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ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 9 ImplicantiImplicanti InclusioneInclusione Implicanti principaliImplicanti principali Mappe di KarnaughMappe.

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1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 9 ImplicantiImplicanti InclusioneInclusione Implicanti principaliImplicanti principali Mappe di KarnaughMappe di Karnaugh Fenomeni transitoriFenomeni transitori Somma e differenza di due numeri in C2Somma e differenza di due numeri in C2 Half Adder, Full AdderHalf Adder, Full Adder Sommatori e Sottrattori di due word di n bitSommatori e Sottrattori di due word di n bit Livelli di logicaLivelli di logica 9.1 A.S.E.

2 Richiami Enumerazione di funzioniEnumerazione di funzioni Reti logicheReti logiche Reti logiche combinatorieReti logiche combinatorie Reti logiche sequenzialiReti logiche sequenziali SimboliSimboli Concetto di cicloConcetto di ciclo Realizzazioni diverse della stessa funzioneRealizzazioni diverse della stessa funzione Teorema di ShannonTeorema di Shannon 9.2 A.S.E.

3 Implicanti Date due funzioni f 1 e f 2 di n variabiliDate due funzioni f 1 e f 2 di n variabili f 1 implica f 2 se non c’è un assegnazione di valori alle n variabili tale che risulti f 1 =1 e f 2 =0 f 1 implica f 2 se non c’è un assegnazione di valori alle n variabili tale che risulti f 1 =1 e f 2 =0 Per funzioni booleane completamente definitePer funzioni booleane completamente definite Se f 1 vale 1 anche f 2 vale 1Se f 1 vale 1 anche f 2 vale 1 –(Il fatto che f 1 vale 1 implica che anche f 2 vale 1) Ovvero Se f 2 vale 0 anche f 1 vale 0Ovvero Se f 2 vale 0 anche f 1 vale 0 9.3A.S.E.

4 Esempio 1 PerPerxyz f1f1f1f1 f2f2f2f A.S.E.

5 Esempio 2 PerPerxyz f3f3f3f3 f4f4f4f A.S.E.

6 Osservazione Per una f funzione nella forma SPPer una f funzione nella forma SP –Ogni termine di prodotto è implicante di f Per una f funzione nella forma PSPer una f funzione nella forma PS –La funzione f è implicante di ciascun temine di somma 9.6A.S.E.

7 Inclusione Dati due termini di prodotto p 1 e p 2Dati due termini di prodotto p 1 e p 2 – p 1 include p 2 se e solo se tutti i letterali di p 2 sono presenti in p 1 Dati due termini di somma s 1 e s 2Dati due termini di somma s 1 e s 2 – s 1 include s 2 se e solo se tutti i letterali di s 2 sono presenti in s 1 Se p 1 include p 2 allora p 1 implica p 2Se p 1 include p 2 allora p 1 implica p 2 Se s 1 include s 2 allora s 2 implica s 1Se s 1 include s 2 allora s 2 implica s A.S.E.

8 Esempio Il termine di prodottoIl termine di prodotto Include il termine di prodottoInclude il termine di prodotto Quindi implicaQuindi implica Il temine di sommaIl temine di somma Include il termine di sommaInclude il termine di somma Quindi implicaQuindi implica 9.8A.S.E.

9 Implicanti principali OsservazioniOsservazioni –Tutti i termini di prodotto di una funzione booleana, nella forma SP, sono implicati della funzione –Tutti i mintermini di una funzione sono implicanti Un termine di prodotto che è implicante di una funzione è detto Implicante Principale se non include nessun altro implicate della funzione con un numero minore di letteraliUn termine di prodotto che è implicante di una funzione è detto Implicante Principale se non include nessun altro implicate della funzione con un numero minore di letterali 9.9 A.S.E.

10 Esempio Per la funzione definita dalla tabella di veritàPer la funzione definita dalla tabella di verità Sono implicanti diSono implicanti di I terminiI termini non sono implicanti principali I terminiI termini sono implicanti principali ( include, include xyzf A.S.E.

