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1 Corso di Analisi Statistica per le Imprese Indici di variabilita ’ ed eterogeneita ’ Prof. L. Neri a.a. 2014-2015.

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1 1 Corso di Analisi Statistica per le Imprese Indici di variabilita ’ ed eterogeneita ’ Prof. L. Neri a.a

2 Variabilità La variabilità di una distribuzione esprime la tendenza delle unità di un collettivo ad assumere diverse modalità del carattere. Per misurare la variabilità di una distribuzione si ricorre agli indici di variabilità che devono rispettare le seguenti caratteristiche: -assumere valore minimo se tutte le unità della distribuzione presentano la stessa modalità del carattere -aumentare al crescere della “diversità” tra le modalità assunte dalle varie unità 2

3 Variabilità Il calcolo di una media non esaurisce la descrizione sintetica di un fenomeno osservato in un collettivo Due insiemi di valori o due distribuzioni di frequenza, pur avendo lo stesso valore medio, possono essere molto differenti tra di loro Gli indici di variabilità forniscono informazioni complementari a quelle degli indici medi 3

4 Punti vendita RicaviCostiaddettiubicazioneGenere respons. Vendita On-line R.O centromaschiosi periferiamaschiosi semicentrofemminano periferiafemminano centromaschiono centromaschiono periferiamaschiono semicentrofemminano centrofemminasi140 4

5 Variabilità Ricavi Ricavi (A) Ricavi (B) Ricavi (C) Distribuzione osservata Distribuzioni teoriche Le 3 distribuzioni teoriche hanno la stessa media della distribuzione osservata La sintesi con la media aritmetica porta allo stesso risultato Eppure le distribuzioni sono molto diverse tra di loro 5

6 Alcuni indici di variabilità Il range (o campo di variazione) è l’ampiezza dell’intervallo che contiene tutti i valori della distribuzione La differenza interquartile è l’ampiezza dell’intervallo che contiene il 50% dei valori (quelli centrali) 6

7 Esempio Ricavi Ricavi (A) Ricavi (B) Ricavi (C) x min x max Range=x max -x min Distr. A Variabilità nulla Tutti i valori uguali Passando da A a B e da B a C, aumenta la variabilità perché i valori cadono in un range sempre più ampio 7

8 Indici basati sullo scostamento dalla media La varianza σ 2 è funzione delle differenze (scarti) tra ogni valore x i e la media La devianza è il numeratore della varianza 8

9 Indici basati sullo scostamento dalla media La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice quadrata della varianza Il coefficiente di variazione CV è il rapporto tra la dev. standard e la media moltiplicato per 100 9

10 Confronto tra due distribuzioni in termini di variabilità CV si calcola per confrontare la variabilità della distribuzione del carattere X con quella del carattere Y quando sono espressi o con diversa unità di misura o con diverso ordine di grandezza Se CV X >CV y allora la variabilità del carattere X è maggiore di quella del carattere Y 10

11 11 Esempio di calcolo Ricavi x j Scarti dalla media (x j -μ) Quadrato degli scarti (x j -μ) Per la proprietà della media Devianza= Varianza=18133,3 Dev.std.=134,7 11

12 Variabilità dei ricavi dei punti vendita Un basso grado di variabilità indica che i punti vendita realizzano performance simili (i ricavi si discostano poco tra di loro) Viceversa un alto grado di variabilità fa capire che c’è una certa eterogeneità nei risultati delle vendite ottenuti nei diversi negozi 12

13 Varianza di una distribuzione di frequenza Addetti (x j ) Numero punti vendita (n j ) (x j -μ) 2 *n j 19,34 4,45 0,04 0,79 30,26 13

14 Box plot Q1Q1 max Q3Q3 Q2Q2 min L’altezza del box indica la dispersione del 50% delle osservazioni centrali intorno alla mediana. Si evidenzia una certa simmetria nella parte centrale, dato che la differenza Q 2 -Q 1 non è molto diversa da Q 3 -Q 2 I segmenti esterni al box indicano la dispersione dei valori estremi. Si nota una maggiore dispersione del 25% dei valori più grandi, dato che la differenza max-Q 3 è molto maggiore di Q 1 -min Ricavi 14

15 Calcolo dei valori standardizzati Se il carattere quantitativo X ha media e deviazione standard σ allora è possibile sempre ottenere i suoi valori standardizzati La distribuzione del carattere Y avrà allora media zero e deviazione standard uguale ad 1

16 Confronto del rendimento di due investimenti (uguale media) Negli ultimi cinque anni, due fondi di investimento F 1 e F 2 hanno avuto lo stesso rendimento medio annuo, ma le varianze sono molto diverse Var(F 1 )>Var(F 2 ) F1F1 F2F ,76, ,15, ,43, ,87, ,54,9 media5,5 var10,71,8 Una varianza maggiore indica che rendimenti molto diversi dalla media sono più frequenti Maggiore volatilità Maggior rischio A parità di rendimento medio, il cliente che è disposto ad accettare un rischio più alto sceglierà di investire in F 1 16

17 Confronto del rendimento di due investimenti (media diversa) Il rendimento di F 1 ha registrato una media e una varianza superiore a quello di F 2 Si può concludere che F 1 rappresenta un investimento più rischioso rispetto a F 2 ? F1F1 F2F ,71, ,11, ,92, ,92, ,54,9 media7,02,5 var10,61,5 Le due medie hanno un ordine di grandezza diverso CV46,549,3 la variabilità si confronta con CV A F 1 è associata una variabilità (volatilità) più bassa 17

18 Omogeneità ed eterogeneità Sono aspetti della variabilità di un carattere qualitativo Eterogeneità nulla (o massima omogeneità) → Il carattere assume un’unica modalità (tutte le unità del collettivo presentano quella modalità) Eterogeneità massima (o minima omogeneità) → Il carattere presenta tutte le modalità e a ciascuna di esse è associata la stessa frequenza 18

19 Eterogeneità Eterogeneità nulla (tutte le unità hanno la stessa modalità) Eterogeneità massima (a ciascuna modalità è associata la stessa frequenza) Mod.Freq. rel. a1 Mod.Freq. rel. a1a1 1/k a2a2 … akak 19

20 Indice di eterogeneità Indice di eterogeneità di Gini Indice relativo di eterogeneità di Gini Mod.Freq.Freq. rel. a1a1 n1n1 f1f1 a2…a2… n2…n2… f 2.. ajaj njnj fjfj aKaK nKnK fKfK 20

21 Eterogeneità dell’ubicazione dei punti vendita Ubicazione del p.v. F. ass. (n j ) F. rel. (f j ) Centro40,45 Semicentro20,22 Periferia30,33 Totale91,00 0,20 0,05 0,11 0,36 21

22 Eterogeneità dell’ubicazione dei punti vendita Distr. osservata Ubicazione del p.v. F. ass. (n j ) F. rel. (f j ) Centro40,45 Semicentro20,22 Periferia30,33 Totale91,00 Distr. con la max eterog. F. ass. (n j ) F. rel. (f j ) 30, ,00 C’è un elevato grado di eterogeneità La distribuzione osservata si avvicina a quella che si avrebbe nella situazione di massima eterogeneità 22


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