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità: Statistiche Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

9 9 Teorema: dato un campione {X 1,X 2,..,X n } proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che: Statistiche dove  2 è la varianza di f(x) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

10 10 Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza  e  2 finite, sia X n la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media  e varianza  2 /n al tendere di n all’infinito. Teorema Limite Centrale Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

11 11 Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro  un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-  ) Stima per intervalli Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

12 12 Sia {X 1,X 2,..,X n } un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media  e varianza  2 nota. Stima per intervalli della media Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media  e varianza  2 /n. Consideriamo Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

13 13 Stima per intervalli della media Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

14 14 Stima per intervalli della media e quindi: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

15 15 Stima per intervalli della media dunque un intervallo fiduciario per la media Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

16 16 Se la varianza  2 non è nota allora si ha che la quantità Stima per intervalli della media segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

17 17 Stima per intervalli della media e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

18 18 Stima per intervalli della media e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

19 19 Tabella per la distribuzione di student Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

20 20 Tabella per la distribuzione di student Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

21 21 Talvolta è interessante poter stimare la differenza fra le medie di due popolazioni. Stima per intervalli della differenza tra due medie Esaminando le varianze delle due popolazioni   2 e   2, abbiamo tre casi particolari:   2 e   2 sono note;   2 e   2 non note ma uguali;   2 e   2 non note e non uguali. Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

22 22 Se X 1 e X 2 sono distribuite normalmente con varianza nota   2 e   2, allora la variabile casuale  =X 1 -X 2 è distribuita normalmente con media pari a   -  , inoltre si ha: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

23 23 Considerando la variabile Z così definita Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) è distribuita normalmente con media nulla e varianza unitaria (normale standardizzata) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

24 24 e quindi si ha: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) dunque Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

25 25 Riassumendo l’intervallo fuduciario per la differenza delle medie risulta Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

26 26 Se le varianze delle popolazioni non sono note ma è ragionevole ritenerle uguali si ha che la miglior stimata per la varianza delle popolazioni è data da: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note ma uguali) e dunque la stima della varianza di  è data da Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

27 27 Quindi, analogamente a quanto già visto, risulta che la quantità T definita da Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note ma uguali) segue la distribuzione di student con n 1 +n 2 -2 gradi di libertà Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

28 28 E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note ma uguali) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

29 29 Se le varianze delle popolazioni non sono note e non è ragionevole ritenerle uguali si ha che la quantità T definita da: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note e non uguali) segue approssimativamente la distribuzione di student con  gradi di libertà Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

30 30 Dove  è dato da: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note e non uguali) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

31 31 E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta: Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note e non uguali) Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

32 32 Analogamente a quanto visto per media e differenza di medie si può costruire un intervallo fiduciario per la varianza di una popolazione. Stima per intervalli della varianza questa segue una distribuzione chiamata chi-quadrato (  2 ) con n-1 gradi di libertà. Considerando la quantità definita da: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

33 33 Stima per intervalli della varianza E dunque risulta: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

34 34 Stima per intervalli della varianza E l’intervallo fiduciario: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

35 35 Tabella per la distribuzione  2 Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

36 36 Tabella per la distribuzione  2 Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

37 37 La quantità: Stima per intervalli del rapporto tra le varianze di due popolazioni segue una distribuzione di Fisher con   =n 1 -1 gradi di libertà a numeratore e   =n 2 -1 gradi di libertà a denominatore Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

38 38 Stima per intervalli della varianza E dunque risulta: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli

39 39 Stima per intervalli del rapporto delle varianze E l’intervallo fiduciario: Misure Meccaniche e TermicheStime per intervalli


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