11 Sintesi ottima È necessario definire una funzione COSTO da minimizzareÈ necessario definire una funzione COSTO da minimizzare Definiti letterali le variabili dirette o complementate presenti in una funzioneDefiniti letterali le variabili dirette o complementate presenti in una funzione Date due forme diverse della stessa funzioneDate due forme diverse della stessa funzione La forma “A ” ha un costo minore della funzione “B ” se A contiene meno letterali.La forma “A ” ha un costo minore della funzione “B ” se A contiene meno letterali. Minimizzare una funzione vuol dire trovare la forma con meno letteraliMinimizzare una funzione vuol dire trovare la forma con meno letterali Si possono definire altre funzioni COSTO in funzione della tecnologia realizzativaSi possono definire altre funzioni COSTO in funzione della tecnologia realizzativa 9.11 A.S.E.

12 Mappe di Karnaugh 1 Tecnica tabulare di descrizione delle reti combinatorieTecnica tabulare di descrizione delle reti combinatorie Struttura a matriceStruttura a matrice EsempiEsempi 2 variabili3 variabili 2 variabili3 variabili si riportano solo gli “0” o solo gli “1”si riportano solo gli “0” o solo gli “1” 01 0f(0,0)f(0,1) 1f(1,0)f(1,1) b a f(0,0,0)f(0,0,1)f(0,1,1)f(0,1,0) 1f(1,0,0)f(1,0,1)f(1,1,1)f(1,1,0) b, c a 9.12 A.S.E.

13 Adiacenza Una combinazione delle variabili d’ingresso è detta logicamente adiacente a un’altra se le due combinazioni sono differenti solo in corrispondenza di un solo bitUna combinazione delle variabili d’ingresso è detta logicamente adiacente a un’altra se le due combinazioni sono differenti solo in corrispondenza di un solo bit Nelle mappe, l’ordine delle combinazioni delle variabili è scelto in modo tale che due combinazione geometricamente adiacenti siano anche logicamente adiacenteNelle mappe, l’ordine delle combinazioni delle variabili è scelto in modo tale che due combinazione geometricamente adiacenti siano anche logicamente adiacente 9.13 A.S.E.

14 Mappe di Karnaugh 2 4 variabili4 variabili due colonne adiacenti differiscono per una sola variabiledue colonne adiacenti differiscono per una sola variabile due righe adiacenti differiscono per una sola variabiledue righe adiacenti differiscono per una sola variabile la prima i l’ultima colonna sono adiacentila prima i l’ultima colonna sono adiacenti La mappa è scritta su un cilindro verticaleLa mappa è scritta su un cilindro verticale la prima i l’ultima riga sono adiacentila prima i l’ultima riga sono adiacenti La mappa è scritta su un cilindro orizzontale (ovvero la mappa sta su un toroide)La mappa è scritta su un cilindro orizzontale (ovvero la mappa sta su un toroide) c d a b f(0000)f(0001)f(0011)f(0010) 01f(0100)f(0101)f(0111)f(0110) 11f(1100)f(1101)f(1111)f(1110) 10f(1000)f(1001)f(1011)f(1010) 9.14 A.S.E.

15 Mappe di Karnaugh 3 5 variabili5 variabili e = 0e = 1 e = 0e = 1 Le caselle con la stessa lettera sono adiacentiLe caselle con la stessa lettera sono adiacenti Attenzione alle caselle con lettere in rosso SONO ADIACENTiAttenzione alle caselle con lettere in rosso SONO ADIACENTi c d a b az 01 a x 11y 10bb c d a b c z ce 01 d x 11dy 10e 9.15 A.S.E.

16 Esempio Per la funzione prima trovata si haPer la funzione prima trovata si ha abcz a b, c a 9.16 A.S.E.

17 Osservazioni Data una funzione di “n” variabiliData una funzione di “n” variabili Ogni casella della mappa corrisponde a un mintermine della funzione (prodotto di “n” termini)Ogni casella della mappa corrisponde a un mintermine della funzione (prodotto di “n” termini) Due caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-1) terminiDue caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-1) termini Quattro caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-2) terminiQuattro caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-2) termini Otto caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-3) terminiOtto caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-3) termini 9.17 A.S.E.

18 Esempio 1 Funzione “f ”di 4 variabiliFunzione “f ”di 4 variabili La forma canonica SP si ottiene sommando le caselle dove f vale “1”La forma canonica SP si ottiene sommando le caselle dove f vale “1” 9.18 A.S.E.

