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A.S.E.3.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 3 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12,

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1 A.S.E.3.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 3 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16 Aritmetica binariaAritmetica binaria Conversione da base “N” a base 10Conversione da base “N” a base 10 Conversione da base 10 a base “N”Conversione da base 10 a base “N”

2 A.S.E.3.2 Richiami Segnali analogiciSegnali analogici Segnali numericiSegnali numerici Segnali digitaliSegnali digitali Conversione da segnale analogico a segnale numericoConversione da segnale analogico a segnale numerico Conversione da segnale numerico a segnale analogicoConversione da segnale numerico a segnale analogico CodificaCodifica

3 A.S.E.3.3 Riepilogo (1) Segnale AnalogicoSegnale Analogico –Un segnale analogico ha un’ampiezza che varia in maniera continua nel tempo Segnale campionatoSegnale campionato –Viene “congelato” il valore che il segnale analogico assume a intervalli regolari di tempo Segnale numerico 1Segnale numerico 1 –Viene assegnato al segnale campionato il valore numerico relativo all’intervallo di appartenenza

4 A.S.E.3.4 Riepilogo (2) Segnale numerico 2Segnale numerico 2 –Al segnale quantizzato si può associare il valore numerico “codificato” Segnale digitale (binario)Segnale digitale (binario) –Particolare segnale numerico che può assumere solo due valori “0” e “1” Al valore “0” si associa, per esempio, 0 VAl valore “0” si associa, per esempio, 0 V Al valore “1” si associa, per esempio, 5 VAl valore “1” si associa, per esempio, 5 V

5 A.S.E.3.5 Codifica (1/4) Un valore numerico può essere codificato per mezzo di un numero n di simboli (cifre) binariUn valore numerico può essere codificato per mezzo di un numero n di simboli (cifre) binari –il numero di cifre binarie necessario per la codifica è n =  log 2 N , dove N è il numero di livelli da codificare  se vale n = log 2 N, allora N = 2 n e tutte le possibili sequenze di n cifre binarie sono utilizzate nella codifica;se vale n = log 2 N, allora N = 2 n e tutte le possibili sequenze di n cifre binarie sono utilizzate nella codifica; se invece n > log 2 N, allora la codifica utilizza un sottoinsieme N log 2 N, allora la codifica utilizza un sottoinsieme N < 2 n delle possibili sequenze di n cifre binarie; –è possibile utilizzare diverse leggi di codifica, e il loro numero C è una funzione di N, n : se N = 2 n, allora C è dato dal numero di permutazioni di N oggetti:se N = 2 n, allora C è dato dal numero di permutazioni di N oggetti:

6 A.S.E.3.6 Codifica (2/4) se invece N < 2 n, allora C può essere determinato considerando che:se invece N < 2 n, allora C può essere determinato considerando che: –bisogna individuare N simboli di codifica fra i 2 n possibili simboli rappresentabili con n cifre binarie; il loro numero è pari alle combinazioni C(2 n,N) di N oggetti estratti da un insieme di 2 n elementi: –per ciascuna combinazione, possono essere definite P(N) = N! permutazioni diverse; –complessivamente, il numero di codifiche è quindi dato da: –nota: se N = 2 n, sfruttando la proprietà 0!=1, l’espressione di C N coincide proprio col risultato ottenuto in precedenza, C N = N!

7 A.S.E.3.7 Codifica (3/4) ValoreABC Esempio: N = 7Esempio: N = 7 n = 3, C N = 8! = 40320n = 3, C N = 8! = 40320ValoreABC ValoreABC …..

8 A.S.E.3.8 Codifica (4/4) ValoreABC Fra tutte le codifiche, due sono più significative:Fra tutte le codifiche, due sono più significative: codifica naturale;codifica naturale; codifica Gray;codifica Gray; Esempio: N = 8 ( n = 3, C N = 8! = 40320)Esempio: N = 8 ( n = 3, C N = 8! = 40320) CODIFICA NATURALEValoreABC CODIFICA GRAY

9 A.S.E.3.9 Notazione Posizionale Per rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun simbolo (cifra, digit) si usano più digit per formare un numeroPer rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun simbolo (cifra, digit) si usano più digit per formare un numero La posizione relativa di ciascun digit all’interno del numero è associata ad un peso, dato dalla base di rappresentazione bLa posizione relativa di ciascun digit all’interno del numero è associata ad un peso, dato dalla base di rappresentazione b Notazione posizionaleNotazione posizionale Rappresenta il polinomioRappresenta il polinomio

