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SISTEMI di RIFERIMENTO PIANI. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2 Un sistema di riferimento è un insieme di parametri (presi.

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1 SISTEMI di RIFERIMENTO PIANI

2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2 Un sistema di riferimento è un insieme di parametri (presi a coppie o a terne), detti coordinate, che individuano la posizione dei punti (nel piano o nello spazio). Le coordinate sono grandezze, omogenee o eterogenee, con la funzione di individuare la posizione dei punti (nel piano o nello spazio).DEFINIZIONE PER DEFINIRE UN PUNTO : SISTEMI DI RIFERIMENTO CARTESIANI SISTEMI DI RIFERIMENTO CARTESIANI SISTEMI DI RIFERIMENTO POLARI SISTEMI DI RIFERIMENTO POLARI

3 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 3 DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema cartesiano obliquo O X  Y Si dice che è stato fissato nel piano un sistema cartesiano obliquo OXY. Consideriamo nel piano due rette (dette assi coordinati) formanti un angolo . Su ciascuna di esse viene fissato un sistema di ascisse in modo che i rispettivi punti origine O coincidano. sistema di ascissesistema di ascisse

4 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 4 O P xPxP X  Y yPyP Ad ogni punto P del piano viene associata in modo biunivoco una coppia ( x P ;y P ) di numeri reali omogenei, detti coordinate cartesiane oblique di P. Ad ogni punto P del piano viene associata in modo biunivoco una coppia ( x P ;y P ) di numeri reali omogenei, detti coordinate cartesiane oblique di P. xPxP yPyP Esse indicano la distanza relativa di P da ciascuna delle rette, rispetto al sistema di ascisse fissato su ciascun asse coordinato. Esse indicano la distanza relativa di P da ciascuna delle rette, rispetto al sistema di ascisse fissato su ciascun asse coordinato. DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema cartesiano obliquo

5 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 5 DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema cartesiano ortogonale O P xPxP X Y yPyP  Quando l’angolo formato tra i due assi è retto (  = 90°), siamo nella situazione semplificata detta sistema cartesiano ortogonale.  La coppia di numeri x P ;y P è detta coordinate cartesiane ortogonali di P ( x P si dice ascissa di P e y P si dice ordinata di P ). xPxP yPyP 90° In questo ambito siamo di una situazione semplificata e di più frequente impiego.

6 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 6 Consideriamo una semiretta orientata ON nel piano (asse polare). Consideriamo una semiretta orientata ON nel piano (asse polare). + Consideriamo l’estremo O come origine della semiretta (polo). Consideriamo l’estremo O come origine della semiretta (polo). O N Consideriamo come positivo il senso orario (destrogiro) per la rotazione dei segmenti. Consideriamo come positivo il senso orario (destrogiro) per la rotazione dei segmenti. Si è così definito un sistema di riferimento polare. DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema polare

7 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 7 Ad ogni punto P viene associata in modo biunivoco una coppia ( OP; P ) di numeri reali eterogenei, detti coordi- nate polari di P. + O N La prima coordinata polare (detta modulo) è la distanza tra il polo O del sistema e il punto P. La seconda coordinata polare (detta azimut) è l’angolo OP descritto dall’asse polare per sovrapporsi, ruotando in senso orario, alla direzione OP. OP P DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema polare

8 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 8 L’azimut OP è sempre compreso tra 0 C e 400 C. I punti che hanno lo stesso azimut giacciono tutti su una retta. L’azimut OP è sempre compreso tra 0 C e 400 C. I punti che hanno lo stesso azimut giacciono tutti su una retta. O N Il modulo può variare tra 0 ( O  P ) e valori grandissimi ( P lontanissimo da O ). I punti che hanno lo stesso modulo giacciono su un cerchio. Il modulo può variare tra 0 ( O  P ) e valori grandissimi ( P lontanissimo da O ). I punti che hanno lo stesso modulo giacciono su un cerchio. OP P Q OQ T OT K OK La notazione OP può essere sostituita con l’analoga: (OP). La notazione OP può essere sostituita con l’analoga: (OP). DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema polare

9 trasformazione SISTEMA POLARE  SISTEMA CARTESIANO

10 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 10 TRASFORMAZIONE tra Sistemi di Riferimento O X Y La traduzione delle coordinate espresse in un SR in coordinate espresse in un altro SR è sempre possibile in qualsiasi situazione. Tuttavia, per semplicità e per opportunità, imporre- mo le seguenti limitazioni e semplificazioni: le origini dei due sistemi devono coincidere; l’asse polare deve coincidere con l’asse delle ordinate del sistema cartesiano.  N N

11 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 11 trasformazione POLARI  CARTESIANE O P X Y  N XPXP YPYP Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse, rimane definito il triangolo retto OPH. DATIINCOGNITE OP; (OP) X P ; Y P OP H I cateti di questo triangolo retto sono le coordinate cartesiane di P (X P ; Y P ). (OP)

12 trasformazione SISTEMA CARTESIANO  SISTEMA POLARE

13 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 13 trasformazione CARTESIANE  POLARI O P X Y  N XPXP YPYP Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse, rimane definito il triangolo retto OPH. DATIINCOGNITE X P ; Y P OP; (OP) H L’ipotenusa e l’angolo POH di questo triangolo retto sono le coordinate polari di P (OP;(OP)). OP (OP)

14 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 14 trasformazione CARTESIANE  POLARI O P X Y  N XPXP YPYP RIFLESSIONE !! Il valore di fornito dalla relazione OP (OP) è l’azimut (OP) solo se le coordinate cartesiane di P sono entrambe positive ( P nel I ° quadrante). In ogni altro caso (sono 3) l’angolo fornito dalla funzione inversa arctg non è l’azimut cercato, ma un angolo acuto. Tuttavia, partendo da questo, sarà poi possibile risalire rapidamente all’azimut (OP) corretto.