19 Esempio 2 Data la funzione definita dalla seguente mappa:Data la funzione definita dalla seguente mappa: si ha:si ha: 9.19 A.S.E.

20 Definizione Il prodotto “p ” si definisce implicante della finzione “f “ se p e f valgono “1” per la stessa configurazione degli ingressiIl prodotto “p ” si definisce implicante della finzione “f “ se p e f valgono “1” per la stessa configurazione degli ingressi I mintermini della funzione sono tutti implicanti della funzioneI mintermini della funzione sono tutti implicanti della funzione Una funzione si può sempre scrivere come somma di implicantiUna funzione si può sempre scrivere come somma di implicanti Una casella delle mappe di Karnaugh è un implicante di ordine 1 (0) [1]Una casella delle mappe di Karnaugh è un implicante di ordine 1 (0) [1] Due caselle adiacenti sono un implicante di ordine 2 (1) [2]Due caselle adiacenti sono un implicante di ordine 2 (1) [2] Quattro caselle adiacenti sono un implicante di ordine 3 (2) [4]Quattro caselle adiacenti sono un implicante di ordine 3 (2) [4] Otto caselle adiacenti sono un implicante di ordine 4 (3) [8]Otto caselle adiacenti sono un implicante di ordine 4 (3) [8] L’espressine di un implicante si ricava direttamente dalle mappe di KarnaughL’espressine di un implicante si ricava direttamente dalle mappe di Karnaugh 9.20 A.S.E.

21 Esempio Per la funzione prima vista si ha:Per la funzione prima vista si ha: Impicante di “z “ Impicante di ordine 2 Impicante di ordine 3 Impicante di ordine A.S.E.

22 Esempio Esempio di implicanti di ordine 2Esempio di implicanti di ordine A.S.E.

23 Esempio Esempio di implicanti di ordine 3Esempio di implicanti di ordine A.S.E.

24 Esempio Esempio di implicanti di ordine 4Esempio di implicanti di ordine A.S.E.

25 Definizione RichiamoRichiamo –Una funzione si può sempre scrivere come somma di implicanti Un implicante p* si dice implicante principale se non esiste nessun altro implicante p’ tale che p’ copra p*Un implicante p* si dice implicante principale se non esiste nessun altro implicante p’ tale che p’ copra p* Per ogni funzione f esiste almeno un insieme di implicanti principali tale che f può essere espressa come somma di soli implicanti principaliPer ogni funzione f esiste almeno un insieme di implicanti principali tale che f può essere espressa come somma di soli implicanti principali 9.25 A.S.E.

26 Esempio Per la funzione prima vista :Per la funzione prima vista : si ha:si ha: L’implicane verde non è principaleL’implicane verde non è principale 9.26 A.S.E.

27 Ottimizzazione mediante le Mappe di Karnaugh Passo 1Passo 1 individuare sulla mappa tutti gli implicanti di ordine superiore possibile che coprono tutta la funzioneindividuare sulla mappa tutti gli implicanti di ordine superiore possibile che coprono tutta la funzione Passo 2Passo 2 Scegliere un insieme più piccolo possibile di implicanti principali che coprono la funzioneScegliere un insieme più piccolo possibile di implicanti principali che coprono la funzione NOTANOTA L’ottimizzazione si fa per ispezione visivaL’ottimizzazione si fa per ispezione visiva 9.27 A.S.E.

28 Esempio Per la funzione prima vista :Per la funzione prima vista : si ha:si ha: La scelta 3 da luogo ad una funzione migliore delle altreLa scelta 3 da luogo ad una funzione migliore delle altre 9.28 A.S.E.

29 Esempio di minimizzazione Data la funzione precedentemente vista:Data la funzione precedentemente vista: abcz Si ha: a b, c 9.29 A.S.E.

30 Condizioni non specificate »Può capitare che in particolari applicazioni alcune configurazioni degli ingressi non si possano verificare, quindi l’uscita per tali uscite non è specificata (Don’t-Care Conditions ) »Se i don’t care si considerano “0” si ottiene la prima funzione »Se alcuni don’t care si considerano “1” si ottiene la seconda funzione 9.30 A.S.E.

