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Il TUTTO e le sue PARTI Le Pierangiolate n.7 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta.

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1 Il TUTTO e le sue PARTI Le Pierangiolate n.7 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta

2 Il TUTTO e le sue PARTI Giochi di Archimede novembre 2013 PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

3 METODO 1 Area cercata =Area del quadrato-Aree dei trapezi 4 ? Area di un trapezio =½ (base maggiore + base minore ) x altezza 1½1 = 3 / 4 Area cercata =4 – 4 x (3 / 4) =1mq

4 PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. METODO 2 Decomponiamo la figura in quattro parti Area cercata =¼ (area del quadrato) =1mq In ciascun quadratino la figura occupa ¼ dell’area totale

5 PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. Il METODO 2 è migliore del METODO 1 Area cercata =¼ (area del quadrato) Non richiede alcuna conoscenza di calcolo delle aree Può essere facilmente generalizzato

6 La figura assegnata somiglia molto ad una girandola Il METODO 2 può essere facilmente generalizzato PROBLEMA: calcolare l’area di una girandola.... PROBLEMA : area del cerchio non coperta dal triangolo

7 PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato. che figura è? Santa Brigida di Kildare Croce di S. Brigida

8 METODO 2 Decomponiamo la figura in quattro parti PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» EUCLIDE – Elementi, libro I EQUI-DECOMPONIBILI

9 PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» EUCLIDE – Elementi, libro I Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area congruenti = possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano sono congruenti?

10 PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» EUCLIDE – Elementi, libro I Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area congruenti = possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano stessa area alle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano uguali brutto termine perché ambiguo

11 stessa area alle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano L’area di una figura geometrica è INVARIANTE per congruenze GEOMETRIA studio delle proprietà delle figure che sono invarianti, rispetto ad un prefissato insieme di trasformazioni, ad esempio rispetto alle congruenze. Felix KLEIN Programma di Erlangen (1872)

12 Geometria metrica affinità similitudini proiettività congruenze Geometria descrittiva Geometria affine Geometria proiettiva se invece dei movimenti rigidi si considerano le similitudini, l’area non è più un’invariante ma la misura degli angoli sì. Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche

13 altre invarianti per congruenze volume dei solidi Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno lo stesso volume Principio di equi-decomponibilità per volumi ESEMPIO: volume di una piramide V = B x h 3

14 versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume equi-decomponibiltà

15 versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume equi-decomponibiltà } dx

16 Matematica infinitesimaledx dx + dx + dx + dx < 1(dx) 2 = 0 ARCHIMEDE di SIRACUSA Area ABC = 8 x Area ADB Area del segmento parabolico serie numerica =

17 ARCHIMEDE di SIRACUSA Area ABC = 8 x Area ADB + equi-decomponibilità Area del segmento parabolico Area segmento = serie numerica equi- deco mponi biltà = ?

18 ARCHIMEDE di SIRACUSA versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà ? le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi Galileo Newton Leibniz

19 le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi 1 + (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) ] [ [ [ [ [ [ [ ] ] ] ] ] 0 1 (-1) (-1) (-1) x1 = y1 x2 = y2.... quindi AB e CD sono equi-decomponibili? ma NON hanno la stessa lunghezza

20 L nella prima casella Ma anche la NORMALE equi-decomponibilità PUO’ portare a CONCLUSIONI ERRATE CRITICA alla EQUI-DECOMPONIBILITA’ PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno la stessa area NON PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti sono uguali «se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali» EUCLIDE – Elementi, libro I

21 L nella prima casella PRINCIPIO SBAGLIATO di EQUI-DECOMPONIBILITA’ Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti sono UGUALI. MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti AristoteleMarx vediamo alcuni esempi in cui proprietà geometriche non dipendono SOLO dalle parti che compongono un oggetto MA ANCHE dal modo in cui le parti sono collegate insieme

22 MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti la somma è un concetto chiaro sui numeri, ma NON su insiemi o figure geometriche (insiemi di punti) somma = unione? PROBLEMA: in una classe ci sono 12 bambini biondi e 15 bambini con gli occhi azzurri. Quanti bambini formano (come minimo) la classe? RISPOSTA: 15 non 27! NO biondi occhi azzurri biondi occhi azzurri occhi azzurri occhi azzurri RISPOSTA: 15

23 TANGRAM NON si possono sovrapporre i pezzi queste figure non sono uguali anche se hanno la stessa area

24 MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti somma = unione? NO PROBLEMA: in un anno normale (= senza squalifiche) una contrada che non corre d’obbligo né a Luglio né a Agosto, quante PROBABILITA’ ha di correre ALMENO UN Palio? probabilità di uscire a Luglio probabilità di uscire ad Agosto + 60%= probabilità di uscire sia a Luglio che ad Agosto % formula di Grassmann # (A u B) = # (A) + # (B) - # (A n B)

25 anche senza sovrapposizioni, le cose non filano lisce nastro di Moebius il nastro di Moebius e il cilindro sono equi- decomponibili ma ben diversi!

26 ACGGTCACTAC

27 MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti L’equi-decomponibilità però funziona per le aree e i volumi invarianti numeriche le operazioni sui numeri sono COMMUTATIVE Le operazioni su parti di un tutto NON sono commutative metto una piramide metto un cubo non è uguale a metto un cubo metto una piramide anche se il volume è lo stesso

28 Molte delle principali operazioni su numeri sono commutative ma ci sono anche operazioni non su numeriche spesso non sono commutative l’operazione più potente del mondo quella che tutti facciamo dalla mattina alla sera fare una cosa dietro l’altra composizione non è commutativa! prima guardare se viene nessuno e poi attraversare la strada non e la stessa cosa che prima attraversare la strada e poi guardare se viene nessuno

29 mettere prima un cubo e poi una piramide non è uguale a mettere prima una piramide e poi un cubo fare prima una simmetria e poi una rotazione. fare prima una rotazione e poi una simmetria non è la stessa cosa che Il mondo è pieno di operazioni non commutative specchio

30 Geometria Differenziale Studia oggetti geometrici che localmente (cioè nelle vicinanze di ogni punto) sono banali e tutti uguali, ma le cui proprietà globali differiscono.

31 concludendo: anche per la Matematica il tutto NON è uguale alla somma delle sue parti ma: alcune invarianti del tutto sono uguali alla somma delle invarianti delle sue parti e quest’ultimo fatto non è mai scontato (aree, volumi, ecc.) « o studianti, studiate le matematiche, e non edificate sanza fondamento » S A T O R A R E P O T E N E T O P E R A R O T A S i metodi ha in pugno e ne conosce anche i limiti

32 Grazie per l’attenzione


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