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Insiemi numerici. I Naturali I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3, …, 9, … 0123.

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1 Insiemi numerici

2 I Naturali I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3, …, 9, … 0123 N 10 dita  base 10

3 Operazioni Somma a+b 1+2=? 0123 N 3

4 Operazioni Somma a+b b volte Sottrazione a-b=c  a=b+c 3-2=? b volte a≥b Moltiplicazione axb = a+a+… +a Elevamento a potenza a b = axax … xa 0123 N 1

5 Divisione a:b=q  a=bxq Operazioni Somma a+b b volte Sottrazione a-b=c  a=b+c b volte Divisione con resto a b  a=bxq +r q r Estrazione della radice b √a = c  a=c b a≥b Moltiplicazione axb = a+a+… +a Elevamento a potenza a b = axax … xa

6 Proprietà delle operazioni Somma Commutativa a+b=b+a Associativa a+(b+c)=(a+b)+c Esistenza elemento neutro 0a+0=a Sottrazione Commutativa Associativa(7-1)-2 ≠ 7-(1-2) Esistenza elemento neutro 0 a-0=a (7-2)-1 ≠ 7-(2-1)

7 Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa axb = bxa Associativa ax(bxc) = (axb)xc Esistenza elemento neutro 1 ax1=a ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0) Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc

8 Proprietà delle operazioni Divisione Commutativa Associativa(8:4):2 ≠ 8:(4:2) Esistenza elemento neutro 1 a:1=a 0:a=0a:0 IMPOSSIBILE 0:0forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c Divisione e prodottoa:(bxc) ≠ (a:b)xc

9 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza 1 n =1 0 n =0 a 0 =10 a b x a 0 = a b+0 = a b a b x a c = a b+c a b : a c = a b-c (a b ) c = a bxc a b x c b = (axc) b a b : c b = (a:c) b

10 mcm e MCD Dato un numero naturale a si dice che b è multiplo di a se esiste un altro naturale n tale b=an. Dati due numeri naturali a e b il loro minimo comune multiplo, mcm(a,b), è il numero m multiplo di a e di b tale che ogni altro multiplo comune ad a e b sia anche multiplo di m.

11 mcm e MCD …

12 mcm e MCD Dato un numero naturale a si dice che b è divisore di a se esiste un altro naturale n tale a=bn. Dati due numeri naturali a e b il loro massimo comune divisore, Mcd(a,b), è il numero d divisore di a e di b tale che ogni altro divisore comune ad a e b sia anche divisore di d.

13 mcm e MCD …

14 Gli Interi I numeri col segno 0123 N -2 Z a+(-a)=0 OPPOSTO Z N -a SEGNOMODULO |x|= x per x≥0 -x per x<0

15 Operazioni Somma a+b 0123 N -2 Z a+(-a)=0a-a=0 1+(-2)=1-2=?

16 Operazioni Somma a+b Moltiplicazione axb + x + = + + x - = - - x + = - - x - = + Elevamento a potenza a b, b>0 (+a) b =+a b (-a) b =+a b se b è pari (-a) b =-a b se b è dispari

17 Operazioni Sottrazione a-b = a+(-b) a-(-b) = a + (-1)x(-b) = a+b Estrazione della radice, b>0 b √a se b è pari e a ≥ 0 Divisione a:b + : + = + + : - = - - : + = - - : - = + ± b √a se b è dispari

18 Proprietà delle operazioni Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 Esistenza dell’oppostoa  -a | a+(-a)=0

19 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza a 0 =1 a b : a b = a b-b = a 0 1= 1=a b : a b = a b-b = a b+(-b) = a b x a -b

20 I razionali Q con p,q  Z, q≠ Z -2 Q INVERSO Numeratore Denominatore ½ ax =1 Q Z N

21 Operazioni Somma

22 Operazioni Somma Moltiplicazione

23 Operazioni Somma Moltiplicazione Elevamento a potenza

24 Operazioni Sottrazione Divisione Estrazione della radice,b>0

25 Proprietà delle operazioni Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 Esistenza dell’opposto 

26 Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 1 Esistenza dell’inverso  ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0)

27 Elevamento a potenza

28 Esercizi

29 Gli irrazionali Esistono? 0,01001 ? … Q Z N

30 Gli irrazionali √2sin1 √3 πe ln5

31 I Reali R Q Z N

32 Assiomi relativi alle operazioni + x Commutativa Associativa Distributiva Esistenza elemento neutro Esistenza dell’opposto Esistenza dell’inverso

33 I Reali Assiomi relativi all’ordinamento≤ Dicotomiaa ≤ b oppure b ≤ a Asimmetria se a ≤ b e b ≤ a allora a=b Se a ≤ b allora a+c ≤ b+c Se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a+b e 0 ≤ axb Il prodotto di due numeri positivi è positivo Il quadrato di un numero positivo è positivo

34 I Reali Assioma di completezza Siano A e B due sottoinsiemi dei Reali tali che a ≤ b per ogni a  A e b  B allora esiste almeno un c  R tale che a ≤ c ≤ b Rappresentazione grafica 0123 Q -2 ½ R

35 Legge di annullamento del prodotto axb=0  a=0 v b=0 ax0=0 a + ax0 = a x (1+0) = ax1 = a Se axb=0 e a≠0 allora b=0 b = bx1 = bx(axa -1 ) = (bxa)xa -1 = 0xa -1 = 0

36 Regole dei segni + x + = +dagli assiomi + x - = - 0 = ax0 = ax(b-b)= axb + ax(-b) - x - = + 0 = (-a)x0 = (-a)x(b-b) = -axb + (-a)x(-b)

37 Potenze ad esponente reale π 34 3,13,2 3,143,15… 2 π 89 8,88,9 8,828,83…


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