31 Un cattivo esempio 9.31 A.S.E.

32 Tecniche strutturate Il procedimento di sintesi per “ispezione visiva” si può utilizzare fino a 4 ÷ 5 variabiliIl procedimento di sintesi per “ispezione visiva” si può utilizzare fino a 4 ÷ 5 variabili Il procedimento di sintesi per “ispezione visiva” può essere anche descritto come processo formale strutturatoIl procedimento di sintesi per “ispezione visiva” può essere anche descritto come processo formale strutturato Metodo di Quine McCluskeyMetodo di Quine McCluskey Può essere tradotto in un programmaPuò essere tradotto in un programma La complessità del programma cresce in modo esponenziale con l’aumentare delle variabiliLa complessità del programma cresce in modo esponenziale con l’aumentare delle variabili I programmi attuali usano tecniche euristicheI programmi attuali usano tecniche euristiche 9.32 A.S.E.

33 Transitori 1 Sistema idealeSistema ideale Le uscite commutano istantaneamente Nessun ritardo fra ingresso e uscita a z c b a z c b t 9.33 A.S.E.

34 Transitori 2 Sistema realeSistema reale Le uscite commutano in ritardo a z c b a z c b t tt tt 9.34 A.S.E.

35 Ritardo di propagazione t pHL e t pLHt pHL e t pLH in out t t pHL t pLH in out 9.35A.S.E.

36 Transitori 3 Sistema reale stilizzatoSistema reale stilizzato Le forme d’onda sono ideali Si conservano i ritardi a z c b a z c b t tt tt 9.36 A.S.E.

37 Transizioni multiple su gli ingressi Possono dare luogo a glitchPossono dare luogo a glitch Transizione 010  111Transizione 010  111 a z c b a b c z a b c z A.S.E.

38 Alee Statiche Transizione 011  010Transizione 011  010 Alea statica di “1”Alea statica di “1” a z c b a b c x x y y z 9.38 A.S.E.

39 Correzione Aggiungere implicanti per coprire gli “1” adiacentiAggiungere implicanti per coprire gli “1” adiacenti a z c b a b c x x y y z k k 9.39 A.S.E.

40 Aritmetica binaria 1 Somma di due bitSomma di due bit x + yx + y s = Sommas = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) EsempioEsempio xysc carry = A.S.E.

41 Aritmetica binaria 2 Sottrazione di due bitSottrazione di due bit x -yx -y d = Differenzad = Differenza b = Borrow (Prestito)b = Borrow (Prestito) EsempioEsempio xydb borrow = 89xysc A.S.E.

42 Half Adder Somma di due bitSomma di due bit aiaiaiai bibibibi sisisisi c i aiai bibi sisi H A aiai bibi sisi c i A.S.E.

43 Full Adder 1 Somma di due bit compreso il CarrySomma di due bit compreso il Carry cicicici aiaiaiai bibibibi sisisisi c i cici sisi a i,b i cici 9.43 A.S.E.

44 Full Adder 2 Lo schema risultaLo schema risulta aiai bibi sisi c i+1 cici F A aiai bibi sisi c i+1 cici aiai bibi sisi cici F A 9.44 A.S.E.

45 Full Adder 3 cicicici aiaiaiai bibibibi sisisisi c i+ 1 aibiaibiaibiaibi a i + b i (a i + b i )c i (a i + b i )c i +a i b i A.S.E.

46 Full Adder 4 Somma di due bit compreso il CarrySomma di due bit compreso il Carry cicicici aiaiaiai bibibibi sisisisi c i A.S.E.

47 Full Adder 5 Full Adder realizzato con due Haslf AdderFull Adder realizzato con due Haslf Adder sisi c i+1 H A aiai bibi sisi c i+1 H A aiai bibi sisi c i+1 aiai bibi cici 9.47 A.S.E.

48 Half Subtractor Differenza fra due bit (x – y)Differenza fra due bit (x – y) xixixixi yiyiyiyi didididi b i xixi yiyi didi H S aiai bibi sisi c i A.S.E.

49 Full Subcrtactor 1 Differenza fra due bit compreso il Borrow (x – y)Differenza fra due bit compreso il Borrow (x – y) bibibibi xixixixi yiyiyiyi didididi b i bibi didi x i,y i bibi 9.49 A.S.E.

