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ESERCIZIO Scrivere una procedura o funzione che assegnato un albero binario di interi calcoli la sua altezza e assegnato un livello Lev conti il numero.

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2 ESERCIZIO Scrivere una procedura o funzione che assegnato un albero binario di interi calcoli la sua altezza e assegnato un livello Lev conti il numero num di tutti i nodi presenti in quel livello e il numero di foglie. Nodi= lev H=4 Lev=3 Nodi=4 Nodi Lev=3 14, 17, 23, 26 N. Foglie=7

3 int contanodi(Tnodo A) { // CONTA I NODI DI UN ALBERO A if (A==NULL) return 0; else return contanodi(A->left)+contanodi(A->right)+1; } int Altezza(Tnodo A) { // CALCOLA L’ALTEZZA DI UN ALBERO A int Hs=0, Hd=0; if (A==NULL) return -1; else { Hs=Altezza(A->left); Hd=Altezza(A->right); if (Hs > Hd) return Hs=1+Hs; else return Hd=1+Hd; } }

4 void ContaL(Tnodo A, int n, int& conta) { //CONTA i NODI DI LIVELLO n if (A!=NULL) if (n==0) conta++; else { ContaL(A->left,n-1,conta); ContaL(A->right,n-1,conta); } }

5 void StampaLivello(Tnodo A, int n) { // SI RICHIAMA CON n=livello scelto if (A!=NULL) if (n==0) cout key<<" "; else { StampaLivello(A->left,n-1); StampaLivello(A->right,n-1); }

6 Tnodo estremaSinistra(Tnodo A) { if (A->left==NULL) return A; else return estremaSinistra(A->left) ; } Tnodo estremaDestra(Tnodo A) { if (A->right ==NULL) return A; else return estremaDestra(A->right) ; } alberiGenerale0_ lev

7 CANCELLAZIONE DI UN NODO DI UN ALBERO La cancellazione di un nodo di un albero presuppone che una volta avvenuta venga mantenuta l’integrità dell’albero e che nel caso si tratti di un BST si salvaguardata anche la relazione tra i vari nodi.

8 Cancellazione in un albero non ordinato Nel caso degli alberi non ordinati è necessario preoccuparsi solo di mantenere l’integrità dell’albero non essendoci relazioni d’ordine tra i vari nodi. E’ pertanto sufficiente scorrere l’albero per trovare il nodo da cancellare, conoscendo ad esempio la chiave. Se viene trovato, è sufficiente ricercare una foglia dell’albero, non importa quale, sostituire la chiave della foglia a quella da cancellare e quindi eliminare la foglia. Nel lucido seguente è mostrato un esempio.

9 Nel caso dell’albero di figura si vuole cancellare il nodo con chiave 30. Poichè la chiave esiste è allora sufficiente cercare una foglia, ad esempio quella con chiave 28, sostituire questa chiave a quella da cancellare e eliminare la foglia

10 Cancellazione in un albero ordinato BST Nel caso degli alberi ordinati è necessario preoccuparsi non solo di mantenere l’integrità dell’albero ma anche la relazione d’ordine esistente tra i vari nodi. Vanno distinti tre casi: Il nodo da cancellare è una foglia Il nodo da cancellare ha un solo figlio Il nodo da cancellare ha sia un sotto albero destro che un sotto albero sinistro.

11 Nella figura seguente si mostrano i primi due casi che sono di semplice soluzione. Infatti se il nodo è una foglia è sufficiente eliminarla ponendo a NULL il puntatore del parent (padre) che la riguardava. Si vedano gli esempi (a) e (b). Nel caso in cui il nodo da cancellare ha un solo sottoalbero, è allora sufficiente legare la radice del sotto albero a cui punta il nodo da cancellare, con il parent che punta al nodo. In questa maniera, ovviamente si preserva l’ordine. Si vedano gli esempi (c) e (d).

12 ELIMINAZIONE DI UN NODO SU UN BST New Old Parent Old New Parent Old Parent Old (a) (d) (b) (c)

13 Nel caso in cui il nodo da cancellare abbia sia il sotto albero di sinistra che quello di destra allora si procede come segue: si sostituisce alla chiave del nodo da cancellare o la chiave del nodo di valore maggiore del suo sottoalbero di sinistra o quella di valore minore del suo sotto albero di destra. Se questo nodo ha a sua volta un sottoalbero di destra o uno di sinistra ci si comporta nei suoi confronti come se fosse un nodo da cancellare e quindi si esegue la stessa procedura sopra descritta.

