La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT."— Transcript della presentazione:

1 A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT Tabella di VeritàTabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS”Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversaPassaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completoinsieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNORFunzione NAND, NOR, XOR e XNOR 7.1

2 A.S.E. Richiami Algebra BooleanaAlgebra Booleana Insieme di ElementiInsieme di Elementi Insieme di OperatoriInsieme di Operatori Insieme di PostulatiInsieme di Postulati TeoremiTeoremi 7.2

3 Algebra delle commutazioni Elementi (2)Elementi (2) 0 (logico)1 (logico)0 (logico)1 (logico) FalsoVeroFalsoVero Livello logico BassoLivello logico AltoLivello logico BassoLivello logico Alto 0 V5 V0 V5 V Costanti Possono assumere due valoriCostanti Possono assumere due valori VariabiliPossono assumere due valoriVariabiliPossono assumere due valori A.S.E. 7.3

4 Definizione di “OR” OperazioneOperazione –OR o SOMMA LOGICA definizionedefinizione –l’operazione OR è definita dalla tabella x+y y01 x 001 111 xyx+y000 011 101 111 A.S.E.7.4

5 Osservazioni 1. x  y è uguale a “0” se e solo se x e y sono uguali a “0”, altrimenti x  y è uguale a “1” 2.Si può estendere a “n” variabili: x 1  x 2  x n è uguale “0” se e solo se x 1  x 2  x n sono uguali a “0” La funzione OR corrisponde al concetto:La funzione OR corrisponde al concetto: perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata A.S.E. 7.5

6 Definizione di “AND” OperazioneOperazione –AND o PRODOTTO LOGICO DefinizioneDefinizione –l’operazione AND è definita dalla tabella xy xyxyxyxy000 010 100 111 xyxyxyxyy01 x000 101 A.S.E.7.6

7 Osservazioni 1. x  y è uguale a “1” se e solo se x e y sono uguali a “1”, altrimenti x  y è uguale a “0” 2.Si può estendere a “n” variabili: x 1  x 2  x n è uguale “1” se e solo se x 1  x 2  x n sono uguali a “1” La funzione AND corrisponde al concetto:La funzione AND corrisponde al concetto: un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate A.S.E. 7.7

8 “NOT” OperazioneOperazione –NOT o Complemento Logico, o Negazione, o Inversione OsservazioneOsservazione –In base alla definizione iniziale si ha x xxxx01 10 A.S.E. 7.8

9 A.S.E. 7.9 Riassunto POSTULATIPOSTULATI

10 Verifica P1 Le funzioni AND e OR sono chiuseOKLe funzioni AND e OR sono chiuseOK –Per qualunque valore degli ingressi le funzioni sono definite –I valori delle uscite appartengono a “B” xyxyxyxyy01 x 000 101 x+y y01 x001 111 A.S.E. 7.10

11 Verifica P2 “0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND“0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND OKOK –Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) –Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x) xyxyxyxyy01 x 000 101 x+y y01 x001 111 A.S.E.7.11

12 Verifica P3 Le funzioni OR e AND sono commutativeLe funzioni OR e AND sono commutative OK OK –Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale xyxyxyxyy01 x 000 101 x+y y01 x001 111 A.S.E.7.12

13 Verifica P4 Le funzioni OR e AND sono distributiveLe funzioni OR e AND sono distributive OKOK Metodo dell’induzione perfettaMetodo dell’induzione perfettaxyzyzx+yzx+yx+z(x+y)(x+z)y+zx(y+z)xyxzxy+xz0000000000000 0010001010000 0100010010000 0111111110000 1000111100000 1010111111011 1100111111101 1111111111111 A.S.E.7.13

14 Verifica P5 Il complemento di x deve soddisfare le condizioniIl complemento di x deve soddisfare le condizioni OKOK Metodo dell’induzione perfettaMetodo dell’induzione perfettax xxxx x +  x x   x 0110 1010 A.S.E.7.14

15 Funzione logica (o Boleana) Una funzione Boleana (completa)Una funzione Boleana (completa) è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x 1,…..,x n. La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentaliLa funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali A.S.E. 7.15

16 Osservazioni Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche noteNelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) ORFra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logicheLa gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche A.S.E. 7.16

17 Tabella di Verità 1 Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di:Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di: TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE) OsservazioneOsservazione Una funzione di “n” variabili ammette 2 n possibili configurazioniUna funzione di “n” variabili ammette 2 n possibili configurazioni Una funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzioneUna funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione A.S.E. 7.17

18 Tabella di verità 2 Funzione di tre variabiliFunzione di tre variabilixyzu000 f (0,0,0) 001 f (0,0,1) 010 f (0,1,0) 011 f (0,1,1) 100 f (1,0,0) 101 f (1,0,1) 110 f (1,1,0) 111 f (1,1,1) A.S.E. 7.18

19 Esempio xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.19

20 Passo 1 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.20

21 Passo 2 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.21

22 Passo 3 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.22

23 Passo 4 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.23

24 Passo 5 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.24

25 Passo 6 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.25

26 Finexyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111 A.S.E. 7.26

27 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabiliLa tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale proprietà è stata utilizzata nelTale proprietà è stata utilizzata nel Metodo dell’INDUZIONE PERFETTEMetodo dell’INDUZIONE PERFETTE A.S.E. 7.27

28 Teorema 9 (dimostrazione 9a9b9a9bxyx+y ( x+y) xy x y 0001111 0110100 1010010 1110000 xy ( x y) xy x + y 0001111 0101101 1001011 1110000 A.S.E. 7.28

