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1 Corso di Analisi Statistica per le Imprese Sintesi della distribuzione di un carattere: indici di posizione Prof. L. Neri a.a. 2014-2015.

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1 1 Corso di Analisi Statistica per le Imprese Sintesi della distribuzione di un carattere: indici di posizione Prof. L. Neri a.a

2 Indice di tendenza centrale: la media aritmetica Si può calcolare solo per variabili quantitative È una media analitica cioè è funzione di tutti i valori della distribuzione E’ il punto di equilibrio o baricentro della distribuzione E’ l’indice più intuitivo per sintetizzare un insieme di valori 2

3 Calcolo della media dei ricavi Conoscendo i ricavi dei 9 punti vendita dell’azienda, posso calcolare il ricavo medio, un unico valore rappresentativo dell’intero insieme Si sommano i ricavi di tutti i punti vendita e il risultato si divide per il numero delle osservazioni (n=9) 3

4 Calcolo della media Punti vendita Ricavi Somma dei ricavi (Intensità totale del carattere) = = 2925 Media dei ricavi = 2925:9=325 L’intera torta rappresenta la somma dei ricavi di tutti i punti vendita La singola fetta rappresenta la media dei ricavi Σ=2925 4

5 Formula della media Dati n valori osservati x 1, x 2,…, x n di un carattere quantitativo X Media =

6 Effetto dei valori estremi Se il valore estremo fosse 800 invece di 600 la media aumenterebbe (il punto di equilibrio si sposta verso destra) Media = 347,22 La media aritmetica risente fortemente dei valori estremi 6

7 Media di una distribuzione di frequenza Addetti (valori x j ) Numero punti vendita (frequenze n j ) xj*nj 3*2=6 4*1=4 6*3=18 7*1=7 10*2=20 7

8 Media di una distribuzione di frequenza con classi di valori Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Fonte: Borra-Di Ciaccio, pag. 71 Valore centrale classi (c j ) 0,5 1,5 2,5 4 7, c j *n j , La superficie media di una azienda agricola è di 7,27 ettari 8

9 Media ponderata Uno studente ha sostenuto i seguenti esami del I anno del corso di laurea di EA. Come calcola la media dei voti? N.Esamevotocfu 1Economia Aziendale279 2Ist. diritto pubblico226 3Metodi di matematica applicata259 4Macroeconomia206 5Ragioneria289 9

10 Media ponderata: calcolo N. Esame voto (x i ) cfu (p i ) voto*cfu (x i *p i ) Il voto medio (su 39 cfu) è pari a 24,92 10

11 Media ponderata i due voti più bassi pesano di meno nel calcolo della media perché sono due esami da 6 cfu Media ponderata = 24,

12 Mediana 12 E’ un indice di posizione Può essere calcolata per caratteri che siano almeno ordinabili (qualitativi su scala ordinale o quantitativi) E’ un indice indicato per distribuzioni che presentano valori estremi (molto grandi o molto piccoli). E’ un particolare quantile (2° quartile, 50° percentile)

13 Mediana È il valore che occupa la posizione centrale nell’insieme ordinato di tutti i valori X(1) X(n) Me Tra x(1) e Me è contenuto il 50% dei valori Tra Me e x(n) è contenuto il restante 50% dei valori 13

14 Mediana da una distribuzione di frequenza (con le freq. rel. cum.) Sulla colonna delle frequenze relative cumulate si individua la prima F j che è uguale o maggiore di 0,5 Addetti (x j ) Numero punti vendita (n j ) Frequenze cumulate N j Il corrispondente valore x j è la mediana della distribuzione Mediana=6 Frequenze rel cum. F j 0,22 0,33 0,67 0,78 1,00 14

15 Mediana di una distribuzione di frequenza con classi di valori Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Oltre 4021 Freq. cum. (N j ) Freq. rel. cum. (F j ) 1200, , , , , , , ,000 15

16 16 La scelta tra media e mediana Fonte: Walter Kramer (2009), Le bugie della statistica, Nimesis

17 Quartili Sono 3 indici di posizione, Q 1 Q 2 e Q 3 X(1) X(n)Q2=Me Tra x (1) e Q 1 è contenuto il 25% dei valori (più bassi) Tra Q 3 e x (n) è contenuto il 25% dei valori (i più alti) Q1Q3 Tra Q 1 e Q 2 è contenuto il 25% dei valori Tra Q 2 e Q 3 è contenuto il 25% dei valori 17

18 Primo quartile Q 1 Q1 Primo quartile: è preceduto dal 25% dei termini (e seguito dal 75%) Q 1 è il primo valore x i in corrispondenza del quale la frequenza cumulata relativa 18

19 Terzo quartile Q 3 Q3 Terzo quartile: è preceduto dal 75% dei termini (e seguito dal 25%) Q 3 è il primo valore x i in corrispondenza del quale la frequenza cumulata relativa 19

20 Calcolo dei quartili Ricavi Il 25% dei punti vendita con i ricavi più bassi registrano ricavi che non superano 205 mila euro Per essere nel 25% dei punti vendita con i ricavi più alti si devono superare 350 mila euro di ricavi Ricavi (valori ordinati) Freq. cum. rel. X (1) =1801/9=0,11 X (2) =2002/9=0,22 X (3) =2053/9=0,33 X (4) =2704/9=0,44 X (5) =2805/9=0,56 X (6) =3406/9=0,67 X (7) =3507/9=0,78 X (8) =5008/9=0,89 X (9) =6009/9=1 La prima F i ad essere maggiore o uguale a 0,25 è la terza La prima F i ad essere maggiore o uguale a 0,75 è la settima 20

21 Percentili Sono quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità Mediana=50-esimo percentile Q3= 75-esimo percentile P10 = decimo percentile: lascia alla sua sinistra il 10% dei valori P90 = novantesimo percentile: lascia alla sua destra il 10% dei valori 21

22 Moda È un indice di posizione Può essere calcolata per qualsiasi tipo di carattere E’ la modalità più frequente In una distribuzione di frequenza con classi di valori: è la modalità con più alta densità di frequenza 22

23 Moda di un insieme di valori Punti vendita Genere respons. 1maschio 2 3femmina 4 5maschio 6 7 8femmina 9 La modalità del carattere “Genere del responsabile” che si ripete più volte (5 volte ) è “maschio” La maggioranza dei punti vendita ha come responsabile un uomo Moda=“maschio” 23

24 Moda di una distribuzione di frequenza Addetti (valori distinti) Numero punti vendita (frequenze) La frequenza maggiore è 3 La modalità del carattere “Numero di addetti” cui è associata la frequenza maggiore è 6 La maggioranza dei punti vendita ha un numero di addetti pari a 6 Moda=6 24

25 Moda di una distribuzione di frequenza con classi di valori La classe modale è 2-3 Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Ampiezza classe (aj) Densità di freq (dj) ,25 400,525 In presenza di classi di ampiezza diversa, la classe modale è quella che ha la densità di frequenza maggiore 25

26 Moda Può non esistere Può non essere unica Può essere una modalità “poco rappresentativa” del fenomeno 26

27 27 La scelta tra media, moda e mediana Fonte: Magnello e Van Loon (2011), La statistica a fumetti, Raffaello Cortina Editore

28 Calcolo dei valori medi in base al tipo di carattere Caratteri QuantitativiQualitativi ordinati Qualitativi sconnessi Media Mediana Moda 28


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