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Basi Presentazione 1.2 Architettura dell'informazione | Prof. Luca A. Ludovico.

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Presentazione sul tema: "Basi Presentazione 1.2 Architettura dell'informazione | Prof. Luca A. Ludovico."— Transcript della presentazione:

1 Basi Presentazione 1.2 Architettura dell'informazione | Prof. Luca A. Ludovico

2 Definizione di base E' possibile scegliere il numero di cifre (o simboli) differenti utilizzabili in una notazione posizionale. Tale numero prende il nome di base. Nel sistema decimale si usano le cifre {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Il valore posizionale è legato alle potenze di 10. Nel sistema binario si usano le cifre {0,1} Il valore posizionale è legato alle potenze di 2. La base 2 è la più piccola possibile per un sistema di numerazione. Nel sistema esadecimale si usano le cifre {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Il valore posizionale è legato alle potenze di 16. Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico

3 Confronto tra base 2, 10 e 16 Base 2Base 10Base A B C D E F ……… Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico

4 Esercizio: conversione da base m a base n Convertire da base 16 a base 2 – – = 11 (gli zeri in posiz. più significativa non contano) –A1010 –9ED Convertire da base 2 a base 16 –0110 – –11010attenzione alla partizione: è – il simbolo 2 non esiste!

5 Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico Esercizio Si scrivano «intuitivamente» i primi 15 numeri interi non negativi, cioè da 0 a 14, utilizzando la notazione posizionale e la base 3. Approccio: comincio a scrivere i numeri costituiti da cifre differenti, provando con una cifra. Se le combinazioni non bastano, aggiungo una seconda cifra, ecc. Risultato: >> 3 combinazioni: non sufficiente! >> 9 combinazioni: non sufficiente! … Verifica: = ? Sì: 2 · · · 3 2 = = 14 10

6 Alcune osservazioni sulle basi La rappresentazione dei numeri in una data base piuttosto che in un’altra ne cambia la scrittura (ad es = = F 16 ), ma non il significato semantico. Pertanto anche le operazioni matematiche danno lo stesso risultato e godono delle stesse proprietà in ogni base. Si osservi che in una generica base n, i simboli utilizzati ricadono convenzionalmente nell’intervallo [0.. n –1]. –Ad esempio, i simboli usati come cifre in base 10 sono [0..9] –Ne consegue che ad es. il numero 1041 non possa esistere in alcuna base n ≤4. Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico

7 Alcune osservazioni sulle basi Data una base n e un numero composto da m cifre, quante differenti combinazioni si possono ottenere? n m Questo perché ogni cifra rappresenta una casella che è possibile valorizzare con un simbolo scelto tra gli n simboli della base n. Con 2 caselle, si hanno n · n combinazioni di simboli, e via dicendo… –Esempio: con 2 cifre in base 10, si ottengono 10 2 diverse combinazioni: [00..99] –Esempio: con 4 cifre in base 2, si ottengono 2 4 diverse combinazioni: [ ] Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico

8 Problema del distributore automatico Si consideri un distributore automatico, il cui display contiene una lettera e due cifre. Esempi: Sulla base di questa scelta, qual è il numero massimo di scomparti diversi da cui un cliente può attingere prodotti?

9 Numeri che richiedono più cifre Esempio in base 16 – A B C D E F sono sufficienti per i numeri 0..15; ma poi? – A 0B 0C 0D 0E 0F è la rappresentazione su due cifre dei numeri sopra –La cifra più significativa ora diventa il secondo simbolo dell’alfabeto: A 1B 1C 1D 1E 1F –Esaurita la sequenza, la cifra più significativa diventa il terzo simbolo dell’alfabeto: –Quando si esauriscono i simboli dell’alfabeto, si aggiunge un’ulteriore cifra nella posizione più significativa (cioè a sinistra). Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico

10 Conversione da base n a base 10 Per una numerazione in base n, con n numero naturale > 1, la base supporta n cifre distinte. Sia A un numero rappresentato come una sequenza di k+1 cifre a k …a 0. Esso si può esprimere in base 10 secondo la formula ove b è la rappresentazione in base 10 di n. Ad esempio, se n = 2 il numero a = = 1 · · · 2 0 = = 5 10 Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

11 Conversione da base 10 a base n (num. interi) Metodo delle divisioni successive: consiste nel prendere il numero da convertire e dividerlo per la base considerata; prenderne il quoziente e dividerlo ancora per la base, e così via, fino a che non si ottiene come risultato un quoziente zero. In questa sequenza di divisioni occorre ricordare i resti che man mano si ottengono, perché sono questi che, letti in senso inverso dall'ultimo al primo, costituiscono proprio la conversione cercata. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

12 Algoritmo Sia a il numero da convertire. 1.Si divide a per la nuova base n ; sia q il quoziente ed r il resto. 2.Si converte r nella corrispondente cifra della nuova base n. 3.Si aggiunge la cifra così ottenuta a sinistra delle cifre ottenute in precedenza. 4.Se q = 0, fine; altrimenti poni a = q e torna al passo 1. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

13 Esempio: da base 10 a base 2 a = a = = a = a = = Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

14 Esempio: da base 10 a base 5 e viceversa a = a = = a = = 1 · · · 5 0 = = Osservazione: questo tipo di verifica può sempre essere fatto per controllare la correttezza del risultato Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

