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R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1 L21 Accettare la casualità Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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1 R. Soncini Sessa, MODSS, L21 Accettare la casualità Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

2 R. Soncini Sessa, MODSS, Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. S02): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi A. i disturbi sono deterministici ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione

3 R. Soncini Sessa, MODSS, Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi A. i disturbi sono deterministici ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione

4 R. Soncini Sessa, MODSS, Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione in presenza di casualità

5 R. Soncini Sessa, MODSS, Il Problema di pianificazione l’indicatore è casuale: che fare? Il Problema di pianificazione in presenza di casualità

6 R. Soncini Sessa, MODSS, Tabella delle decisioni Valore indicatore Stati di natura (realizzazioni del disturbo)  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A

7 R. Soncini Sessa, MODSS, E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà. Teoria delle decisioni Informazione disponibile Decisione in condizione di 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà.  certezza  rischio 3.E’ noto  (descrizione set-membership)  incertezza 2.E’ noto  j. (descrizione stocastica)

8 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di certezza Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternativa A1A A2A A3A A4A Tabella di decisione Nota la realizzazione j si sceglie l’alternativa A * tale che

9 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di certezza: esempio In condizioni di certezza opterò sicuramente per l’alternativa A 2 che rende 1500 €. Valore indicatore Stati di natura  11 Decisioni A1A A2A2 1500

10 R. Soncini Sessa, MODSS, Teoria delle decisioni Decisione in condizione di Informazione disponibile 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà  certezza  rischio 3.Nessuna  completa incertezza 2.E’ noto  j (descrizione stocastica)

11 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di rischio Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento 1/3 E j [i ij ] Criterio di Laplace: scegliere l’alternativa A * tale che

12 R. Soncini Sessa, MODSS, Avversione al rischio Il criterio di Laplace suggerisce di scegliere l’alternativa A 2. Voi cosa scegliereste? Valore indicatore Stati di natura  11 22 AlternativeA1A A2A Probabilità di accadimento  j ) 0,80,2 E j [i ij ] La decisione dipende dall’avversione al rischio dell’individuo, la quale può essere quantitativamente identificata attraverso una funzione di utilità U(z) che si stima con una lotteria.

13 R. Soncini Sessa, MODSS, Stima della funzione di Utilità i   0.00 i U Avversione al rischio Neutralità i neutro i avverso u(i)= f Avversione al rischio 0 i   1.00 Neutralità 50 Avversione al rischio 50 i   0.50 Neutralità 25Avversione al rischio 17 i   Neutralità Avversione al rischio 3 i   caso migliore caso peggiore

14 R. Soncini Sessa, MODSS, Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i U

15 R. Soncini Sessa, MODSS, Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i U U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A ,746 0,716 0,626 0,63 Criterio di Laplace corretto: scegliere A * tale che

16 R. Soncini Sessa, MODSS, Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i U U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A ,746 0,716 0,626 0,63 Criterio di Laplace corretto: scegliere A * tale che Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U() e quindi la soluzione. Avversione al rischio U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A

17 R. Soncini Sessa, MODSS, Prestazione Z ij Stati di natura (scenari)  w1w1 w2w2 w3w3 Decisioni (Alternative  politiche) x1x x2x x3x x4x Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i U Avversione al rischio U(i ij ) Stati di natura (scenari)  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U() e quindi la soluzione. Criterio di Laplace corretto: scegliere A * tale che

18 R. Soncini Sessa, MODSS, Prestazione Z ij Stati di natura (scenari)  w1w1 w2w2 w3w3 Decisioni (Alternative  politiche) x1x x2x x3x x4x Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 U(i ij ) Stati di natura (scenari)  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Avversione al rischio e Laplace i U Avversione al rischio e se il Decisore è NEUTRO al rischio? Laplace è un caso limite dell’avversione al rischio: la neutralità: la funzione di utilità è l’identità. U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Decisioni A1A A2A A3A A4A

19 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 i U Avversione al rischio DEBOLE AVVERSIONE NEUTRALITA’ MEDIA AVVERSIONE ELEVATA AVVERSIONE

20 R. Soncini Sessa, MODSS, Teoria delle decisioni Informazione disponibile Decisione in condizione di  certezza  rischio 3.Nessuna  completa incertezza 3.Nessuna Conosciamo l’insieme degli stati di natura, ma non la probabilità del loro accadimento. 2.E’ noto  j (descrizione stocastica) 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà

21 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di completa incertezza: Wald Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Tabella di decisione Criterio di Wald: scegliere A * tale che min(i ij )

