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A.S.E.4.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 4 Conversione da base 2 a base 8 e 16 e viceversaConversione da base 2 a base 8 e 16 e viceversa.

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1 A.S.E.4.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 4 Conversione da base 2 a base 8 e 16 e viceversaConversione da base 2 a base 8 e 16 e viceversa Modulo e Modulo “M”Modulo e Modulo “M” Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno –Modulo e segno –Complemento a 2 –Complemento a 1 –Traslazione Operazioni con iteri relativiOperazioni con iteri relativi

2 A.S.E.4.2 Richiami Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16 Aritmetica binariaAritmetica binaria Conversione da base “N” a base 10Conversione da base “N” a base 10 Conversione da base 10 a base “N”Conversione da base 10 a base “N”

3 A.S.E.4.3 Binario  Ottale Dato un numero binarioDato un numero binario Operando per fattorizzazione:Operando per fattorizzazione:

4 A.S.E.4.4 Metodo di conversione Basta raggruppare le cifre del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nella corrispondente cifra (digit) ottaleBasta raggruppare le cifre del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nella corrispondente cifra (digit) ottale EsempioEsempio Nota: sono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di treNota: sono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di tre

5 A.S.E.4.5 Binario  Esadecimale Stesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattroStesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattro Esempio:Esempio: Per le conversioni:Per le conversioni: –ottale  binario; –esadecimale  binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binario

6 A.S.E.4.6 Ottale  Esadecimale (Esadecimale  Ottale) Conversione intermedia in binarioConversione intermedia in binario Esempio:Esempio: –ottale  esadecimale –esadecimale  ottale

7 A.S.E.4.7 Modulo Il modulo di un numero è il valore assoluto del numero stessoIl modulo di un numero è il valore assoluto del numero stesso –si indica con due barre verticali Risulta:Risulta: EsempioEsempio Graficamente si ha:Graficamente si ha: x |x|

8 A.S.E.4.8 Osservazione Dati due numeri arbitrari X e Y, con Y ≠ 0, alloraDati due numeri arbitrari X e Y, con Y ≠ 0, allora –Se R = 0 allora X è divisibile per Y Si può dimostrare che R e Q esistono e sono uniciSi può dimostrare che R e Q esistono e sono unici EsempiEsempi

9 A.S.E.4.9 Modulo-M (1/2) “X modulo M” è il “resto” della divisione di “X” diviso “M” (intero positivo);“X modulo M” è il “resto” della divisione di “X” diviso “M” (intero positivo); –si indica con due barre verticali e pedice M: R è detto anche “residuo”, e risultaR è detto anche “residuo”, e risulta Esempi:Esempi: parte intera inferiore della divisione X/M resto della divisione intera X/M

10 A.S.E.4.10 Modulo-M (2/2) Altra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo “M” di XAltra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo “M” di X 1° caso 0 ≤ X < M segue R = X1° caso 0 ≤ X < M segue R = X 2° caso X ≥ M si togli tante volte M in modo che risulti 0 ≤ R < M2° caso X ≥ M si togli tante volte M in modo che risulti 0 ≤ R < M 3° caso X ≤ 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 ≤ R < M3° caso X ≤ 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 ≤ R < M

11 A.S.E.4.11 Proprietà del modulo-M Dati due interi X e Z, e, risultano vere le seguenti relazioni:Dati due interi X e Z, e, risultano vere le seguenti relazioni: 1) 1) 2) 2) 3) 3)

12 A.S.E.4.12 Osservazione 1 L’operazione modulo “M” in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| ML’operazione modulo “M” in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| M Dato R esistono infiniti numeri che hanno per residuo R stesso L’operazione modulo “M” è biunivoca se risultaL’operazione modulo “M” è biunivoca se risulta

13 A.S.E.4.13 Esempio grafico Per M = 16 risultaPer M = 16 risulta

14 A.S.E.4.14 Osservazione 2 Data una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue l’addizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valoreData una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue l’addizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valore EsempioIn base 10, disponendo diEsempioIn base 10, disponendo di sole due cifre si ha:

15 A.S.E.4.15 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno –Complemento a 2 Complemento a 1Complemento a 1 Traslazione ( cambia la codifica del segno)Traslazione ( cambia la codifica del segno)

16 A.S.E.4.16 Modulo e segno (1) Operando in base “B” e disponendo di “N” cifreOperando in base “B” e disponendo di “N” cifre Si può numerare B N oggetti distinti [ 0 ÷ (B N -1)]Si può numerare B N oggetti distinti [ 0 ÷ (B N -1)] Dovendo numerare sia oggetti positivi, che negativi, si sceglie di “centrare l’intervalloDovendo numerare sia oggetti positivi, che negativi, si sceglie di “centrare l’intervallo

