La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT."— Transcript della presentazione:

1 A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT Tabella di VeritàTabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS”Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversaPassaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completoinsieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNORFunzione NAND, NOR, XOR e XNOR 7.1

2 A.S.E. Richiami Algebra BooleanaAlgebra Booleana Insieme di ElementiInsieme di Elementi Insieme di OperatoriInsieme di Operatori Insieme di PostulatiInsieme di Postulati TeoremiTeoremi 7.2

3 Algebra delle commutazioni Elementi (2)Elementi (2) 0 (logico)1 (logico)0 (logico)1 (logico) FalsoVeroFalsoVero Livello logico BassoLivello logico AltoLivello logico BassoLivello logico Alto 0 V5 V0 V5 V Costanti Possono assumere due valoriCostanti Possono assumere due valori VariabiliPossono assumere due valoriVariabiliPossono assumere due valori A.S.E. 7.3

4 Definizione di “OR” OperazioneOperazione –OR o SOMMA LOGICA definizionedefinizione –l’operazione OR è definita dalla tabella x+y y01 x xyx+y A.S.E.7.4

5 Osservazioni 1. x  y è uguale a “0” se e solo se x e y sono uguali a “0”, altrimenti x  y è uguale a “1” 2.Si può estendere a “n” variabili: x 1  x 2  x n è uguale “0” se e solo se x 1  x 2  x n sono uguali a “0” La funzione OR corrisponde al concetto:La funzione OR corrisponde al concetto: perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata A.S.E. 7.5

6 Definizione di “AND” OperazioneOperazione –AND o PRODOTTO LOGICO DefinizioneDefinizione –l’operazione AND è definita dalla tabella xy xyxyxyxy xyxyxyxyy01 x A.S.E.7.6

7 Osservazioni 1. x  y è uguale a “1” se e solo se x e y sono uguali a “1”, altrimenti x  y è uguale a “0” 2.Si può estendere a “n” variabili: x 1  x 2  x n è uguale “1” se e solo se x 1  x 2  x n sono uguali a “1” La funzione AND corrisponde al concetto:La funzione AND corrisponde al concetto: un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate A.S.E. 7.7

8 “NOT” OperazioneOperazione –NOT o Complemento Logico, o Negazione, o Inversione OsservazioneOsservazione –In base alla definizione iniziale si ha x xxxx01 10 A.S.E. 7.8

9 A.S.E. 7.9 Riassunto POSTULATIPOSTULATI

10 Verifica P1 Le funzioni AND e OR sono chiuseOKLe funzioni AND e OR sono chiuseOK –Per qualunque valore degli ingressi le funzioni sono definite –I valori delle uscite appartengono a “B” xyxyxyxyy01 x x+y y01 x A.S.E. 7.10

11 Verifica P2 “0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND“0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND OKOK –Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) –Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x) xyxyxyxyy01 x x+y y01 x A.S.E.7.11

12 Verifica P3 Le funzioni OR e AND sono commutativeLe funzioni OR e AND sono commutative OK OK –Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale xyxyxyxyy01 x x+y y01 x A.S.E.7.12

13 Verifica P4 Le funzioni OR e AND sono distributiveLe funzioni OR e AND sono distributive OKOK Metodo dell’induzione perfettaMetodo dell’induzione perfettaxyzyzx+yzx+yx+z(x+y)(x+z)y+zx(y+z)xyxzxy+xz A.S.E.7.13

14 Verifica P5 Il complemento di x deve soddisfare le condizioniIl complemento di x deve soddisfare le condizioni OKOK Metodo dell’induzione perfettaMetodo dell’induzione perfettax xxxx x +  x x   x A.S.E.7.14

15 Funzione logica (o Boleana) Una funzione Boleana (completa)Una funzione Boleana (completa) è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x 1,…..,x n. La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentaliLa funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali A.S.E. 7.15

16 Osservazioni Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche noteNelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) ORFra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logicheLa gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche A.S.E. 7.16

17 Tabella di Verità 1 Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di:Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di: TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE) OsservazioneOsservazione Una funzione di “n” variabili ammette 2 n possibili configurazioniUna funzione di “n” variabili ammette 2 n possibili configurazioni Una funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzioneUna funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione A.S.E. 7.17

18 Tabella di verità 2 Funzione di tre variabiliFunzione di tre variabilixyzu000 f (0,0,0) 001 f (0,0,1) 010 f (0,1,0) 011 f (0,1,1) 100 f (1,0,0) 101 f (1,0,1) 110 f (1,1,0) 111 f (1,1,1) A.S.E. 7.18

19 Esempio xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.19

20 Passo 1 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.20

21 Passo 2 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.21

22 Passo 3 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.22

23 Passo 4 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.23

24 Passo 5 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.24

25 Passo 6 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.25

26 Finexyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu A.S.E. 7.26

27 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabiliLa tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale proprietà è stata utilizzata nelTale proprietà è stata utilizzata nel Metodo dell’INDUZIONE PERFETTEMetodo dell’INDUZIONE PERFETTE A.S.E. 7.27