10 A.S.E.3.10 Sistema Decimale Il sistema decimale è il sistema posizionale comunemente utilizzato nella nostra vita quotidianaIl sistema decimale è il sistema posizionale comunemente utilizzato nella nostra vita quotidiana Ad esempio il numero decimale , significa:Ad esempio il numero decimale , significa: Ciascuna cifra della rappresentazione è un simbolo dell’alfabeto decimale (0, 1, 2, …, 9)Ciascuna cifra della rappresentazione è un simbolo dell’alfabeto decimale (0, 1, 2, …, 9) La posizione di una cifra all’interno del numero, relativa alla virgola decimale, indica il suo peso, ossia l’esponente ad essa associata nel suo sviluppo polinomialeLa posizione di una cifra all’interno del numero, relativa alla virgola decimale, indica il suo peso, ossia l’esponente ad essa associata nel suo sviluppo polinomiale

11 A.S.E.3.11 Sistema numerico non posizionale I numeri romani non danno luogo a un sistema numerico posizionaleI numeri romani non danno luogo a un sistema numerico posizionale Come in un sistema posizionale, uno stesso simbolo in posizioni diverse assume valori diversiCome in un sistema posizionale, uno stesso simbolo in posizioni diverse assume valori diversi –a differenza di un sistema posizionale, il peso di una cifra non è esprimibile come una potenza della base di rappresentazione –non è definita una base di numerazione per i numeri romani lo sviluppo polinomiale non è possibilelo sviluppo polinomiale non è possibile –Esempio I; II; IV; VI; etc…I; II; IV; VI; etc…

12 A.S.E.3.12 Sistema Numerico Base (radice)Base (radice) Numero di simboli diversi di un sistema numericoNumero di simboli diversi di un sistema numerico Digit (Cifra)Digit (Cifra) ciascun simbolo = DIGIT denota una quantitàciascun simbolo = DIGIT denota una quantità BaseSistemaDigit 2binario 0, 1 3ternario 0, 1, 2 4quaternario 0, 1, 2, 3 5quinario 0, 1, 2, 3, 4 8ottale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10decimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 12duodecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B 16esadecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

13 Rappresentazione completa Uno stesso numero rappresenta quantità diverse in funzione della base utilizzataUno stesso numero rappresenta quantità diverse in funzione della base utilizzata –Si deve quindi indicare la base utilizzata. Ad esempio: Altri esempi:Altri esempi: Nel caso rappresentazione binaria, una “binary digit” si indica come bit (letteralmente “pezzetto”)Nel caso rappresentazione binaria, una “binary digit” si indica come bit (letteralmente “pezzetto”) A.S.E.3.13

14 A.S.E.3.14 DecimaleBinarioTernarioOttaleEsadecimale A B C D E F Tabella

15 A.S.E.3.15 Operazioni aritmetiche di base Le quattro operazioni aritmetiche di base sono:Le quattro operazioni aritmetiche di base sono: –Addizione –Sottrazione –Moltiplicazione –Divisione Tali operazioni sono note in base decimaleTali operazioni sono note in base decimale Si possono eseguire con le stesse modalità in qualunque base diversa da 10Si possono eseguire con le stesse modalità in qualunque base diversa da 10 Si considera ora il sistema binario e quello ternarioSi considera ora il sistema binario e quello ternario –quello binario è di gran lunga il più importante

16 A.S.E.3.16 Addizione Addizione di due digitAddizione di due digit –Può essere espressa i modo tabellare Sistema binario Sistema ternarioSistema binario Sistema ternario b 01 a C=1 a+ba012 b C=1 220C=11C=1 a+b

17 A.S.E.3.17 Addizione binaria 1 Somma di due bitSomma di due bit x + yx + y s = Sommas = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) EsempioEsempio xysc carry (c) = 206 addendo somma

18 A.S.E.3.18 Addizione binaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binario EsempioEsempio = =

19 A.S.E.3.19 Addizione ternaria 1 Somma di due digitSomma di due digit x + yx + y d = Sommad = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) Esempio:Esempio:xysc riporto (c) = 3086 addendo somma

20 A.S.E.3.20 Addizione ternaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternario EsempioEsempio = =

21 A.S.E.3.21 Sottrazione Sottrazione di due digitSottrazione di due digit –Può essere espressa i modo tabellare Sistema binario Sistema ternarioSistema binario Sistema ternario b 01 a 00 1B=1 110 a-bb012 a002B=11B=1 1102B= a-b

