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TECNOLOGIE INFORMATICHE NELLA DIDATTICA Applicate alle discipline Matematica Fisica Grafica pubblicitaria.

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Presentazione sul tema: "TECNOLOGIE INFORMATICHE NELLA DIDATTICA Applicate alle discipline Matematica Fisica Grafica pubblicitaria."— Transcript della presentazione:

1 TECNOLOGIE INFORMATICHE NELLA DIDATTICA Applicate alle discipline Matematica Fisica Grafica pubblicitaria

2 CABRI GEOMETRE Software dinamico per la didattica MATEMATICAFISICA GRAFICA PUBBLICITARIA

3 FORMAZIONE DOCENTI A TEMPO INDETERMINATO DI NUOVA ASSUNZIONE Anno Scolastico 2004/2005 DIRETTORE DEL CORSO: Prof. Giovanni Vassallo TUTOR: Prof. Salvatore Cavallaro UTILIZZO DI CABRI GEOMETRE PER OTTENERE SOLUZIONI APPROSSIMATE DI EQUAZIONI POLINOMIALI IN UNA INCOGNITA, DI QUALSIASI GRADO (CON UNA PIU’ APPROFONDITA ANALISI DEL CASO POLINOMI DI SECONDO GRADO)

4 Dal Polinomio alla Spezzata: Ad un polinomio di secondo grado nella sola incognita “X” è possibile associare su un piano cartesiano “Oxy” una spezzata che comincia dal punto O ed è costituita da 3 segmenti incidenti ad angolo retto Ad ogni polinomio nella sola incognita “X” è possibile associare su un piano cartesiano “Oxy” una spezzata che comincia dall’origine O e costituita da tanti segmenti quanto il grado del polinomio più 1.

5 P(X) = AX² + BX + C La spezzata associata al polinomio si può interpretare come il cammino di un pedone su una scacchiera: il pedone si muove da principio lungo l’asse X di esattamente A quadretti in avanti (è sempre possibile fare in modo che A sia un numero positivo);

6 P(X) = AX² + BX + C Ora il pedone che si trova al termine della linea verde deve girare a destra se il segno del coefficiente B è concorde con quello di A; mentre deve girare a sinistra se il segno del coefficiente B è discorde da quello di A, quindi proseguire di B passi. (nella figura è discorde)

7 P(X) = AX² + BX + C Ora, analogamente, il pedone, che si trova al termine della linea rossa, deve girare a destra se il segno di C è concorde con B; mentre deve girare a sinistra se il segno di C è discorde da B, quindi proseguire di C passi. (nella figura è concorde)

8 Esempio: 3X² – 4X – 2 Ecco il percorso in questo esempio; il punto finale è stato indicato con la lettera C; è il punto dove termina il cammino Si nota che dopo la linea verde, si gira a sinistra perché b è discorde da A, mentre dopo la rossa, si gira a destra perché c è concorde con B.

9 Caso generale e considerazioni. Nel caso generale, un polinomio di grado N, avrà N+1 coefficienti (si contano anche quelli eventualmente nulli, ), a cui è possibile associare una spezzata che avrà N+1 segmenti, il procedimento è esattamente uguale a quello del caso quadratico. Considerazione particolare deve avere il caso dove uno o più coefficienti sono nulli, in quanto il pedone non avanza, ma si gira solamente e si prepara al tratto successivo, in che modo? E’ indifferente se si considera lo 0 un numero positivo o negativo, basta scegliere un’opzione e comportarsi di conseguenza…

10 Caso in cui un termine è nullo Consideriamo ad esempio il polinomio di terzo grado P(X) = X³ + 2X – 1 se consideriamo lo 0 positivo allora abbiamo la segnatura – e quindi le indicazioni: 1, destra, 0, destra, 2, sinistra, 1.

11 Algoritmo risolutivo (1) Dopo aver disegnato la spezzata relativa al polinomio, occorre creare la retta passante per il segmento b; in tale retta dovrà rimbalzare un raggio uscente dall’origine degli assi. Per ogni punto della retta avremo un raggio diverso da considerare.

12 Algoritmo risolutivo (2) Disegniamo una semiretta uscente da O e incidente la retta rossa in un punto variabile P. Quindi costruiamo una retta nera perpendicolare alla semiretta ora tracciata e passante per il punto P. Al variare del punto P, la retta nera potrà o meno incotrare il punto C finale della spezzata; i raggi uscenti da O per cui tale cosa accade sono le nostre soluzioni.

13 Algoritmo risolutivo (3) Questa è una delle soluzioni, se chiediamo al programma di fornirci le coordinate di P otteniamo il risultato: P = (3; 5,18) E quindi di conseguenza la retta uscenta ha coefficiente angolare (5,18):3 = 1,726 Ebbene tale valore è una soluzione approssimata dell’equazione data!

14 Algoritmo risolutivo (4) C’è anche un’altra soluzione? La cerchiamo spostando il punto P sulla retta rossa, la troviamo per un valore negativo della tangente; il secondo punto P ha coordinate: P = (3, –1,16) A cui corrisponde la soluzione x = (–1,16):3 = – 0,387

15 Commento dei risultati Verifichiamo la bontà dei risultati ottenuti, confrontandoli con i veri risultati forniti dalla formula risolutiva: Abbiamo Delta = 16+24= 30 E quindi x 1 = 1,579 ; x 2 = –0,262 Che confrontata con x 1app = 1,726 e x 2app = –0,387 Ci fornisce un errore relativo dell’ 8,5% Tale errore può essere abbassato se si ingrandiscono le proporzioni dei segmenti.


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