14 Nell’esempio di figura si sostituisce alla chiave 30 del nodo individuato, la chiave del nodo 35 che è la più piccola del suo sottoalbero destro. Nodo da cancellare

15 15 Analizziamo il problema della riorganizzazione dell’albero una volta eliminato un nodo. Caso a- il nodo (QQQ) da eliminare ha il sotto albero sinistro vuoto. Nell’esempio si usa la stessa nomenclatura che verrà utilizzata in seguito nel codice. QQQ RRR Parent Candidate leftright Il puntatore che da Parent prima puntava a Candidate ora acquista il valore del puntatore a RRR ottenuto in questo caso da Candidate->right

16 16 Analizziamo il problema della riorganizzazione dell’albero una volta eliminato un nodo. Caso a- il nodo (QQQ) da eliminare ha il sotto albero sinistro vuoto. QQQRRR Parent Candidate leftright Caso b- il nodo da eliminare ha il sotto albero sistro vuoto. La procedura è analoga alla precedente. Eliminare Dora Maria Giulio Sergio DoraGuidoToniRoberto Elena Maria Giulio Sergio GuidoToniRoberto Elena

17 Pseudo Codice if (Candidate->left==NULL) LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, Padre, Tree) else if (Candidate->right==NULL)) LegaPadre(Candidate, Candidate ->left, Padre, Tree) else continua a riorganizzare l’albero void LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) {riorganizza l’albero BST dopo l’eliminazione di un nodo} QQQ RRR Padre Candidate leftright

18 void LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) //collega il nodo genitore con il sottoalbero connesso al nodo da cancellare { if (Padre==NULL)//{sostituiamo la root} Tree= NewChild; else if (OldChild ==Padre->left) Padre->left=NewChild; //{sostituiamo al genitore il figlio sinistro} else Padre->right=NewChild; //{sostituiamo al genitore il figlio destro} } New Old Parent Old New

19 Riassunto dei tipi di cancellazione New Old Parent Old New void DelTNode(int KeyValue, Tnodo &Tree, bool &Done) {elimina il nodo con chiave KeyValue ricostruendo la struttura BST. Se il Nodo non esiste Done risulta False}

20 20 Pesudo codice di DelTNode(Key, Tree, Done) Cerca(Tree, Key, Candidato, Parent) Fornisce il puntatore della Key da eliminare e quello del suo genitore. Se Candidato=NULL significa che la Key non c’è. DammiChiave(Candidato, CandsKey) Fornisce la chiave CandsKey di Candidato if CandsKey<> Key Se la chiave trovata e quella di partenza non corrispondono CandsKey=NULL allora esci else Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero destro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro.

21 Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Padre=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato Non c’è niente da cancellare void DelTNode(int KeyValue, Tnodo &Tree, bool &Done) { Tnodo Candidato; // puntatore al nodo candidato per la cancellatura Tnodo Padre; // puntatore al genitore del nodo candidato} int CandsKey; Done=true; Cerca( Tree, KeyValue, Candidato, Padre); DammiChiave(Candidato, CandsKey); if (CandsKey!=KeyValue) Done=false; else if (Candidato->left==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); else if (Candidato->right==NULL) { LegaPadre(Candidato, Candidato->left, Padre, Tree); } else NuovoCandidato(KeyValue, Candidato, Tree); KillTNode(Candidato); } Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di candidato con la radice del sotto albero destro. Se Padre =NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro.

22 void NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) {Tnodo Dummy; //variabile ausiliare per la chiamata a Cerca Tnodo Padre; Tnodo OldCandidato; int CandsKey; OldCandidato= Candidato; Cerca(OldCandidate->right, KeyValue, Dummy, Candidato) OldCandidato->key= Candidato->key; DammiChiave(Candidato, CandsKey); Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Padre) if (Padre==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, OldCandidato, Tree); else LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); } Ricerca OldCandidate a partire dal suo nodo destro con la conseguenza che trova il più piccolo di questo sottoalbero (Candidato) (Dummy vale NULL) Sostituisci il nodo da cancellare con CandidateRiprendi la chiave del nodo spostato Cerca il più piccolo nodo del sottoalbero destro del nodo spostato a partire dalla sua primitiva posizione Collega il sottoalbero destro con il padre del nodo spostato Se il nodo da cancellare è la root allora collega il sottoalbero destro con la root

23 Cerca Cerca(Tree, KeyValue, TNode, Padre) Obiettivo: cercare un cammino verso un determinato nodo dell’albero. Se il nodo non esiste ritorna NULL. Se esiste ritorna il puntatore al nodo individuato e quello di suo padre. Pseudo Codice Padre  NULL {la root non ha genitori} TNode  Tree {la radice è il primo nodo esaminato} DammiChiave(TNode, NodesKey){estrai la chiave del nodo in esame} while ci sono altri nodi da esaminare AND non si è ancora trovato il nodo { Padre  TNode Tnode  il sottoalbero legato al KeyValue DammiChiave(TNode, NodesKey){estrai la chiave del nodo in esame} Tnode!=NULL NodesKey <> KeyValue if (NodesKey > KeyValue) TNode  radice del sottoalbero sinistro else TNode  radice del sottoalbero destro Il padre dell’ultimo nodo esaminato durante la ricerca di KeyValue