17 A.S.E.4.17 Modulo e segno (2) AssumendoAssumendo –B > base in cui si opera –N > Digit (cifre) a disposizione (lunghezza della parola) –X > numero di cui si vuole eseguire la conversione –X MS > rappresentazione di X in M.S. RisultaRisulta In Base 2 risultaIn Base 2 risulta

18 A.S.E.4.18 Esempio 1 Disponendo di 3 digit in base 10Disponendo di 3 digit in base 10 –Stabilire il max e min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 25, 147, -13, -258 Essendo B = 10 e N = 3, risultaEssendo B = 10 e N = 3, risulta

19 A.S.E.4.19 Esempio 2 Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 1111 (15), (117), (-23), (-89)

20 A.S.E.4.20 Modulo e segno (3) Se si dispone di “n” bitSe si dispone di “n” bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

21 A.S.E.4.21 Complemento a 2 (1) AssumendoAssumendo –B > base in cui si opera = 2 –N > Digit (cifre) a disposizione (lunghezza della parola) –X > numero di cui si vuole eseguire la conversione –X C2 rappresentazione di X in C2 RisultaRisulta

22 A.S.E.4.22 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max e min rappresentabile –Convertire in C2 i numeri 1111 (15), (117), (-23), (-89)

23 A.S.E.4.23 Esempio grafico Per B = 2 e N = 4, si haPer B = 2 e N = 4, si ha

24 A.S.E.4.24 Complemento a 2 (2) Se si dispone di “n” bitSe si dispone di “n” bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

25 A.S.E.4.25 Complemento a 1 (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X C1 rappresentazione di X in C1 RisultaRisulta

26 A.S.E.4.26 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in C1 i numeri 1111 (15), (117), (-23), (-89)

27 A.S.E.4.27 Complemento a 1 (2) Se si dispone di “n” bitSe si dispone di “n” bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

28 A.S.E.4.28 Traslazione (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X T rappresentazione di X in T RisultaRisulta

29 A.S.E.4.29 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max e min rappresentabile –Convertire in T i numeri 1111 (15), (117), (-23), (-89)

30 A.S.E.4.30 Traslazione(2) Se si dispone di “n” bitSe si dispone di “n” bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

31 A.S.E.4.31 Trasformazione da numeri positivi a numeri negativi e viceversa Per la rappresentazione in modulo e segnoPer la rappresentazione in modulo e segno Basta cambiare il bit di segnoBasta cambiare il bit di segno Per la rappresentazione in complemento a 1Per la rappresentazione in complemento a 1 Si complementano tutti bitSi complementano tutti bit Per la rappresentazione in complemento a 2Per la rappresentazione in complemento a 2 Si complementano tutti bit e si somma 1Si complementano tutti bit e si somma 1 Per la rappresentazione in traslazionePer la rappresentazione in traslazione Si somma sempre 2 n-1Si somma sempre 2 n-1

32 A.S.E.4.32 Modulo e segno In Base 2 risultaIn Base 2 risulta Per parola di 8 bit si ha:Per parola di 8 bit si ha:

33 A.S.E.4.33 Tabella Riassuntiva Con riferimento a una word di “n” bit, si ha:Con riferimento a una word di “n” bit, si ha: K = 2 nK = 2 n H = 2 n-1H = 2 n-1 W numero in base 2 da convertireW numero in base 2 da convertire W’ numero convertitoW’ numero convertito

34 A.S.E.4.34 Varie rappresentazioni su 4 bit Base 10 Mod e seg comp a 1 comp a 2 trasl

35 A.S.E.4.35 Addizione in Modulo e segno Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] * è necessario fare un test sul segno prima di eseguire la somma* è necessario fare un test sul segno prima di eseguire la somma

36 A.S.E.4.36 Addizione in Complemento a 2 Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 **Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2**Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2 ***Il risultato è rappresentato in C. 2***Il risultato è rappresentato in C. 2

37 A.S.E.4.37 Esempi Parola di 4 bitParola di 4 bit = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = =11 (-6) + (-5) =(-11)

38 A.S.E.4.38 Osservazioni Se la word si estende “K” bit si haSe la word si estende “K” bit si ha per numeri positivi si aggiungono in testa K zeriper numeri positivi si aggiungono in testa K zeri per numeri negativi si aggiungono in testa K unoper numeri negativi si aggiungono in testa K uno EsempioEsempio Word di 4 bit Word di 6 bit

39 A.S.E.4.39 OverfloW Parola di 4 bitParola di 4 bit = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = =11 (-6) + (-5) =(-11)

40 A.S.E.4.40 Conclusioni Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno –Modulo e segno –Complemento a 2 –Complemento a 1 –Traslazione Operazioni con iteri relativi (prima parte)Operazioni con iteri relativi (prima parte)


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