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Operazioni musicali nel sistema di rappresentazione binomiale

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Presentazione sul tema: "Operazioni musicali nel sistema di rappresentazione binomiale"— Transcript della presentazione:

1 Operazioni musicali nel sistema di rappresentazione binomiale
Lezione 5 Operazioni musicali nel sistema di rappresentazione binomiale Programmazione per la Musica | Prof. Luca A. Ludovico

2 Coppie <pc,nc> ammissibili
Sulle colonne sono disposte le note con lo stesso nome e diverso stato di alterazione (sempre 5), sulle righe le enarmonie (sempre 3, ad eccezione di G#/Ab). Quante sono le possibili combinazioni? Teoricamente 12 ∙ 7 = 84, ossia tutte le celle nella tabella a fianco In pratica, considerando al più le doppie alterazioni, 7 ∙ 5 = 35. Fino ad alterazioni quintuple non ci sarebbe ambiguità (vedi colonna C). pc nc 1 2 3 4 5 6 C Dbb B# C# Db Bx Cx D Ebb Cx# D# Eb Fbb Cxx Dx E Fb Cxx# E# F Gbb ? Ex F# Gb 7 Cbbbbb Fx G Abb 8 Cbbbb G# Ab 9 Cbbb Gx A Bbb 10 Cbb A# Bb 11 Cb Ax B Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

3 Rappresentazione binomiale degli intervalli
pc nc 1 2 3 4 5 6 P1 d2 (3d)3 A7 A1 m2 (2d)3 (2A)1 M2 d3 (3A)1 A2 m3 (4A)1 (2A)2 M3 d4 (5A)1 (3A)2 A3 P4 ? (4A)2 (2A)3 A4 d5 7 (5d)1 (5A)2 (3A)3 P5 d6 8 (4d)1 (5d)2 (4A)3 A5 m6 9 (3d)1 (4d)2 (5A)3 M6 d7 10 (2d)1 (3d)2 (5d)3 A6 m7 11 d1 (2d)2 (4d)3 M7 nc specifica l’ampiezza dell’intervallo generico, e pc la dimensione in semitoni. Sulle colonne si trovano intervalli la cui dimensione generica è uguale (ad es., le terze, le quarte, ecc.) mentre sulle righe si trovano gli intervalli omofoni. Il sistema non è ambiguo fino agli intervalli quintuplamente eccedenti (5A) o diminuiti (5d). Legenda: …, d = diminuito (diminished), m = minore (minor), P = giusto (perfect), M = maggiore (major), A = eccedente (augmented), … Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

4 Operatori musicali: trasposizione
Tutte le operazioni viste nei sistemi pc e nc sono possibili anche in rappresentazione binomiale: vengono eseguite separatamente sulle componenti pc in modulo 12 e nc in modulo 7. La trasposizione corrisponde all’addizione. Trasporre una nota <a,b> di un intervallo <c,d> significa: <a,b> + <c,d> = <(a + c) mod 12, (b + d) mod 7> Esempio: trasporre D (Re naturale) di una terza maggiore <2,1> + <4,2> = <6,3> D M3 = F# La trasposizione può avvenire in senso discendente. Trasporre di una terza maggiore discendente implica sommare <-4,-2> Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

5 Proprietà della trasposizione nel sistema binomiale
Sia U l’insieme universo costituito dalle 84 classi di altezze binomiali, ottenibili come combinazione dei 7 valori ammessi per nc e dei 12 valori ammessi per pc. Siano A, B e C tre binomi qualsiasi  U. (A + B)  U A + B = B + A la somma è commutativa (A + B) + C = A + (B + C) la somma è associativa <0,0> è l’elemento neutro per l’addizione, in quanto A + <0,0> = A Per ogni A esiste un inverso A’ tale che A’ + A = <0,0> L’inversione di <a,b> è <a,b>’ = <12,7> - <a,b> = <(12 – a) mod 12, (7 – b) mod 7> Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

6 Operatori musicali: calcolo dell’intervallo
Per determinare l’intervallo tra due note, si sottrae la prima nota dalla seconda. Tale calcolo corrisponde all’operazione di sottrazione. Calcolare l’intervallo tra le note <c,d> e <a,b> significa: <a,b> - <c,d> = <(a - c) mod 12, (b - d) mod 7> Esempio: l’intervallo tra Eb (Mi bemolle) e A (La naturale) è <9,5> - <3,2> = <6,3> A - Eb = A4 [quarta eccedente] Invertendo gli estremi dell’intervallo: <3,2> - <9,5> = <6,4> Eb – A = d5 [quinta diminuita] Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

7 Operatori musicali: inversione dell’intervallo
Come specificato sopra, l’inversione di un generico intervallo <a,b> è <a,b>’ = <12,7> - <a,b> = <(12 – a) mod 12, (7 – b) mod 7> Attenzione: apparentemente l’operazione è simile al calcolo di un intervallo, in quanto implica la differenza tra due binomi. In questo caso però la rappresentazione binomiale codifica intervalli e non altezze delle note. Esempio: l’inversione di una quarta giusta è <12,7> - <5,3> = <7,4> P4 [4a giusta] P5 [5a giusta] Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

8 Operatori musicali: inversione melodica
L’inversione melodica di una sequenza è la sottrazione di ciascuna nota della sequenza da una costante binomiale Esempio: inversione melodica rispetto alla costante <4,2> Si osservi che se la costante binomiale è il doppio di una data nota (espressa come binomio), ha luogo inversione rispetto a quella nota. Nel caso sopra, si tratta della prima nota della sequenza. D E F# A C <2,1> <4,2> <6,3> <9,5> <0,0> <4,2> - <2,1> = <4,2> = <6,3> = <9,5> = <0,0> = <10,6> <7,4> Bb G Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

9 Operatori musicali: prodotto
Si definisca ora l’operatore×nel seguente modo: <a,b> × <c,d> = <(a × c) mod 12, (b × d) mod 7> (A x B)  U A×B = B×A il prodotto è commutativo (A×B)×C = A×(B×C) il prodotto è associativo <1,1> è l’elemento neutro per il prodotto, in quanto A×<1,1> = A La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma: A×(B + C) = (A×B) + (A×C) (A + B) ×C = (A×C) + (B×C) Le proprietà qui elencate, più le proprietà della somma, sono sufficienti per dimostrare che si tratta di un anello commutativo con identità. Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

10 ESEMPI CbrStats.java Il software legge in ingresso una sequenza di valori numerici interi codificati come Continuous Binomial Representation, e calcola: la frequenza (espressa in Hz) del pitch più acuto la frequenza (espressa in Hz) del pitch più grave la frequenza media dei pitch. Osservazione: ci si sta concentrando sull’aspetto acustico delle note (le frequenze in Hertz) Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

11 EseRCIZIO Si scriva un programma che richieda in ingresso una sequenza di pitch, espressi come cbr, e produca in uscita (in formato cbr): una trasposizione diatonica, ossia di un certo numero di gradi della scala es.: T3(C#3, A5, B4, G#6) = E#3, C6, D5, B#6 una trasposizione cromatica, ossia di un certo numero di semitoni es.: Tm3(C#3, A5, B4, G#6) = E3, C6, D5, B6 una qualsiasi scrittura enarmonica es.: E(C#3, A5, B4, G#6) = Db3, Bbb5, Cb5, Ab6 l’inversione speculare della sequenza melodica rispetto all’ultima nota della sequenza es.: I(C#3, A5, B4, G#6) = ?3, ?5, ?4, G#6 Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico 5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali


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