15 Come fare esercizio di conversione tra basi Tramite i metodi illustrati, è possibile convertire i numeri da base 10 a una qualsiasi base n (metodo delle divisioni successive) e da una qualsiasi base n a base 10 (somma di prodotti). Ad esempio, la Calcolatrice di Windows in modalità scientifica (Visualizza > Scientifica) presenta una scelta di rappresentazione dei numeri che contempla le basi Bin (2), Oct (8), Dec (10) e Hex (16). Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

16 Conversione tra basi generiche E’ sempre possibile convertire un numero da una base m a una base n con m ed n generici. Un metodo consiste nell’utilizzare la base 10 come passaggio intermedio. –Il numero x viene prima convertito da base m a base 10, per poi essere nuovamente convertito da base 10 a base n. In alcuni casi si può procedere a una conversione diretta. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

17 Conversione diretta tra basi Se le basi di origine m e di destinazione n sono l’una potenza dell’altra, è applicabile un metodo di conversione diretta. Questa può essere svolta per sostituzione di gruppi di cifre invece che con algoritmi di divisione. Se n = m k, allora k cifre del numero nella base originaria m vengono sostituite con singole cifre nella nuova base n. –E’ il caso di m = 2 ed n = 16, ad esempio. Viceversa, se m = n k, allora ogni singola cifra del numero nella base originaria m viene espansa in k cifre nella nuova base n. –E’ il caso di m = 9 ed n = 3, ad esempio. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 4.1

18 Operazioni aritmetiche in base 2 Presentazione 1.2 Architettura dell'informazione | Prof. Luca A. Ludovico

19 Operazioni aritmetiche basilari Le regole da imparare nel caso di una base b sono relative alle b 2 possibili combinazioni delle cifre da 0 a b – 1 Ad esempio, considerando la somma in base 10, si tratta di 100 regole: = ? = ? = ? = ? = ? = ? Tali regole si riducono a 4 soltanto nella base 2 Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

20 Un vantaggio della base 2 Semplificazione portata dalla base 2: a parità di significato (valore) un numero scritto in base 2 è molto più lungo dell'equivalente scritto in base 10, ma le regole per poi eseguire le operazioni sono di gran lunga più semplici. Nel caso dell'elaboratore questo è essenziale; infatti, la velocità permette di non preoccuparsi eccessivamente della lunghezza dei numeri, mentre le regole relative alle operazioni su coppie di cifre sono legate alla circuiteria elettronica che le deve eseguire. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

21 Addizione binaria L’algoritmo dell’operazione di addizione o somma non cambia qualunque sia la base considerata. Le proprietà della somma (associativa, commutativa, distributiva, …) si mantengono. Le 4 regole di somma in base 2: = = = = 0 con riporto 1 Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

22 Esempi di addizione binaria Esempio: oa = 11 2 = 3 10 ob = = 8 10 oa + b = = oVerifica in base 10: con divisioni successive = Esempio: oa = = ob = = 6 10 oa + b = = oVerifica in base 10: con divisioni successive = Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

23 Overflow In ogni calcolatore viene utilizzato un numero fissato di bit per rappresentare i numeri sia interi che reali. E' possibile, effettuando operazioni con numeri rappresentati da n bit, ottenere un numero non rappresentabile con n bit. Se il numero è troppo grande si parla di overflow (o trabocco). La condizione di overflow si ha quando il risultato di un calcolo intero è un numero che in binario occupa più bit di quelli a disposizione, di conseguenza ne viene troncata la parte più significativa generando un risultato errato. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

24 Esempio di overflow e sono due interi in base 10 entrambi rappresentabili su 7 bit in forma binaria. –trascuriamo al momento il bit di segno La somma ( ) 10 = però non è rappresentabile con lo stesso numero di bit. Infatti troncando il risultato a 7 bit, si ottiene [1] = 3 10 La stessa operazione, eseguita su 8 bit, non avrebbe provocato overflow. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

25 Sottrazione binaria L’algoritmo dell’operazione di sottrazione o differenza non cambia qualunque sia la base considerata. Le proprietà della sottrazione in base 10 si mantengono. Le 4 regole di sottrazione in base 2: = = = = 1 con prestito di 1 Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

26 Esempio di sottrazione binaria Ipotesi: risultato della sottrazione non negativo –Ancora non sappiamo rappresentare valori negativi Esempio: oa = =13 10 ob = =5 10 oa - b = – = oVerifica in base 10: con divisioni successive = 8 10 Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

27 Moltiplicazione binaria L’algoritmo dell’operazione di moltiplicazione o prodotto non cambia qualunque sia la base considerata. Le 4 regole di moltiplicazione in base 2: 0 · 0 = 0 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 In altri termini: il prodotto per zero dà sempre come risultato zero; il prodotto per 1 dà sempre come risultato il numero stesso. Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1

28 Esempio di moltiplicazione binaria a = = b = = a x b = · = = · 1101= = Informatica Generale (Prof. Luca A. Ludovico) Presentazione 5.1 In questo caso, non si verifica mai l’operazione in colonna: = ? Si può ovviare all’eventuale problema scomponendo la somma (a + b + c + d) in più operazioni di somma a due addendi ((a + b) + c) + d

29 Architettura dell'informazione Prof. Luca A. Ludovico Esercitazione sulla codifica binaria Si escogiti un sistema per scambiare informazioni binarie tra un mittente e un destinatario posti agli estremi di quest’aula, sfruttando solo il materiale attualmente a disposizione. Il sistema verrà testato tramite l’invio di un messaggio di prova.


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