50 Full Subtractor 2 Lo schema risultaLo schema risulta xixi yiyi didi b i+1 bibi F S xixi yiyi didi b i+1 bibi xixi yiyi didi bibi F S 9.50 A.S.E.

51 Sommatore a riporto seriale (Ripple-Carry Adder) Somma di due parole di 4 bit in C. 2Somma di due parole di 4 bit in C. 2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b0b0 a0a0 b1b1 a1a1 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b2b2 a2a2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b3b3 a3a3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c0c0 cici aiai sisi bibi c i A.S.E.

52 Proprietà dello XOR Lo XOR può essere visto come un inverter “programmabile”Lo XOR può essere visto come un inverter “programmabile” in S outSinout A.S.E.

53 Considerazioni sulla sottrazione Si ricorda cheSi ricorda che Operando in complemento a 2 si haOperando in complemento a 2 si ha QuindiQuindi 9.53 A.S.E.

54 Sommatore/Sottrattore In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha:In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha: a0a0 b0b0 a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 a3a3 b3b3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai k A–BK=1 A+Bk= A.S.E.

55 Livelli di logica Data una rete combinatoriaData una rete combinatoria DefinizioneDefinizione Livelli di logica della rete = numero MAX di blocchi base attraversati passando da un ingresso a una uscitaLivelli di logica della rete = numero MAX di blocchi base attraversati passando da un ingresso a una uscita NOTANOTA La negazione degli ingressi non contaLa negazione degli ingressi non conta d b a c g y x A.S.E.

56 Sintesi a due livelli Le tecniche fin ora viste sono di sintesi a due livelliLe tecniche fin ora viste sono di sintesi a due livelli a z d c b 9.56 A.S.E.

57 Sintesi a tre livelli Si usa un numero inferiore di porte e con meno ingressiSi usa un numero inferiore di porte e con meno ingressi a z d c b 9.57 A.S.E.

58 Reti a più uscite Casi vistiCasi visti più ingressi una uscita più ingressi una uscita Tecniche di minimizzazione visteTecniche di minimizzazione viste Una sola uscitaUna sola uscita Casi frequenti nella praticaCasi frequenti nella pratica più ingressi più uscitepiù ingressi più uscite La minimizzazione delle singole uscite (separatamente) non garantisce la minimizzazione dell’intera reteLa minimizzazione delle singole uscite (separatamente) non garantisce la minimizzazione dell’intera rete Il procedimento di minimizzazione globale risulta molto complessoIl procedimento di minimizzazione globale risulta molto complesso 9.58 A.S.E.

59 Esempio Rete a due usciteRete a due uscite zw zw 9.59 A.S.E.

60 Tempo di ritardo Per una porta logica si haPer una porta logica si ha U I1I1 I2I2 I3I3 t3t3 t1t1 t2t2 tztz 9.60 A.S.E.

61 Ritardi del FULL ADDER 1 cici aiai sisi c i+1 bibi Consente di anticipare il calcolo di 9.61 A.S.E.

62 Ritardi del FULL ADDER 2 Per il C i+1 si haPer il C i+1 si ha 9.62A.S.E.

63 Tempo di ritardo nel Sommatore T c = ritardo del Carry, T s = ritardo della sommaT c = ritardo del Carry, T s = ritardo della somma c i+1 FA cici aiai sisi bibi b0b0 a0a0 b1b1 a1a1 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b2b2 a2a2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b3b3 a3a3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c0c0 cici aiai sisi bibi c i A.S.E.

64 Ritardo del sommatore Ripple Carry Per il Carry iesimo si ha:Per il Carry iesimo si ha: Per il Full Adder si ha:Per il Full Adder si ha: QuindiQuindi Ritardo del sommatore Ripple Carry 9.64A.S.E.

65 Conclusioni ImplicantiImplicanti InclusioneInclusione Implicanti principaliImplicanti principali Mappe di KarnaughMappe di Karnaugh Fenomeni transitoriFenomeni transitori Somma e differenza di due numeri in C2Somma e differenza di due numeri in C2 Half Adder, Full AdderHalf Adder, Full Adder Sommatori e Sottrattori di due word di n bitSommatori e Sottrattori di due word di n bit Livelli di logicaLivelli di logica 9.65 A.S.E.


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