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I TEOREMI della TRIGONOMETRIA PIANA. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI La geometria fornisce le seguenti.

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1 I TEOREMI della TRIGONOMETRIA PIANA

2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI La geometria fornisce le seguenti relazioni tra gli elementi dei triangoli scaleni: A B C b c a    La somma degli angoli di un triangolo è uguale all’angolo piatto:  +  +  = 200 c. In ogni triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (cioè: a c – b). In ogni triangolo, la relazione di uguaglianza o disuguaglianza che intercorre tra due lati vale anche per gli angoli rispettivamente opposti (cioè: se a < b, sarà anche  <  ). Oltre a queste proprietà, la trigonometria fornisce alcuni teoremi per risolvere i triangoli scaleni. Con gli attuali strumenti di calcolo sono indispensabili solo i seguenti due teoremi: teorema dei seni; teorema del coseno (o di Carnot). 2

3 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] TEOREMA DEI SENI Tracciamo il cerchio circoscritto al triangolo ABC; il suo centro è l’intersezione degli assi dei suoi lati (corde del cerchio). A B C b c a    R O Tracciamo il diametro AD passante per A. D Collegando i punti C e D, l’angolo ADC è uguale a  perché entrambi insistono sull’arco AC.  Il triangolo ACD poi, è retto in C (angolo alla circonferenza che insiste su un diametro). 90 ° Da questo triangolo possiamo evidenziare il diametro 2R: Analogamente per il triangolo retto ABD:  Dunque si ha anche : 3

4 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] TEOREMA DEI SENI Estendendo il ragionamento e utilizzando un secondo diametro si può ricavare anche: A B C b c a    Enunciato del Teorema In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro del cerchio circoscritto al triangolo. oppure: In un triangolo il rapporto tra due lati è uguale al rapporto tra i valori del seno degli angoli opposti 4

5 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] TEOREMA DI CARNOT Consideriamo un triangolo ABC, con di lati a,b, c Tracciamo l’altezza CH CH = b sen  AH = b cos  BH = AB  AH= c  b cos  Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a 2 = CH 2 + BH 2 = (b sen  ) 2 + (c  b cos  ) 2 a 2 = b 2 sen 2  + c 2 + b 2 cos 2  bc cos  a 2 = b 2 + c 2  bc cos  ma : b 2 sen 2  + b 2 cos 2  b 2 (sen 2  + cos 2  b 2 pertanto: H A C B b c  a b sen  c - b cos  5

6 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] TEOREMA DI CARNOT (o del coseno) Enunciato del Teorema In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo compreso. a 2 = b 2 + c 2  bc cos  c 2 = a 2 + b 2  ab cos  b 2 = a 2 + c 2  ac cos  A C B b c a   Oppure: 6

7 RISOLUZIONE dei TRIANGOLI SCALENI

8 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 1°CASO: NOTI 2 ANGOLI E 1 LATO Immaginiamo noti , , c: poiché  C dal teorema dei seni A C B b c a    8

9 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 2°CASO: NOTI 2 LATI e L’ANGOLO COMPRESO immaginiamo noti , b, c: A C B b c a    dal teorema di Carnot oppure 9

10 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 3°CASO: NOTI 2 LATI e UN ANGOLO ADIACENTE A UN LATO INCOGNITO immaginiamo noti , b, a: A C B b c a    dal teorema dei seni ATTENZIONE a questa relazione 10

11 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] DISCUSSIONE di: valutando l’argomento della funzione inversa arcoseno, si possono verificare i seguenti casi : impossibile b/a sen  > 1 Il problema è manifestamente impossibile, in quanto non esiste l’arcoseno di un numero maggiore di 1, dunque non esiste nessun triangolo con i dati assegnati a,b, . triangolo rettangolo b/a sen  = 1 L’angolo  è retto e quindi si tratta di un triangolo rettangolo. due valori supplementare b/a sen  < 1 Esistono due valori di  compatibili con l’angolo assegnato . Il primo valore  ’ (quello fornito dalla calcolatrice) è acuto, cioè si trova nel Iº quadrante, il secondo,  ”, supplementare del primo, è ottuso e si trova nel IIº quadrante. incompatibile dei due valori  ’ e  ”, uno è incompatibile con l’angolo assegnato , pertanto il valore che soddisfa il problema è l’altro (per esempio: se  = 120 c, e  può assumere i due valori 40 c e (200 c – 40 c ) = 160 c ; il valore 160 c è incompatibile con il valore di  = 120 c ; in questo caso il valore che risolve il problema è  = 40 c ) ; entrambi compatibili i due valori di  ’ e  ” sono entrambi compatibili con il valore di  ; in questo caso si avranno due soluzioni del problema, che danno luogo a due triangoli distinti. In quest’ultimo caso, poi: 11

12 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] 4°CASO: NOTI I 3 LATI Dunque sono noti a, b, c: A C B b c a    oppure 12

13 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] QUADRO RIASSUNTIVO DELLA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI caso schema geometrico elementi noti Soluzione lato - 2 angoli a ;  ;  lati - angolo compreso a ; b ;  lati - angolo non compreso a ; b ;  lati a ; b ; c 13

14 ALTEZZE, MEDIANE, BISETTRICI

15 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] LE TRE ALTEZZE Le tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro Le tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro. A B C b c a    H h a = b  sen  = c  sen  h b = c  sen  = a  sen  h c = b  sen  = a  sen  haha hchc hbhb Considerando i triangoli retti definiti dalle tre altezze h a, h b, h c, si può scrivere: 15

16 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] LE TRE MEDIANE Le tre mediane si intersecano in un punto G, detto baricentro del triangolo. A B C M    G a 2 c 2 = m a 2 - a m a cos 4 a 2 b 2 = m a 2 + a m a cos 4 mama mcmc mbmb a -- 2 a -- 2 b -- 2 b -- 2 c -- 2 c -- 2 Consideriamo i due triangoli ABM e AMC ’ ’= 200 C - a 2 b 2 + c 2 = m a 2 2 Sommando membro a membro: 1 m a = ----  2b 2 + 2c 2 – a m b = ----  2a 2 + 2c 2 – b m c = ----  2b 2 + 2a 2 – c 2 2 Il baricentro G si trova a una distanza dal vertice corrispondente pari ai 2/3 della mediana, e a 1/3 della mediana dal punto medio del lato opposto AG = 2/3 m a - GM = 1 /3 m a 16

17 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] LE TRE BISETTRICI Le tre bisettrici si intersecano in un punto O, centro del cerchio inscritto. A B C N  O 1 1  1  --- bc sen  = --- cn  sen bn  sen nana ncnc nbnb b c Consideriamo l’area del triangolo ABC, ottenuta come somma di quelle dei due triangoli ABN e ANC        1  1  bc sen --- cos --- = --- cn  sen bn  sen Applicando la f. di duplicazione del seno al 1° membro:  bc cos --- = --- cn  bn  = --- n  (b + c) Dividendo per sen(  /2): 2 b c  n  = cos --- c + b 2 2 a c  n  = cos --- a + c 2 2 a b  n  = cos --- a + b 2 a 17

18 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] LA RETTA DI EULERO A B C b c a    H In un triangolo i seguenti punti sono allineati: baricentro G (intersezione delle tre mediane), ortocentro H (intersezione delle tre altezze), circocentro O (intersezione degli assi dei tre lati). La retta che li congiunge viene detta retta di Eulero. O G retta di Eulero 18


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