22 A.S.E.3.22 Sottrazione binaria 1 Sottrazione di due bitSottrazione di due bit x - yx - y D = DifferenzaD = Differenza B = Borrow (PRESTITO)B = Borrow (PRESTITO) EsempioEsempio xyDB prestito (b) 206 – 117 = 89 minuendo sottraendo differenza

23 A.S.E.3.23 Sottrazione binaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binario EsempioEsempio = =

24 A.S.E.3.24 Sottrazione ternaria 1 Sottrazione di due digitSottrazione di due digit x - yx - y D = DifferenzaD = Differenza B = Borrow (PRESTITO)B = Borrow (PRESTITO) EsempioEsempioxyDB – 1420 = 1666 prestito (b) minuendo sottraendo differenza

25 A.S.E.3.25 Sottrazione ternaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternario Esempio:Esempio: Esempio 2:Esempio 2: – = = prestito (b) minuendo sottraendo differenza

26 A.S.E.3.26 Moltiplicazione Moltiplicazione di due digitMoltiplicazione di due digit –Può essere espressa i modo tabellare Sistema binario Sistema ternarioSistema binario Sistema ternario b 01 a a x b b012 a C=1

27 A.S.E.3.27 Moltiplicazione binaria Prodotto di due bitProdotto di due bit X * YX * Y P = ProdottoP = Prodotto EsempioEsempio xyP * 5 = moltiplicando moltiplicatore prodotto Prodotti parziali

28 A.S.E Moltiplicazione ternaria Prodotto di due digitProdotto di due digit X x YX x Y P = ProdottoP = Prodotto C = CarryC = Carry EsempioEsempio xyPC * 11 = 715 moltiplicando moltiplicatore prodotto Prodotti parziali

29 A.S.E.3.29 Divisione binaria Operazione divisione si effettua con moltiplicazioni e sottrazioni multipleOperazione divisione si effettua con moltiplicazioni e sottrazioni multiple Divisione binaria:Divisione binaria: divisore dividendo quoziente resto

30 A.S.E.3.30 Divisione Ternaria EsempioEsempio divisore dividendo quoziente resto

31 A.S.E.3.31 Conversione di base Un numero è un insieme di simboli o cifre che rappresentano una certa quantitàUn numero è un insieme di simboli o cifre che rappresentano una certa quantità –la rappresentazione di un numero è relativa alla base di rappresentazione utilizzata Una numero può essere espresso in qualunque base di rappresentazioneUna numero può essere espresso in qualunque base di rappresentazione –esistono diverse rappresentazioni di uno stesso valore (numero) Un intero espresso in base  è un intero anche in base Un intero espresso in base  è un intero anche in base  Un numero frazionario espresso in base  è un numero frazionario anche in base Un numero frazionario espresso in base  è un numero frazionario anche in base  Esistono due tecniche di conversione da una base ad un’altra (   Esistono due tecniche di conversione da una base ad un’altra (    –metodo polinomiale (le operazioni si fanno nella base d’arrivo) –metodo iterativo (le operazioni si fanno nella base di partenza)

32 A.S.E.3.32 Metodo polinomiale Il numero “N” espresso in base “  ” ha la forma:Il numero “N” espresso in base “  ” ha la forma: In base  = 10 si ha:In base  = 10 si ha: In base “  ” il numero “N” risulta espresso da:In base “  ” il numero “N” risulta espresso da: Calcolando il risultato di questo polinomio in aritmetica in base  i può completare la conversione:Calcolando il risultato di questo polinomio in aritmetica in base  i può completare la conversione:

33 A.S.E.3.33 Esempio 1 Convertire 1101 in base 2 nell’equivalente in base 10Convertire 1101 in base 2 nell’equivalente in base 10

34 A.S.E.3.34 Esempio 2 Convertire il numero binario nell’equivalente in base 10Convertire il numero binario nell’equivalente in base 10 Convertire il numero ternario nell’equivalente in base 10Convertire il numero ternario nell’equivalente in base 10

35 A.S.E.3.35 Esempio 3 Convertire il numero esadecimale D3F nell’equivalente in base 10Convertire il numero esadecimale D3F nell’equivalente in base 10 Osservazione: il metodo polinomiale è conveniente per la conversione da una generica base  alla base 10Osservazione: il metodo polinomiale è conveniente per la conversione da una generica base  alla base 10