24 void Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) { int NodesKey; Padre=NULL; Node=Tree; DammiChiave(Node, NodesKey) ; while ((Node!=NULL) && (NodesKey!=KeyValue)) { Padre=Node; if (NodesKey>KeyValue) Node=Node->left; else Node=Node->right; DammiChiave(Node, NodesKey); } } ; Ricordarsi che DammiChiave nel caso trovi NULL ritorna una chiave nulla. void DammiChiave(Tnodo TNode, int &TheKey) { //ritorna il key field del nodo puntato da Tnode, se Tnode è // NULL allora ritorna il valore di -100 if (TNode != NULL ) TheKey= TNode ->key; else TheKey= -100; }

25 DelTNode (K,T,d) Cancella il nodo K dell’albero T Cerca (T,K,N,P) Cerca in T il nodo K. Il suo puntatore è N e P è suo padre DammiChiave (K,N) Verifica che a N corrisponde la chiave K La chiave non cè: ESCI N->left=NULLN->right=NULL LegaPadre (N,N->right,P,T) Collega il padre P con N->right e cancella N Collega il padre P con N->left e cancella N LegaPadre (N,N->left,P,T) NuovoCandidato (K,N,T) NuovoCandidato (K,N,T) Cerca (N->right, K, D, U) DammiChiave (Uk,U) Cerca (N->right, Uk, D, P) P=NULL P  NULL LegaPadre (U,U->right,N,T) LegaPadre (U,U->left,N,T) Cerco il più piccolo a destra. Parto a destra di K cerco K e così ottengo il più piccolo, U A partire dal sotto albero destro di N, cerco Uk per avere suo padre P RICAPITOLANDO

26 26 Pesudo codice di DeleteTNode(Key, Tree, Done) Cerca(Tree, Key, Candidato, Parent) Fornisce il puntatore della Key da eliminare e quello del suo genitore. Se Candidato=NULL significa che la Key non c’è. DammiChiave(Candidato, CandsKey) Fornisce la chiave CandsKey di Candidato if CandsKey<> Key Se la chiave trovata e quella di partenza non corrispondono CandsKey=NULL allora esci else Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero destro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. RICAPITOLANDO

27 Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) fornisce il puntatore Candidato del node che ha chiave Key e il puntatore Padre come padre a b KeyValue=b Node=P(b) Padre =P(a) LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) collega NewChild con Parent eliminando OldChild, se Padre =NULL, cioè Old=Tree è la radice allora mette NewChild al posto di OldChild e quindi di Tree Padre NewChild OldChild NewChild

28 RICAPITOLANDO NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) Cerca nel sottoalbero destro di OldCandidato il nodo con chiave minima. Questa chiave va a sostituire quella del nodo Old Candidato. Inoltre se il nodo con chiave minima ha sotto alberi allora opera come precedentemente visto OldCandidato Candidato void NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) { Tnodo Dummy; //variabile ausiliare per la chiamata a Cerca Tnodo Padre; Tnodo OldCandidato; int CandsKey; OldCandidato= Candidato; Cerca(OldCandidate->right, KeyValue, Dummy, Candidato) OldCandidato->key= Candidato->key; DammiChiave(Candidato, CandsKey); Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Padre) if (Padre==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, OldCandidato, Tree); else LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); }

29 Cerca(Tree, KeyValue, Candidate, Parent) DammiChiave(Candidate, CandsKey); if CandsKey<> KeyValue Done=FALSE else if (Candidate->left==NULL) LegaPadre(Candidate, Candidate-> Right, Parent, Tree) else if (Candidate->right==NULL)) LegaPadre(Candidate, Candidate-> Left, Parent, Tree) else NuovoCandidato(KeyValue, Candidate, Tree); KillTNode(Candidate); Cancellare il nodo 30 OldCandidate = Candidate Cerca( OldCandidate->right), KeyValue, Dummy, Candidate) OldCandidate->Key = Candidate^.Key; CandsKey = Candidate->Key; Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Parent); if Parent = NULL THEN LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, OldCandidate, Tree) else LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, Parent, Tree); P30 P40 30 NULL P34 34 P40 34 P34 P P34 P35 P36 NuovoCandidato(KeyValue, Candidate, Tree) DelTNode(KeyValue, Tree, Done) alberiGenerale0_4

