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18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-051 Prima Settimana Elementi di trigonometria Piana Alcuni sviluppi in serie Un'equazione trascendente La serie.

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1 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-051 Prima Settimana Elementi di trigonometria Piana Alcuni sviluppi in serie Un'equazione trascendente La serie binomiale I triangoli piani Elementi di trigonometria sferica Coordinate polari sferiche e cartesiane Vettori Alcuni esercizi

2 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-052 Elementi di trigonometria piana 1 radiante ≈ 57°.2957795 ≈ 3437’.74677 ≈ 206264”.806 (= R") 1” ≈ 0.000004848 radianti, 1’ ≈ 0.000290888 radianti, 1° ≈ 0.017453292 radianti angolo θ (rad) = θ ”/206264.806 = θ ”/R",θ ” = 206264.806· θ (rad)=R"θ La ragione della differenza tra unità teoriche e pratiche è la seguente: per definizione, il radiante è l’arco uguale al raggio, ed è l'unità da usarsi in tutte le formule teoriche. Tuttavia, la circonferenza non è un multiplo razionale dell’arco, e per eseguire misure con cerchi graduati, o con encoders digitali, ci vorranno sempre unità razionali, per cui conviene suddividere il cerchio in 360° di 60' di 60" ciascuno..

3 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-053 Ore, minuti e secondi come angoli Si faccia attenzione all'uso astronomico ma anche geografico di utilizzare unità di angolo che hanno lo stesso nome di unità di tempo: 24 h = 360° = 2π rad,1h = 15° ≈ 0.26179935 radianti 4 m = 1° ≈ 0.017453292 radianti, 1s = 15”≈ 0.000072722 radianti È solo grazie alla (quasi) regolare rotazione della Terra che gli angoli dei corpi celesti rispetto al meridiano possono essere usati anche per misurare il passare del tempo, ma i due concetti non devono essere confusi!

4 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-054 Alcune formule trigonometriche (da cui seguono in particolare le formule di duplicazione e quelle di bisezione, che si lasciano per esercizio)

5 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-055 Alcuni sviluppi in serie (dove i B 2n sono i numeri di Bernoulli e i è l’unità immaginaria)

6 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-056 Sviluppi inversi Qualunque serie convergente del tipo: si può invertire come: dove:

7 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-057 Sviluppi inversi di sin e tan Da queste formula, vediamo che le differenze prime tra le funzioni sin , tan  e l'arco , sono quantità del terzo grado (e segno opposto), mentre la funzione cos  differisce da 1 per un termine del secondo grado. Dunque, quando gli angoli sono molto piccoli, è legittimo confondere l'arco  con sin  oppure con tan , e con minor precisione porre cos  = 1. Quando poi approssimiamo l'arco  con sin  (oppure con tan  ), la funzione restituisce il valore dell'arco in radianti. Per ottenere secondi d'arco, moltiplichiamo il valore in radianti per R" = 2062064".8. Ad es., se sin  = 0.00141, allora   0.00141x206264".8 = 290".83.

8 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-058 Esempi pratici - 1 Esempio: si voglia determinare il massimo valore di  per cui: Si scriva: Oppure, se il limite delle misure o dei calcoli fosse 0".01, sarà lecito porre  " = R"sin  nella condizione (valida per la tangente e a fortiori per il seno):

9 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-059 Esempi pratici - 2 Si supponga di usare come minimo incremento il valore  = 50” = 0.00024 rad. Il quadrato dell’incremento è  2  = 0.00024x50” = 0”.012 (nota, arcsec, non arcsec quadrati!). Tenendo in considerazione l’ampiezza delle derivate, vediamo che se ci arrestiamo al primo termine otteniamo la funzione con una precisione di pochi centesimi di secondo d’arco; se ci bastasse una precisione di pochi decimi di arcsec, allora potremmo aumentare l’incremento a 150”, e così via. Queste considerazioni sono importanti quando si derivano i valori degli angoli dagli sviluppi in serie delle funzioni trigonometriche. Per esempio, vicino a 0°, l’errore sull’angolo  può essere molto maggiore dell’errore sul cos , mentre vicino a 90°, l’errore sull’angolo  può essere molto maggiore dell’errore sul sin . Un altro esempio importante è il calcolo di uno sviluppo in serie di Taylor usando piccoli incrementi finiti:

