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Lezione 1: La matematica che serve Sandro Gronchi Modelli di welfare a confronto AA 2012-2013.

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1 Lezione 1: La matematica che serve Sandro Gronchi Modelli di welfare a confronto AA

2 Avvertenza: le slides sono animate. Si prega di visionarle attivando il movimento (chiave F5)

3 1. Tassi di crescita unitari e percentuali Nel linguaggio parlato, i tassi di crescita si esprimono normalmente in termini percentuali. Ad esempio, si usa dire che una grandezza cresce al 10% per significare che cresce di un’unità per ogni 100 che ne fanno parte. In matematica, i tassi di crescita si esprimono invece in termini unitari. Ad esempio, un tasso pari a 0,1 fa crescere la grandezza di un decimo per ogni unità che ne fa parte. Dal tasso unitario si passa all’equivalente tasso percentuale moltiplicandolo per 100. Per ottenere la crescita, basta moltiplicare la grandezza per il tasso unitario. Ad esempio, moltiplicando una grandezza che vale 200 unità per un tasso unitario che vale 0,1 (10%) si ottiene una crescita di 200 x 0,1 = 20 unità.

4 2.Montante di una grandezza k che cresce al tasso r tempo valore di k iniziale montante (valore raggiunto da k) al tempo ‘1’ montante al tempo ‘3’ Se k è un capitale, il tasso di crescita è un tasso d’interesse e il fattore di crescita un fattore di interesse k 0 è moltiplicato per la potenza n.esima del fattore di crescita montante al tempo ‘2’

5 3. Montante a tasso variabile tempo k 0 è moltiplicato per il prodotto di n fattori di crescita (anziché per la potenza n.esima di un unico fattore)

6 4. Sconto di una grandezza in crescita al tasso r Lo sconto del valore k 1 che k assume al tempo ‘1’ è il valore che k aveva al tempo ‘0’ (prima della crescita)... Lo sconto serve a rispondere a domande del tipo: quale capitale occorre investire al tempo ‘0’ in un titolo che rende il 10% per ottenere euro al tempo ‘1’, oppure al tempo 2, oppure al tempo 3? la frazione (reciproco del fattore d’interesse) si chiama fattore di sconto

7 5. Sconto a tasso variabile

8 6. Come si trova il tasso di crescita Una grandezza k passa dal valore k 0 (ad esempio, ) nell’anno ‘0’ al valore k n nell’anno ‘n’ (ad esempio, dopo 3 anni). Per sapere a quale tasso annuo è cresciuta, basterà risolvere l’equazione nell’incognita r:

9 Si consideri una grandezza che cresce del 10% per una prima concausa e del 20% per una seconda. I due tassi ‘si compongono’ (sono composti) nel senso che l’uno agisce non solo sul valore iniziale della grandezza ma anche sulla crescita generata dall’altro. Ad esempio, se il valore iniziale è 100, il 20% agisce anche sulle 10 unità aggiuntive generate dal 10%. γ (?) 7. Il tasso ‘somma’ γ = 0,32 (32%) 100 0,1 (10%) 0,2 (20%) A quale tasso ‘somma’ (complessivo) cresce la grandezza?

10 8. Un esempio di somma In base a un contratto di lavoro, ai nuovi assunti spetta un ‘salario d’ingresso’ di 100 euro che deve crescere in base al tasso d’inflazione (per reintegrare il potere d’acquisto) e al 20% per accrescere il potere d’acquisto di tale percentuale Pertanto la corretta applicazione del contratto deve prevedere l’uso del tasso composto ? γ (?) 100 Qual è il tasso γ che ottempera al contratto nel caso l’inflazione sia del 10%? 132 γ = 0,32 (32%)

11 Un contratto di lavoro prevede una crescita del salario d’ingresso a un tasso γ=32% all’anno. 9. Il tasso ‘differenza’ Se l’inflazione è del 10%, a quale tasso β cresce il potere d’acquisto? γ= 0, β α = 0,1 salario che garantirebbe la sola invarianza del potere d’acquisto

12 il tasso β tende a -1 per α che tende all’infinito il fattore 1+ β tende a zero per α che tende all’infinito 10. Il grafico della differenza

13 11. Il grafico della differenza (continua) α β β = γ β=0 per α=γ la differenza β tende a -1 per α che tende all’infinito 1+β = 1+γ il fattore 1+ β tende a 0 per α che tende all’infinito α 1+β1+β A prescindere dall’esempio, in generale il grafico della differenza è di questo tipo

14 Vi chiedete: a quale Tasso Interno di Rendimento (tasso d’interesse implicito) investite i vostri soldi se accettate il ‘progetto’ (la proposta) ? in tale ipotesi, il debito dell’amico (v/s credito) è di € al tempo € al tempo ,8 € al tempo 3... Si risponde ‘per tentativi’ verificando, per cominciare, un’ipotesi qualsiasi, ad esempio che sia TIR = 9% 12. Il tasso interno di rendimento (TIR) Un amico vi chiede prestiti (v/s pagamenti) per € al tempo 0 (quest’anno) e al tempo 1 (l’anno prossimo). Vi propone altresì rimborsi (v/s incassi) per € al tempo 2 (fra 2 anni) e € al tempo 3 (fra 3 anni)....mentre l’amico promette di saldarvi con €. Perciò vi siete sbagliati: dovrà essere TIR > 9%

15 in tale ipotesi, il vostro amico vi deve € al tempo € al tempo ,2 € al tempo Il tasso interno di rendimento (continua) Sebbene fallito, il primo tentativo vi ha permesso di escludere che il TIR sia inferiore o uguale al 9% Testiamo ora un TIR > 9%, ad esempio testiamo TIR = 11% 11%...mentre promette di saldarvi con €. Perciò vi siete di nuovo sbagliati. Dovrà essere TIR < 11%

16 in tale ipotesi, il vostro amico vi deve € al tempo € al tempo € al tempo Il tasso interno di rendimento (continua) Sebbene falliti, i primi due tentativi vi hanno permesso di stabilire che il TIR è compreso fra il 9% e l’11% Testiamo ora un TIR intermedio,. Ad esempio, testiamo TIR = 10% Poiché vi salderà proprio con €, avete finalmente scoperto il vostro TIR !!!

17 15. Il tasso interno di rendimento (continua) A ben vedere, avete trovato il TIR come incognita dell’equazione: Svolgendo i prodotti, l’equazione diventa: Portando il secondo rimborso al primo membro e dividendo per (1+TIR) l’equazione diventa infine: Avete quindi trovato il TIR risolvendo (per tentativi) l’equazione che azzera il valore attuale del progetto

18 16. Il tasso interno di rendimento (continua) pagamenti incassi In generale, dato un progetto così articolato in pagamenti (a i 0), Il suo TIR si trova come incognita dell’equazione: che azzera lo sconto del progetto stesso... tempo 123nn+1n+2n+m


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