28 Teorema 9 (dimostrazione 9a9b9a9bxyx+y ( x+y) xy x y xy ( x y) xy x + y A.S.E. 7.28

29 Tabella dei Prodotti e delle Somme n = 3 nxyzps 0000  x  y  z p0p0p0p01 x + y + z s0s0s0s  x  y z p1p1p1p11 x + y +  z s1s1s1s  x y  z p2p2p2p21 x +  y + z s2s2s2s  x y z p3p3p3p31 x +  y +  z s3s3s3s x  y  z p4p4p4p41  x + y + z s4s4s4s x  y z p5p5p5p51  x + y +  z s5s5s5s x y  z p6p6p6p61  x +  y + z s6s6s6s x y z p7p7p7p71  x +  y +  z s7s7s7s70 A.S.E. 7.29

30 Definizioni 1 LETTERALELETTERALE –Variabile complementata o non complementata presente nella formula FORMA NORMALE DISGIUNTIVAFORMA NORMALE DISGIUNTIVA –Somma di prodotti FORMA NORMALE CONGIUNTIVAFORMA NORMALE CONGIUNTIVA –Prodotto di somme A.S.E.7.30

31 Definizione 2 MINTERMINE “p i ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabiliMINTERMINE “p i ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili MAXTERMINE “s i ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabiliMAXTERMINE “s i ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili A.S.E. 7.31

32 Forma Canonica “Somma di Prodotti” “SP” xyzu 0001 p0p0p0p p1p1p1p p3p3p3p p5p5p5p p7p7p7p7 A.S.E. 7.32

33 Forma Canonica “Prodotto di Somme” “PS” xyzu s2s2s2s s4s4s4s s6s6s6s A.S.E. 7.33

34 Osservazioni La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOTLa legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT Una stessa funzione logica può essere scritta in molta formeUna stessa funzione logica può essere scritta in molta forme La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremiLa manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi A.S.E. 7.34

35 Osservazioni Se l’espressione in esame e funzione di tre variabiliSe l’espressione in esame e funzione di tre variabili L’espressione di partenza è nella forma canonica PSL’espressione di partenza è nella forma canonica PS L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letteraliL’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letterali A.S.E. 7.35

36 Trasformazione SP – PS e PS - SP Dalla tabella dei prodotti e delle sommeDalla tabella dei prodotti e delle somme nxyzps 0000  x  y  z p0p0p0p01 x + y + z s0s0s0s  x  y z p1p1p1p11 x + y +  z s1s1s1s  x y  z p2p2p2p21 x +  y + z s2s2s2s  x y z p3p3p3p31 x +  y +  z s3s3s3s x  y  z p4p4p4p41  x + y + z s4s4s4s x  y z p5p5p5p51  x + y +  z s5s5s5s x y  z p6p6p6p61  x +  y + z s6s6s6s x y z p7p7p7p71  x +  y +  z s7s7s7s70 A.S.E. 7.36

37 Osservazione Data un’espressine nella forma SPData un’espressine nella forma SP Si può scrivere come SP complementata deiSi può scrivere come SP complementata dei 2 n -k prodotti non impiegati nell’espressione precedente Applicando il teorema di De MorganApplicando il teorema di De Morgan Applicando De Morgan si ottiene la forma PSApplicando De Morgan si ottiene la forma PS A.S.E.7.37

38 Esempio Data l’espressioneData l’espressione Si haSi ha S(6) S(1) S(0) S(2) S(7) S(4) S(5) S(3) A.S.E.7.38

39 Osservazioni Si ha quindi la seguente regolaSi ha quindi la seguente regola Passaggio da SP a PSPassaggio da SP a PS –Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine assente nella forma SP –Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti Passaggio da PS a SPPassaggio da PS a SP –Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun maxtermine assente nella forma PS –Formare la somma dei mintermini ottenuti A.S.E. 7.39

40 Premessa 1 OsservazioniOsservazioni –le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici –In base al teorema di De Morgan si ha: –ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi: –le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici A.S.E. 7.40

41 Premessa 2 OsservazioniOsservazioni –Sempre in base al teorema di De Morgan si ha: –ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi –le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici –le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT A.S.E. 7.41

42 Definizione Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di veritàLe funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità xyu xyu A.S.E. 7.42

43 Osservazioni NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-ORNAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logicila funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logicila funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici A.S.E. 7.43

44 Funzioni “complesse” 1 L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è:L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è: DefinizioneDefinizionexyu A.S.E. 7.44

45 Funzioni “complesse” 2 L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è:L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è: DefinizioneDefinizionexyu A.S.E. 7.45

46 Proprietà dello XOR / XNOR A.S.E. 7.46

47 Generatore di disparità 1 A.S.E. 7.47

48 Generatore di disparità 2 A.S.E. 7.48

49 Conclusioni Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT Tabella di VeritàTabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS”Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversaPassaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completoinsieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNORFunzione NAND, NOR, XOR e XNOR A.S.E. 7.49

50 Quesiti 1 Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni.Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni. A.S.E. 7.50

51 Quesiti 2 Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due tabelle di verità seguenti:Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due tabelle di verità seguenti: xyzf xyzf A.S.E. 7.51

52 Quesiti 3 Verificare le seguenti identitàVerificare le seguenti identità A.S.E. 7.52


Scaricare ppt "A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT."

Presentazioni simili


Annunci Google