30 Cancella un nodo

31 Cancella la root

32 ESERCIZIO Sia assegnato un albero binario, scrivere un algoritmo tale che sposti ogni figlio sinistro nel corrispondente figlio destro e viceversa. A BC DEF GH A CB DFE HG

33 PROVE INTERCORSO B1 Scrivere una funzione ricorsiva che verifichi che la somma degli elementi delle singole righe di una matrice M(NxN) sono uguali ai primi N elementi generati dalla successione partendo da a 5 : a 1 =2, a 2 =1, a 3 =-1, a 4 =3 - a n = a n-1 -3* a n-2 + a n-3 - a n-4 Esempio Sia N=4 ; Successione= 2, 1, -1, 3, -5, 12, -27, 57, -125, 275, -598, 1305, bool verificaMat(int A[][Nmax],int N,int i, int j, int a1,int a2,int a3, int a4) { int an=0,somma=0; if (i>N-1) return true; else an=a1 -3* a2 + a3- a4 ; if (sommaRighe(A,N,i,0,a1,somma)==false) return false; else return verificaMat(A,N, i+1,0, a2, a3, a4,an); } PRECONDIZIONI a1 =2; a2=1; a3=-1; a4=3; i=0,j=0; an

34 B2 Data una matrice M(NxN) e un vettore A[N] scrivere una procedura ricorsiva che calcoli il vettore B[N] tale che Esempio: M= A=3B= void ricB2(int M[][Nmax],int A[],int B[], int i, int j, int N ) { if (i>N-1) return; else if (j>N-1) ricB2(M,A,B,i+1,0,N); else { //B[i]=M[i][j]*A[i]+B[i]; B[i]=M[i][j]*A[j]+B[i]; ricB2(M,A,B,i,j+1,N); } PRECONDIZIONI i=0,j=0;

35 B3 1- Data una matrice di caratteri M(NxN) contare, utilizzando solo funzioni ricorsive, quante delle sue righe sono palindrome. Esempio qerwes treert sdffds dawsref fghhgf rewert Risposta Numero righe palindrome=3 int ricB3(char A[][Nmax], int i, int j, int N) { if (i>N-1) return 0; else if (j<=N/2-1) {if (A[i][j]!=A[i][N-1-j]) return ricB3(A,i+1,0,N); else return ricB3(A,i,j+1,N);} else { return ricB3(A,i+1,0,N)+1;} } PRECONDIZIONI i=0,j=0;

36 B4 Scrivere una funzione ricorsiva che verifichi che la somma degli elementi delle colonne di una matrice M(NxN) sono uguali ai primi N elementi, a partire dal quinto, generati dalla successione: a 1 =2, a 2 =1, a 3 =-1, a 4 =3 a n = a n-1 -3* a n-2 + a n-3 - a n-4 Esempio Sia N=4; Successione= 2, 1, -1, 3, -5,12,-27,57,-125,275,-598, bool verificaMat(int A[][Nmax],int N,int i, int j,int a1,int a2,int a3, int a4) { int an=0,somma=0; if (j>N-1) return true; else an=a1 -3* a2 + a3- a4 ; if (sommaColonne(A,N,i,j,an,somma)==false) return false; else return verificaMat(A,N, 0, j+1, a2, a3, a4, an); } PRECONDIZIONI a1 =2; a2=1; a3=-1; a4=3; i=0,j=0;

37 int main() { int item, pos, som; string nome; Pnodo L1,L2, TL1,TL2,TL; cout<<" LISTA DI PARTENZA L1 \n"< r->o->t->o->t->i->p->a->l->e L2= t->o->t->i L1= p->r->o->p->a->l->e

38 Pnodo A1Lis(Pnodo TL1,Pnodo L1,Pnodo L2, Pnodo TL2) { Pnodo precL1=NULL;Pnodo temp, currL1=NULL; while (L1->next!=NULL) { L2=TL2; currL1=L1; while ((currL1->next!=NULL)&&(L2->next!=NULL)&&(currL1->info==L2->info)) { currL1=currL1->next; L2=L2->next; } if (currL1->next==NULL) {cout<<"\n\n L2 non e' sotto stringa di L1 \n"; return TL1;} if (L2->next==NULL) { cancella(L1,currL1->next,TL1,precL1); return TL1; } else { precL1=L1; L1=L1->next; } void cancella(Pnodo L1, Pnodo currL1, Pnodo &TL1, Pnodo precL1) { Pnodo temp; if (precL1==NULL) TL1=currL1; else precL1->next=currL1; while (L1->next!=currL1->next) { temp=L1; L1=L1->next; delete temp; }


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