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Misure Meccaniche e Termiche

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Presentazione sul tema: "Misure Meccaniche e Termiche"— Transcript della presentazione:

1 Misure Meccaniche e Termiche
Stime per intervalli Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi

2 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Inferenza Statistica Il campo dell’inferenza statistica è costituito da metodi utilizzati per assumere decisioni o per trarre conclusioni su una popolazione e per tale scopo si basano sull’informazione contenuta in un campione

3 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Inferenza Statistica POPOLAZIONE CAMPIONE Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc.

4 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Campionamento Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo) Una popolazione può essere finita o infinita Riferimento: Vicario, Levi “Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri” Progetto Leonardo Capitoli 7 e 8

5 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Campionamento Definizione: un insieme {X1,X2,..,Xn} viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta fx1,x2,..,xn(x1,x2,..,xn) delle n variabili X1,X2,..,Xn può essere espresso come:

6 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Statistiche Definizione: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità:

7 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Statistiche Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che: dove m e s2 sono rispettivamente media e varianza di f(x)

8 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Statistiche Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità:

9 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Statistiche Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che: dove s2 è la varianza di f(x)

10 Teorema Limite Centrale
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Teorema Limite Centrale Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza m e s2 finite, sia Xn la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media m e varianza s2/n al tendere di n all’infinito.

11 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro q un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-a)

12 Stima per intervalli della media
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media Sia {X1,X2,..,Xn} un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media m e varianza s2 nota. Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media m e varianza s2/n. Consideriamo

13 Stima per intervalli della media
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque

14 Stima per intervalli della media
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media e quindi:

15 Stima per intervalli della media
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media dunque un intervallo fiduciario per la media

16 Se la varianza s2 non è nota allora si ha che la quantità
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media Se la varianza s2 non è nota allora si ha che la quantità segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà

17 Stima per intervalli della media
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha:

18 Stima per intervalli della media
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della media e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da

19 Tabella per la distribuzione di student
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Tabella per la distribuzione di student

20 Tabella per la distribuzione di student
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Tabella per la distribuzione di student

21 Stima per intervalli della differenza tra due medie
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della differenza tra due medie Talvolta è interessante poter stimare la differenza fra le medie di due popolazioni. Esaminando le varianze delle due popolazioni s12 e s22, abbiamo tre casi particolari: s12 e s22 sono note; s12 e s22 non note ma uguali; s12 e s22 non note e non uguali.

22 Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) Se X1 e X2 sono distribuite normalmente con varianza nota s12 e s22, allora la variabile casuale D=X1-X2 è distribuita normalmente con media pari a m1 - m2, , inoltre si ha:

23 Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) Considerando la variabile Z così definita è distribuita normalmente con media nulla e varianza unitaria (normale standardizzata)

24 Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) e quindi si ha: dunque

25 Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze note) Riassumendo l’intervallo fuduciario per la differenza delle medie risulta

26 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note ma uguali) Se le varianze delle popolazioni non sono note ma è ragionevole ritenerle uguali si ha che la miglior stimata per la varianza delle popolazioni è data da: e dunque la stima della varianza di D è data da

27 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note ma uguali) Quindi, analogamente a quanto già visto, risulta che la quantità T definita da segue la distribuzione di student con n1+n2-2 gradi di libertà

28 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note ma uguali) E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta:

29 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note e non uguali) Se le varianze delle popolazioni non sono note e non è ragionevole ritenerle uguali si ha che la quantità T definita da: segue approssimativamente la distribuzione di student con u gradi di libertà

30 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note e non uguali) Dove u è dato da:

31 Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Stima per intervalli della differenza tra due medie (varianze non note e non uguali) E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta:

32 Stima per intervalli della varianza
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della varianza Analogamente a quanto visto per media e differenza di medie si può costruire un intervallo fiduciario per la varianza di una popolazione. Considerando la quantità definita da: questa segue una distribuzione chiamata chi-quadrato (c2) con n-1 gradi di libertà.

33 Stima per intervalli della varianza
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della varianza E dunque risulta:

34 Stima per intervalli della varianza
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della varianza E l’intervallo fiduciario:

35 Tabella per la distribuzione c2
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Tabella per la distribuzione c2

36 Tabella per la distribuzione c2
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Tabella per la distribuzione c2

37 Stima per intervalli del rapporto tra le varianze di due popolazioni
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli del rapporto tra le varianze di due popolazioni La quantità: segue una distribuzione di Fisher con u1=n1-1 gradi di libertà a numeratore e u2=n2-1 gradi di libertà a denominatore

38 Stima per intervalli della varianza
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli della varianza E dunque risulta:

39 Stima per intervalli del rapporto delle varianze
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli Stima per intervalli del rapporto delle varianze E l’intervallo fiduciario:


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