22 R. Soncini Sessa, MODSS, Prestazione Z ij Stati di natura (scenari)  w1w1 w2w2 w3w3 Decisioni (Alternative  politiche) x1x x2x x3x x4x Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Avversione al rischio e Wald i U Ai:Ai: Avversione al rischio Avversioni molto forti corrispondono a Wald. U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A min(i ij )

23 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 i U Avversione al rischio DEBOLE AVVERSIONE NEUTRALITA’ MEDIA AVVERSIONE ELEVATA AVVERSIONE WALD

24 R. Soncini Sessa, MODSS, Decisioni in condizioni di completa incertezza: Savage 11 22 33 A1A A2A A3A A4A Criterio di Savage: scegliere A * tale che (minimo rincrescimento) max j (R ij ) 11 22 33 A1A A2A A3A A4A con R ij

25 R. Soncini Sessa, MODSS, Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A A2A A3A A4A Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 i U Avversione al rischio DEBOLE AVVERSIONE NEUTRALITA’ MEDIA AVVERSIONE ELEVATA AVVERSIONE WALD Savage SAVAGE

26 R. Soncini Sessa, MODSS, Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Utilità)

27 R. Soncini Sessa, MODSS, Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri)

28 R. Soncini Sessa, MODSS, Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri) Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore. I criteri più usati sono: Il valore atteso (E)  criterio di Laplace Si adotta quando il decisore è neutro al rischio. Il massimo (max)  criterio di Wald Si adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio. I due criteri possono anche essere usati in cascata. Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore. I criteri più usati sono: Il valore atteso (E)  criterio di Laplace Si adotta quando il decisore è neutro al rischio. Il massimo (max)  criterio di Wald Si adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio. I due criteri possono anche essere usati in cascata.

29 R. Soncini Sessa, MODSS, Definizione di obiettivo Un Obiettivo è definito da un Criterio applicato ad un Indicatore, di cui si specifica il verso di ottimizzazione.

30 R. Soncini Sessa, MODSS, Il Problema di progetto in presenza di casualità (formulazione tramite criteri)

31 R. Soncini Sessa, MODSS, Eventuali altri vincoli Il vincolo è ancora ben posto? E’ cioè tale che il Problema ammetta sempre soluzione? Invaso in corrispondenza del quale inizia l’esondazione.

32 R. Soncini Sessa, MODSS, Se, ad esempio, il disturbo ha distribuzione gaussiana esiste sempre la probabilità che l’invaso del serbatoio sia superiore a qualsiasi s * prefissato il problema di controllo non ammette soluzioni s*s* Distribuzioni illimitate Vincolo mal posto   s 

33 R. Soncini Sessa, MODSS, Trasformare il vincolo in “vincolo in probabilità” Aggiungendo eventualmente un nuovo obiettivo Problema di “affidabilità del sistema”. Pr ( s t 

34 R. Soncini Sessa, MODSS, Trasformare il vincolo in un obiettivo

35 R. Soncini Sessa, MODSS, Distribuzioni limitate Se il disturbo è incerto con insieme di appartenenza  t superiormente limitato Infatti non è a priori detto che tale vincolo comporti la mancanza di soluzioni per il Problema. il vincolo s t < s * è ben posto

36 R. Soncini Sessa, MODSS, Vincoli deterministici imposti su variabili stocastiche Il vincolo può essere ben posto quando in entrambi i membri della disuguaglianza compaiono le medesime variabili stocastiche. Es: Il vincolo è soddisfatto per costruzione. utut Vv stst r t+1 R R t (s t,u t,  t+1 ) V(s t,  t+1 )

37 R. Soncini Sessa, MODSS, Perché i disturbi devono essere bianchi?  t sono indipendenti: processo bianco distribuzione di probabilità congiunta La distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle distribuzioni marginali. Consideriamo il caso senza penale e senza disturbi deterministici per semplificare la notazione. La generalizzazione è facile.

38 R. Soncini Sessa, MODSS, Perché i disturbi devono essere bianchi?  t sono indipendenti: processo bianco La distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.

39 R. Soncini Sessa, MODSS, i è separabile Perché indicatori separabili?

40 R. Soncini Sessa, MODSS, i è separabile Perché indicatori separabili? Le  successive a t+1 non influenzano g t

41 R. Soncini Sessa, MODSS, i è separabile Perché indicatori separabili?  t :distribuzione di probabilità dello stato

42 R. Soncini Sessa, MODSS, i è separabile Perché indicatori separabili? Valore atteso rispetto a stato e controllo

43 R. Soncini Sessa, MODSS, Ricorda! caso discreto densità di probabilità caso continuo Il valore atteso è un operatore lineare. con

44 R. Soncini Sessa, MODSS, Leggere MODSS Cap. 9


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