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Condizione necessaria di derivabilità se f è derivabile in x 0 allora f è continua in x 0 Dimostrazione se f è derivabile in x 0 allora: 1.

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Presentazione sul tema: "Condizione necessaria di derivabilità se f è derivabile in x 0 allora f è continua in x 0 Dimostrazione se f è derivabile in x 0 allora: 1."— Transcript della presentazione:

1 Condizione necessaria di derivabilità se f è derivabile in x 0 allora f è continua in x 0 Dimostrazione se f è derivabile in x 0 allora: 1

2 Continuità e derivabilità f è derivabile nel punto x 0 f è continua nel punto x 0 la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità f è non continua nel punto x 0 f è non derivabile nel punto x 0 la continuità è condizione necessaria per la derivabilità 2

3 esempio f è continua nel punto f non è derivabile nel punto 3

4 esempio f è continua nel punto f non è derivabile nel punto 4

5 Punti di non derivabilità se f è continua in x 0 non è detto che f sia derivabile in x 0 se x 0 è un punto di flesso a tangenza verticale flesso a tangenza verticale discendente flesso a tangenza verticale ascendente 5

6 Punti di non derivabilità se f è continua in x 0 non è detto che f sia derivabile in x 0 se x 0 è una cuspide (punto di massimo) Cuspide (punto di massimo) 6

7 Punti di non derivabilità se f è continua in x 0 non è detto che f sia derivabile in x 0 se x 0 è un punto di cuspide (punto di minimo) Cuspide (punto di minimo) 7

8 Punti di non derivabilità se f è continua in x 0 non è detto che f sia derivabile in x 0 se ed almeno uno dei due limiti sia finito, allora x 0 è un punto angoloso 8

9 esercizio Determinare a e b in modo che f sia continua e derivabile su tutto R. Per tali valori disegnare la funzione e disegnare inoltre: continuità in 0 f continua in 0 derivabilità in 0 9

10 esercizio f derivabile in 0 10

11 11

12 Importante osservazione se f è derivabile in x 0 allora si ricava che: ricordiamo che da cui si ricava: se f è derivabile in x 0 allora la variazione assoluta è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale al primo rispetto a 12

13 Esempi è un infinitesimo di ordine 1/3 rispetto a x da cui si ricava che f non è derivabile è un infinitesimo di ordine 1/2 rispetto a da cui si ricava che g non è derivabile 13

14 Teorema: derivazione della funzione inversa f continua e strettamente monotona in I Se f è derivabile in x 0 appartenente ad I e allora esiste e si ha: 14

15 Esercizio Calcolare la derivata della funzione inversa in è un monotona in senso stretto in I da cui si ricava che la funzione inversa è derivabile 15

16 Esercizio Scambio di variabili: 16


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