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Problema retta tangente: Come definiamo la retta tangente in un punto ad una curva? Nel caso di alcune curve, come la circonferenza, diremmo: “La retta.

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Presentazione sul tema: "Problema retta tangente: Come definiamo la retta tangente in un punto ad una curva? Nel caso di alcune curve, come la circonferenza, diremmo: “La retta."— Transcript della presentazione:

1 Problema retta tangente: Come definiamo la retta tangente in un punto ad una curva? Nel caso di alcune curve, come la circonferenza, diremmo: “La retta tangente è quella retta che ha un solo punto, o meglio, due coincidenti, in comune con la curva”

2 Questa definizione però non è sempre accettabile: Una retta può essere tangente in un punto della curva e secante in un altro! P Q La retta è tangente in P e secante in Q.

3 Come fare allora? A BB B B=A Consideriamo due punti A e B e la retta secante alla curva in A e B. Quando B coinciderà con A che retta avrò ottenuto? La retta ottenuta è la tangente alla curva nel punto A Quindi immaginiamo di tenere fisso A e di avvicinare B ad A, ritracciando di volta in volta le rette secanti.

4 Nuova definizione di retta tangente A BB B “La retta tangente ad una curva in un suo punto A è la posizione limite della secante AB al tendere del punto B al punto A” NB:perché la chiamo posizione limite?

5 Ci serviamo delle nostre conoscenze di analisi per determinare l’equazione della tangente ad una curva Sia y=f(x) una funzione. Prendiamo un punto A sulla curva : A( c ; f(c) ) poi un punto B B ( c+h ; f(c+h) ) Chi è il coefficiente angolare della retta secante AB? A B

6 Tale rapporto si indica con e prende il nome di RAPPORTO INCREMENTALE della funzione relativo a c. A B Significato geometrico: il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per A(c,f(c)) e B(c+h,f(c+h)).

7 Alla luce della nuova definizione, chi sarà la retta tangente alla curva nel punto A? Graficamente otteniamo la retta tangente avvicinando B ad A, ovvero riducendo la distanza h tra l’ascissa di A e l’ascissa di B

8 A B

9 A B

10 B A

11 A

12 Qual è l’equazione di tale retta tangente? Per conoscere la retta tangente dovremmo conoscere un punto per cui passa e il suo coefficiente angolare. La retta tangente passa per A(c ; f(c) ) Ma chi è il suo coefficiente angolare ?

13 Se la retta tangente si ottiene come posizione limite della secante al tendete di B ad A, cioè riducendo la distanza h, lo stesso vale per il coefficiente angolare: Il coefficiente angolare della tangente si ottiene calcolando il limite del coefficiente angolare della secante per h che tende a zero.

14 Una funzione si dice derivabile in punto c del suo dominio se esiste il limite finito del rapporto incrementale della funzione nel puto c per h che tende a zero. Tale limite prende il nome di DERIVATA PRIMA della funzione nel punto c e si scrive Significato geometrico: la derivata prima della funzione nel punto c è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto (c; f(c)).


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