36 A.S.E.3.36 Esempio 4 (numeri frazionari) Conversione da base  a base 10Conversione da base  a base 10 Rappresentazione polinomiale del numero in base  :Rappresentazione polinomiale del numero in base  : Esempio : convertire il numero binario in base 10:Esempio : convertire il numero binario in base 10:

37 A.S.E.3.37 Metodo iterativo (numeri interi) Tecnica delle divisioni successiveTecnica delle divisioni successive –Si basa sul teorema della divisione con resto; Dividendo un numero per la sua base, il resto della divisione intera è l’ultima cifra della sua rappresentazione in tale baseDividendo un numero per la sua base, il resto della divisione intera è l’ultima cifra della sua rappresentazione in tale base

38 A.S.E.3.38 Esempio 1 Convertire il numero 52 in base 10 nell’equivalente in base 2Convertire il numero 52 in base 10 nell’equivalente in base 2 Quindi:Quindi:

39 A.S.E.3.39 Esempio 2 Convertire il numero in base 10 nell’equivalente in base 16Convertire il numero in base 10 nell’equivalente in base 16 QuindiQuindi (A) (A) (8) (8)4 14 (4) (E) (E)

40 A.S.E.3.40 Esempio 3 Convertire il numero in base 10 nell’equivalente in base 8Convertire il numero in base 10 nell’equivalente in base 8 QuindiQuindi

41 A.S.E.3.41 Osservazione Il metodo iterativo utilizza l’aritmetica della base di partenzaIl metodo iterativo utilizza l’aritmetica della base di partenza –è particolarmente conveniente per la conversione da base 10 ad una generica base  diversa da 10

42 A.S.E.3.42 Metodo iterativo (numeri frazionari) Conversione da base 10 a base Conversione da base 10 a base  La parte intera procedimento prima vistoLa parte intera procedimento prima visto Per la parte frazionaria in base  si haPer la parte frazionaria in base  si ha Moltiplicando per la base si haMoltiplicando per la base si ha La conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderata (con un certo numero di cifre decimali)La conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderata (con un certo numero di cifre decimali)

43 A.S.E.3.43 Esempio Conversione da base 10 a base 16Conversione da base 10 a base 16

44 A.S.E.3.44 Errore di Conversione Avendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un errore di conversioneAvendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un errore di conversione L’entità dell’errore si può valutare convertendo di nuovo il risultato ottenuto in base 10 e valutando la differenza rispetto al numero di partenza (in aritmetica decimale)L’entità dell’errore si può valutare convertendo di nuovo il risultato ottenuto in base 10 e valutando la differenza rispetto al numero di partenza (in aritmetica decimale)

45 A.S.E.3.45 Osservazione È vera la seguente uguaglianza:È vera la seguente uguaglianza: Quindi, per convertire dalla base  alla base  un numero frazionario lo si può moltiplicare per, il cui risultato è un numero intero, convertibile con il metodo delle divisioni successive, e quindi si deve dividere (in base  ) il risultato ottenuto perQuindi, per convertire dalla base  alla base  un numero frazionario lo si può moltiplicare per, il cui risultato è un numero intero, convertibile con il metodo delle divisioni successive, e quindi si deve dividere (in base  ) il risultato ottenuto per Dualmente, si può anche considerare:Dualmente, si può anche considerare: –OSS1: m’ potrebbe anche essere diverso da m ; –OSS2: la divisione in base  diventa adesso uno spostamento della posizione della virgola, dato che

46 A.S.E.3.46 Esempio 1 Convertire il numero da base 10 a base 8Convertire il numero da base 10 a base 8 –m = 2, si moltiplica per 10 2 =100 e si eseguono le divisioni successive in base 10: –Il risultato si divide per 10 2 (10) = 144 (8), quindi risulta: N = / 144 = 75.2N = / 144 = 75.2 –N.B.: la divisione è eseguita in base 8!

47 A.S.E.3.47 Esempio 2 Convertire il numero da base 10 a base 8Convertire il numero da base 10 a base 8 –si moltiplica per 8 2 = 64 in base 10, e si eseguono le divisioni successive per 8 in base 10 (8 (10) ) –il risultato si divide per 8 2 (10) = 100 (8), quindi risulta N (8) = 7520 / 100 = 75.2N (8) = 7520 / 100 = 75.2 –N.B.: la divisione è fatta in base 8 (ma ora ha complessità nulla!)

48 A.S.E.3.48 Conclusioni Aritmetica binariaAritmetica binaria Conversione da base “N” a base 10Conversione da base “N” a base 10 Conversione da base 10 a base “N”Conversione da base 10 a base “N”


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