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Insiemi numerici.

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Presentazione sul tema: "Insiemi numerici."— Transcript della presentazione:

1 Insiemi numerici

2 I Naturali I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3, … , 9, … 10 dita  base 10 1 2 3 N

3 Operazioni Somma a+b 1+2=?
3 1 2 3 N

4 Operazioni a≥b Somma a+b b volte Moltiplicazione axb = a+a+… +a
Elevamento a potenza ab = axax … xa b volte Sottrazione a-b=c a=b+c 3-2=? a≥b 1 1 2 3 N

5 Operazioni a≥b Somma a+b b volte Moltiplicazione axb = a+a+… +a
Elevamento a potenza ab = axax … xa b volte a≥b Sottrazione a-b=c a=b+c Divisione con resto a b  a=bxq +r q r Divisione a:b=q  a=bxq Estrazione della radice b√a = c  a=cb

6 Proprietà delle operazioni
Somma Commutativa a+b=b+a Associativa a+(b+c)=(a+b)+c Esistenza elemento neutro 0 a+0=a Sottrazione Commutativa Associativa (7-1)-2 ≠ 7-(1-2) Esistenza elemento neutro 0 a-0=a (7-2)-1 ≠ 7-(2-1)

7 Proprietà delle operazioni
Prodotto Commutativa axb = bxa Associativa ax(bxc) = (axb)xc Esistenza elemento neutro 1 ax1=a ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0) Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc

8 Proprietà delle operazioni
Divisione Commutativa Associativa (8:4):2 ≠ 8:(4:2) Esistenza elemento neutro 1 a:1=a 0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE 0:0 forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c Divisione e prodotto a:(bxc) ≠ (a:b)xc

9 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza
ab x ac = ab+c ab : ac = ab-c (ab) c = abxc ab x cb = (axc)b ab : cb = (a:c)b 1n=1 0n=0 a0=1 00 ab x a0 = ab+0 = ab

10 mcm e MCD Dato un numero naturale a si dice che b è multiplo di a se esiste un altro naturale n tale b=an. Dati due numeri naturali a e b il loro minimo comune multiplo, mcm(a,b), è il numero m multiplo di a e di b tale che ogni altro multiplo comune ad a e b sia anche multiplo di m.

11 mcm e MCD 2 3 4 6 6 9 … …

12 mcm e MCD Dato un numero naturale a si dice che b è divisore di a se esiste un altro naturale n tale a=bn. Dati due numeri naturali a e b il loro massimo comune divisore, Mcd(a,b), è il numero d divisore di a e di b tale che ogni altro divisore comune ad a e b sia anche divisore di d.

13 mcm e MCD 2 2 4 3 6 6 … …

14 Gli Interi I numeri col segno x per x≥0 -x per x<0 |x|= Z N -a
a+(-a)=0 OPPOSTO 1 2 3 N -2 -1 Z Z N SEGNO MODULO x per x≥0 -x per x<0 |x|= -a

15 Operazioni Somma a+b a+(-a)=0 a-a=0 -1 1+(-2)=1-2=? 1 2 3 N -2 -1 Z

16 Operazioni Somma a+b Moltiplicazione axb + x + = + + x - = - - x + = -
Elevamento a potenza ab, b>0 (+a)b=+ab (-a)b=+ab se b è pari (-a)b=-ab se b è dispari

17 Operazioni Sottrazione a-b = a+(-b) a-(-b) = a + (-1)x(-b) = a+b
Divisione a:b + : + = + + : - = - - : + = - - : - = + Estrazione della radice, b>0 b√a se b è pari e a ≥ 0 b√a se b è dispari

18 Proprietà delle operazioni
Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 Esistenza dell’opposto a  -a | a+(-a)=0

19 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza
ab : ab = ab-b = a0 1= 1=ab : ab = ab-b = ab+(-b) = ab x a-b

20 I razionali Q con p,q  Z, q≠0 Q Z N ax =1 ½ INVERSO Numeratore
Denominatore ax =1 Q Z N INVERSO 1 2 3 Z -1 -2 Q

21 Operazioni Somma 𝒂+𝒃 𝒂+𝒄 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 = 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 5+3 5+7 ≠ 3 7
𝑥+𝑦 𝑎+𝑦 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 = 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 Se ieri ho vinto 2 partite su 3 e oggi ne ho vinte 5 su 7, in tutto ho vinto 7 partite su 10.

22 Operazioni Somma Moltiplicazione
𝒂+𝒃 𝒄 ∙ 𝟏 𝒂 5+2 7 ∙ 1 5 ≠ 2 7 𝒂 𝒃+𝒄 ∙ 𝒃 𝟏

23 Operazioni Somma Moltiplicazione Elevamento a potenza

24 Operazioni Sottrazione Divisione Estrazione della radice, b>0

25 Proprietà delle operazioni
Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 Esistenza dell’opposto 

26 Proprietà delle operazioni
Prodotto Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 1 Esistenza dell’inverso  ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0)

27 Elevamento a potenza

28 Esercizi : ∙ : ∙ − : − ∙ 2− : −1 2

29 Gli irrazionali Esistono? 0,01 001 0001 00001 … ? Q Z N

30 Gli irrazionali √2 sin1 √3 π e ln5

31 I Reali R Q Z N

32 Assiomi relativi alle operazioni + x
I Reali Assiomi relativi alle operazioni x Commutativa Associativa Distributiva Esistenza elemento neutro Esistenza dell’opposto Esistenza dell’inverso

33 I Reali Assiomi relativi all’ordinamento ≤
Dicotomia a ≤ b oppure b ≤ a Asimmetria se a ≤ b e b ≤ a allora a=b Se a ≤ b allora a+c ≤ b+c Se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a+b e 0 ≤ axb Il quadrato di un numero positivo è positivo Il prodotto di due numeri positivi è positivo

34 Assioma di completezza Rappresentazione grafica
I Reali Assioma di completezza Siano A e B due sottoinsiemi dei Reali tali che a ≤ b per ogni aA e bB allora esiste almeno un cR tale che a ≤ c ≤ b Rappresentazione grafica 1 2 3 Q -1 -2 R

35 Legge di annullamento del prodotto
axb=0  a=0 v b=0 ax0=0 a + ax0 = a x (1+0) = ax1 = a Se axb=0 e a≠0 allora b=0 b = bx1 = bx(axa-1) = (bxa)xa-1 = 0xa-1 = 0

36 Regole dei segni + x + = + dagli assiomi + x - = - 0 = ax0
= ax(b-b) = axb + ax(-b) - x - = + 0 = (-a)x0 = (-a)x(b-b) = -axb + (-a)x(-b)

37 Potenze ad esponente reale
π 3 4 3,1 3,2 3,14 3,15 … … 8 9 8,8 8,9 8,82 8,83 … …


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