29 Tabella dei Prodotti e delle Somme n = 3 nxyzps 0000  x  y  z p0p0p0p01 x + y + z s0s0s0s00 1001  x  y z p1p1p1p11 x + y +  z s1s1s1s10 2010  x y  z p2p2p2p21 x +  y + z s2s2s2s20 3011  x y z p3p3p3p31 x +  y +  z s3s3s3s30 4100 x  y  z p4p4p4p41  x + y + z s4s4s4s40 5101 x  y z p5p5p5p51  x + y +  z s5s5s5s50 6110 x y  z p6p6p6p61  x +  y + z s6s6s6s60 7111 x y z p7p7p7p71  x +  y +  z s7s7s7s70 A.S.E. 7.29

30 Definizioni 1 LETTERALELETTERALE –Variabile complementata o non complementata presente nella formula FORMA NORMALE DISGIUNTIVAFORMA NORMALE DISGIUNTIVA –Somma di prodotti FORMA NORMALE CONGIUNTIVAFORMA NORMALE CONGIUNTIVA –Prodotto di somme A.S.E.7.30

31 Definizione 2 MINTERMINE “p i ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabiliMINTERMINE “p i ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili MAXTERMINE “s i ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabiliMAXTERMINE “s i ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili A.S.E. 7.31

32 Forma Canonica “Somma di Prodotti” “SP” xyzu 0001 p0p0p0p0 0011 p1p1p1p1 0100 0111 p3p3p3p3 1000 1011 p5p5p5p5 1100 1111 p7p7p7p7 A.S.E. 7.32

33 Forma Canonica “Prodotto di Somme” “PS” xyzu 0001 0011 0100 s2s2s2s2 0111 1000 s4s4s4s4 1011 1100 s6s6s6s6 1111 A.S.E. 7.33

34 Osservazioni La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOTLa legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT Una stessa funzione logica può essere scritta in molta formeUna stessa funzione logica può essere scritta in molta forme La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremiLa manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi A.S.E. 7.34

35 Osservazioni Se l’espressione in esame e funzione di tre variabiliSe l’espressione in esame e funzione di tre variabili L’espressione di partenza è nella forma canonica PSL’espressione di partenza è nella forma canonica PS L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letteraliL’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letterali A.S.E. 7.35

36 Trasformazione SP – PS e PS - SP Dalla tabella dei prodotti e delle sommeDalla tabella dei prodotti e delle somme nxyzps 0000  x  y  z p0p0p0p01 x + y + z s0s0s0s00 1001  x  y z p1p1p1p11 x + y +  z s1s1s1s10 2010  x y  z p2p2p2p21 x +  y + z s2s2s2s20 3011  x y z p3p3p3p31 x +  y +  z s3s3s3s30 4100 x  y  z p4p4p4p41  x + y + z s4s4s4s40 5101 x  y z p5p5p5p51  x + y +  z s5s5s5s50 6110 x y  z p6p6p6p61  x +  y + z s6s6s6s60 7111 x y z p7p7p7p71  x +  y +  z s7s7s7s70 A.S.E. 7.36

37 Osservazione Data un’espressine nella forma SPData un’espressine nella forma SP Si può scrivere come SP complementata deiSi può scrivere come SP complementata dei 2 n -k prodotti non impiegati nell’espressione precedente Applicando il teorema di De MorganApplicando il teorema di De Morgan Applicando De Morgan si ottiene la forma PSApplicando De Morgan si ottiene la forma PS A.S.E.7.37

38 Esempio Data l’espressioneData l’espressione Si haSi ha S(6) S(1) S(0) S(2) S(7) S(4) S(5) S(3) A.S.E.7.38

39 Osservazioni Si ha quindi la seguente regolaSi ha quindi la seguente regola Passaggio da SP a PSPassaggio da SP a PS –Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine assente nella forma SP –Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti Passaggio da PS a SPPassaggio da PS a SP –Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun maxtermine assente nella forma PS –Formare la somma dei mintermini ottenuti A.S.E. 7.39

40 Premessa 1 OsservazioniOsservazioni –le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici –In base al teorema di De Morgan si ha: –ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi: –le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici A.S.E. 7.40

41 Premessa 2 OsservazioniOsservazioni –Sempre in base al teorema di De Morgan si ha: –ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi –le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici –le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT A.S.E. 7.41

42 Definizione Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di veritàLe funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità xyu 001 011 101 110 xyu001 010 100 110 A.S.E. 7.42

43 Osservazioni NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-ORNAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logicila funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logicila funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici A.S.E. 7.43

44 Funzioni “complesse” 1 L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è:L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è: DefinizioneDefinizionexyu000 011 101 110 A.S.E. 7.44

45 Funzioni “complesse” 2 L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è:L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è: DefinizioneDefinizionexyu001 010 100 111 A.S.E. 7.45

46 Proprietà dello XOR / XNOR A.S.E. 7.46

47 Generatore di disparità 1 A.S.E. 7.47

48 Generatore di disparità 2 A.S.E. 7.48

49 Conclusioni Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT Tabella di VeritàTabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS”Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversaPassaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completoinsieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNORFunzione NAND, NOR, XOR e XNOR A.S.E. 7.49

50 Quesiti 1 Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni.Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni. A.S.E. 7.50

51 Quesiti 2 Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due tabelle di verità seguenti:Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due tabelle di verità seguenti: xyzf 0001 0010 0100 0111 1000 1010 1101 1111 xyzf0000 0011 0101 0111 1000 1011 1100 1111 A.S.E. 7.51

52 Quesiti 3 Verificare le seguenti identitàVerificare le seguenti identità A.S.E. 7.52


Scaricare ppt "A.S.E. ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioniAlgebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOTFunzione AND, OR, NOT."

Presentazioni simili


Annunci Google