15 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 15 RICERCA AZIMUT: X pos. Y neg. (+/-) O P X Y  N +X P –YP–YP Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse rimane ANCORA definito il triangolo retto OPH (ma nel II°Q.). H Tuttavia, l’angolo POH di questo triangolo non è più l’azimut (OP). Esso, però, può essere calcolato con la seguente procedura composta di due fasi: OP (OP) valori assoluti 1° si calcola usando i cateti del triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate di P : 2° si calcola l’azimut (OP ) supplementare di :

16 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 16 RICERCA AZIMUT: X neg. Y neg. (-/-) O P X Y  N –XP–XP –YP–YP H Ripetendo il ragionamento, si applica la procedura composta di due fasi: OP (OP) valori assoluti 1° si calcola l’angolo acuto usando i cateti del triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate di P : 2° si calcola l’azimut (OP ) che differisce da per un angolo piatto:

17 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 17 RICERCA AZIMUT: X neg. Y pos. (-/+) O P X Y  N H Ripetendo ancora il ragionamento, si applica ulteriormente la procedura composta di due fasi: OP (OP) valori assoluti 1° si calcola l’angolo acuto usando i cateti del triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate di P : 2° si calcola l’azimut (OP ) esplementare di : –XP–XP +Y P

18 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 18 RICERCA AZIMUT: TABELLA RIASSUNTIVA O X Y  N GENERALIZZANDO valori assoluti 1° si calcola l’angolo acuto usando i valori assoluti delle coordinate di P : 2° si calcola l’azimut (OP ) secondo lo schema della seguente tabella: Quad.SegniAzimut I +/+ II +/– 200 C – III –/––/– 200 C + IV –/+ 400 C –

19 ANGOLO di DIREZIONE di UN LATO ANGOLO di DIREZIONE di UN LATO

20 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 20 O B X Y Analogamente, l’angolo di direzione (o azimut del lato BA) sarà l’azimut del punto A rispetto a un sistema polare con polo in B e asse polare parallelo all’asse Y; per indicarlo useremo la notazione (BA). DEFINIZIONE DEFINIZIONE L’angolo di direzione (o azimut) del lato AB, è l’azimut del secondo estremo B del lato, rispetto a un sistema polare con polo nel primo estremo A del lato e asse polare parallelo all’asse coordinato Y; per indicarlo useremo la notazione (AB). (AB) N A N (BA) Gli angoli di direzione (AB) e (BA) si dicono RECIPROCI. Essi differiscono tra loro sempre di 200 C : (BA) – (AB) = 200 C : (BA) = (AB) C oppure (BA) = (AB) – 200 C

21 COORDINATE TOTALI & COORDINATE PARZIALI COORDINATE TOTALI & COORDINATE PARZIALI

22 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 22 O X Y Assumiamo poi un altro sistema di riferimento cartesiano con origine in un punto A di coordinate totali X A, Y A note, e assi coordinati paralleli a quelli del sistema principale. Chiameremo tale sistema di riferimento sistema secondario Axy, e le coordinate relative di un punto P sono dette in modo sintetico: coordinate parziali di P rispetto ad A, e sono indicate con la notazione (x P ) A ; (y P ) A A XAXA YAYA x y A differenza del sistema principale, i sistemi secondari possono essere numerosi: la loro origine coincide sempre con punti di coordinate totali note (per es. Bxy, Cxy, Dxy… ). B XBXB YBYB x y C XCXC YCYC x y Un sistema di riferimento principale è un sistema cartesiano ortogonale OXY, unico in un certo ambito. Le relative coordinate sono dette totali e indicate in maiuscolo.

23 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 23 O X Y Tra le coordinate totali dei punti A e B, e quelle parziali di B rispetto al sistema secondario con origine in A [indicate con la notazione (x B ) A ; (y B ) A ], si possono scrivere le seguenti relazioni, ovvie e immediate: A XAXA YAYA x y quindi: relazione tra coordinate TOTALI  PARZIALI B XBXB YBYB (x B ) A = X B  X A (y B ) A = Y B  Y A (yB)A(yB)A (xB)A(xB)A X B = X A + (x B ) A Y B = Y A + (y B ) A

24 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 24 O X Y Assumiamo ora un sistema polare con polo sul punto A ed asse polare coincidente con l’asse secondario delle ordinate y, e perciò parallelo a Y ; allora l’azimut (AB) e la distanza AB sono le coordinate polari di B rispetto a questo sistema. A XAXA YAYA x y  N e ricordando le precedenti: relazione tra coordinate TOTALI  PARZIALI B XBXB YBYB (xB)A(xB)A (yB)A(yB)A X B = X A + AB  sen(AB) Y B = Y A + AB  cos(AB) X B = X A + AB  sen(AB) Y B = Y A + AB  cos(AB) AB (AB) Esse possono essere utilizzate per definire le coordinate parziali di B: (x B ) A = AB  sen(AB) (y B ) A = AB  cos(AB)


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