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Le disequazioni I simboli > e < esprimono delle disuguaglianze. Disuguaglianze numeriche ESEMPI a < b Il numero a è minore del numero b a > b Il numero.

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1 Le disequazioni I simboli > e < esprimono delle disuguaglianze. Disuguaglianze numeriche ESEMPI a < b Il numero a è minore del numero b a > b Il numero a è maggiore del numero b a ≤ b Il numero a è minore di b o uguale a b a ≥ b Il numero a è maggiore di b o uguale a b 4 −3 1 a a ≤ b equivale a b ≥ a

2 Le disequazioni Proprietà delle disuguaglianze ESEMPI a < ba + c < b + c con a, b, c R 4 < < infatti 7 < 10 9 > 39 − 4 > 3 − 4 infatti 5 > −1 a < ba e b concordi > 1 a 1 b ESEMPI −3 − −3 < 5 − < infatti

3 Le disequazioni Proprietà delle disuguaglianze ESEMPIO a < ba  c < b  c con c positivo 2 > −32.6 > −3.6 infatti 12 > −18 ESEMPI a < ba  c > b  c con c negativo 8 > −38  (−2) < −3  (−2) infatti −16 < < 312 > −3 Caso particolare: Se c = − 1 a −b 3

4 Le disequazioni Definizioni e caratteristiche Risolvere una disequazione significa determinare i valori di x p er i quali l’espressione A(x) assume valori maggiori (o minori) dell’espressione B(x). Dominio: insieme dei valori che può assumere la variabile x Disequazioni equivalenti: disequazioni con lo stesso insieme di soluzioni Insieme delle soluzioni: tutti i valori della variabile x che rendono vera la disequazione Una disequazione è in forma normale se è scritta nel seguente modo: E(x) > 0 oppure E(x) < 0. Grado di una disequazione intera in forma normale: grado di E(x) 4 Una disequazione è una relazione della forma A(x) > B(x) oppure A(x) < B(x) Nella quale si chiede per quali valori della variabile x l’espressione A(x) assume valori maggiori oppure minori dell’espressione B(x).

5 Le disequazioni Definizioni e caratteristiche Disequazione intera: disequazione in cui A(x) e B(x) sono polinomi. Disequazione frazionaria: disequazione in cui le frazioni algebriche contengono l’incognita al denominatore. ESEMPIO x + 3 > 2x – x 4 x + > 1 ESEMPI 1 x > 3x + 1 È frazionaria È intera x 3 > x

6 Le disequazioni Definizioni e caratteristiche L’insieme delle soluzioni può essere rappresentato graficamente sulla retta reale. Le soluzioni di una disequazione sono quei numeri che rendono vera la disuguaglianza. ESEMPIO x = 3 È soluzione della disequazione x − 2 > 0 perché 3 − 2 = 1 > 0 x = 1 Non è soluzione della disequazione x − 2 perché 1 – 2 = −1 < 0 ESEMPIO La disequazione x ≥ 2 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali maggiori o uguali a 2. 2 Tutti gli insiemi rappresentati sulla retta reale da semirette o da segmenti vengono detti intervalli. 6

7 Le disequazioni Rappresentazione delle soluzioni 7 IntervalloScrittura algebrica Rappresentazione sulla retta reale ILLIMITATO APERTO ILLIMITATO CHIUSO ILLIMITATO APERTO ILLIMITATO CHIUSO LIMITATO APERTO LIMITATO CHIUSO LIMITATO APERTO A SX E CHIUSO A DX LIMITATO CHIUSO A SX E APERTO A DX x > a x ≥ a x < a x ≤ a a < x < b a ≤ x ≤ b a < x ≤ b a ≤ x < b a a a a a b a a b ab b

8 Le disequazioni ESEMPIO Principi di equivalenza 8 Primo principio. Se ai due membri di una disequazione si aggiunge una stessa espressione C(x) avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: A(x) > B(x) è equivalente a A(x) + C(x) > B(x) + C(x) Conseguenza. Si possono spostare termini da un membro all’altro cambiando loro il segno: 5x – 4 > 2x + 7 è equivalente a 5x – 2x > 7 + 4

9 Le disequazioni ESEMPI Principi di equivalenza 9 Secondo principio. Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo k, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: A(x) > B(x) e k > 0 è equivalente a k  A(x) > k  B(x) Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo k, la disequazione che si ottiene è equivalente a quella data solo se si cambia anche il verso: A(x) > B(x) e k < 0 è equivalente a k  A(x) < k  B(x) Conseguenza. Si possono dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero rispettando il secondo principio. 3x + 3 > 6 dividendo per 3 è equivalente a x + 1 > 2 −10x + 5 > −15 dividendo per −5 è equivalente a 2x − 1 < 3

10 Le disequazioni ESEMPIO Principi di equivalenza 10 Conseguenza. Si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perché questa operazione equivale a moltiplicare per −1. −6x + 3 5x − 4 Conseguenza. Se nella disequazione ci sono denominatori numerici, si può trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il m.c.m. fra i denominatori. ESEMPIO + x − 1 2 3x − 4 3 > 1 6 x diventa 3(x − 1) + 2(3x − 4) 6 6 x 6 > 6 3(x – 1) + 2(3x – 4) > x continua

11 Le disequazioni ESEMPIO Principi di equivalenza 11 ATTENZIONE! L’ultima conseguenza non può essere applicata alle disequazioni frazionarie per eliminare i denominatori. − x + 1 x x x − 1 > 0 Non è equivalente a (x + 1)(x – 1) – x 2 > 0

12 Le disequazioni Disequazioni lineari intere 12 Disequazione lineare intera: disequazione intera di primo grado. Procedura risolutiva Si eseguono le operazioni indicate e si eliminano gli eventuali denominatori. Si trasportano tutti i termini contenenti la x a primo membro e gli altri a secondo e si riducono gli eventuali termini simili. Si ottiene una disequazione ridotta in forma normale del tipo ax > b. Se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a ricordando di cambiare il senso della disuguaglianza se a < 0. Se a = 0 la disequazione si riduce a una disguaglianza che può essere vera o falsa, determinando così un insieme di soluzioni uguale a R o all’insieme vuoto. Se a < 0 conviene prima cambiare segno e verso alla disequazione.

13 Le disequazioni Disequazioni lineari 13 Schema riassuntivo – Risoluzione ax > b ax > b a > 0 x > b a b/a a < 0 x < b a b/a a = 0 0 > b b < 0S = R b ≥ 0S =S =

14 Le disequazioni ESEMPIO Disequazioni lineari 14 2(x − 1) + 3x > 7(2x – 1) 2x − 2 + 3x > 14x – 7 5x − 2 > 14x – 7 Svolgiamo i calcoli: Separiamo i termini con l’incognita dai termini noti: 5x − 14x > –7 + 2 −9x > –5 9x < 5 Cambiamo segno e verso: Dividiamo per il coefficiente di x: x < 5 9 5/9 Rappresentiamo la soluzione sulla retta dei numeri:

15 Le disequazioni Disequazioni frazionarie 15 Dopo aver posto le condizioni di esistenza si portano tutti i termini della disequazione al primo membro Si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si svolgono i calcoli in modo da arrivare alla forma Si studiano separatamente i segni di A(x) e di B(x) Si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella Si costruisce il segno della frazione Si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso Procedura risolutiva A(x)A(x) B(x)B(x) > 0 o A(x)A(x) B(x)B(x) < 0

16 Le disequazioni Disequazioni frazionarie 16 ESEMPIO 2x2x x + 3 > 1 − x + 2 x + 3 x ≠ −3 Trasportiamo tutti i termini al primo membro: 2x2x x + 3 − 1 + x + 2 x + 3 > 0 Riduciamo tutto allo stesso denominatore: 2x – (x + 3) + x + 2 x + 3 > 0 Svolgiamo i calcoli al numeratore 2x – 1 x + 3 > 0 continua

17 Le disequazioni Disequazioni frazionarie 17 ESEMPIO Costruiamo la tabella dei segni: Segno del numeratore: 2x – 1 > 0 se x > − R Segno del denominatore: x + 3 > 0 se x > − 3 −3 + − R 1 2 Calcoliamo il segno della frazione: −−+ −++ +−+ Scriviamo le soluzioni: x 1 2

18 Le disequazioni Disequazioni non lineari 18 Disequazione non lineare: disequazione del tipo A(x) > 0 o A(x) 1 Procedura risolutiva (nel caso A(x) scomponibile in fattori di 1° grado): Si scompone il polinomio A(x) in fattori di primo grado Si studia il segno di ogni fattore Si costruisce la tabella dei segni Si determina il segno del polinomio in ogni intervallo individuato Si individua l’insieme delle soluzioni

19 Le disequazioni Disequazioni non lineari 19 ESEMPIO Studiamo il segno di ogni fattore: x 2 – 4x + 3 < 0 Scomponiamo il trinomio con la regola del trinomio caratteristico: (x − 1) (x – 3) < 0 1 Calcoliamo il segno del polinomio: −+ + −− + +− + Scriviamo le soluzioni: 1 < x < 3 (x – 1) > 0 se x > 1 (x – 3) > 0 se x > 3 3

20 Le disequazioni ESEMPIO Sistemi 20 Sistema di disequazioni in una incognita: insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che devono essere verificate contemporaneamente. Insieme delle soluzioni: Intersezione degli insiemi soluzioni delle disequazioni che viene trovata con la tabella delle soluzioni. x − 1 > x – 1 > 0 Risolvendo le due disequazioni si ottiene il sistema: x > 2 x > 1 3 S1S1 S2S2 Rappresentiamo gli insiemi S 1 e S 2 nella tabella delle soluzioni: S1S1 S2S2 S


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