10 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0510 Un’importante equazione trascendente Lagrange, usando appunto le espressioni complesse, dimostrò che : Mediante le espressioni complesse delle funzioni trigonometriche, possiamo risolvere l'importante equazione trascendente: Poniamo: (m > 0) (|q| < 1)

11 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0511 Lo sviluppo in serie binomiale - 1 Dato un numero reale qualunque m, si ha: in cui si è usata la notazione abbreviata: e in cui: In particolare:

12 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0512 I triangoli piani - 1 Consideriamo ora un triangolo piano, avente vertici A, B, C, lati a, b, c (perimetro 2s = a+b+c) e angoli opposti ai lati , , . E’ ben noto che : In generale la conoscenza di 3 elementi è sufficiente per trovare gli altri 3, con la notevole eccezione: dati i 3 angoli, i 3 lati non sono univocamente determinati (mentre, dati i 3 lati, i 3 angoli sono univocamente determinati). Cioè la conoscenza di due angoli è sufficiente per determinare il terzo.

13 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0513 I triangoli piani - 2 Utili relazioni sono: (Legge dei seni, in cui R è il raggio del cerchio circoscritto) (Legge del coseno) (legge delle tangenti)

14 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0514 I triangoli piani - 3 è l’area. (note come formule di Brigg), in cui: è il raggio del cerchio inscritto

15 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0515 Una applicazione dello sviluppo in serie binomiale al triangolo piano Riprendiamo la formula del coseno: che scriviamo come: Supponiamo che sia b/c << 1 per cui possiamo trascurare (b/c) 2. Poniamo allora b  cos  = x. Siccome sia a che c sono quantità positive avremo, dallo sviluppo in serie binomiale: che useremo varie volte nel seguito.

16 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0516 Elementi di trigonometria sferica La trigonometria sferica trova le sue origini nel mondo greco, con Ipparco di Nicea (circa 180 B.C.), and poi con Claudio Tolomeo (II secolo D.C.). Nel XIX secolo, Carl F. Gauss mise in forma sistematica le relazioni che verranno qui usate. - La sfera è il luogo, nello spazio 3D cartesiano, dei punti che hanno la stessa distanza R da un dato centro O. - La sua superficie è dunque finita ma illimitata. - Ogni piano passante per il centro definisce sulla sfera un cerchio massimo di raggio R; consideriamo uno di questi come piano equatoriale. La retta passante per O e perpendicolare al piano equatoriale definisce sulla sfera due punti che sono i poli del cerchio massimo. - Poniamo ora R = 1, in modo che l’area sulla superficie si possa esprimere in steradianti, o in unità pratiche gradi quadrati. - L’area di tutta la sfera è allora: 4  sr = 4  (360/2  ) 2 = 129600/  ≈ 41252.96125 gradi quadrati

17 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0517 I triangoli sferici -1 Tre cerchi massimi dividono la sfera in 8 porzioni: chiameremo triangolo sferico quella parte i cui lati sono tutti minori di , cioè quella parte contenuta tutta in un emisfero (N:B: tra 0 e , l’arccos è a valore singolo, l’arcsin no!). Si usa indicare i vertici con le lettere maiuscole A,B,C, e i lati con le lettere minuscole a, b, c corrispondenti al vertice opposto. L'angolo nel vertice A o B o C si indica con la stessa lettera del vertice, ma in corsivo, A, B, C.

18 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0518 I triangoli sferici -2 1.Sulla sfera di raggio unitario, l'arco di cerchio massimo K'H' ha lunghezza pari all'angolo al centro K'OH' oppure all'angolo al polo KPH = K'PH'. 2.Il triangolo sferico è fatto dunque di 3 archi massimi; ad es. HK non è lato di un triangolo sferico, e anzi la distanza tra H e K misurata sul parallelo è sempre maggiore di quella misurata sul cerchio massimo. 3.Un triangolo sferico può avere tutti e tre gli angoli retti; 4.In generale: 0 < a + b + c < 2 ,  < A + B + C <3 

19 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0519 Geodesica sulla sfera Si noti che c’è un solo circolo massimo che colleghi due punti sulla sfera (a meno che i punti non siano diametralmente opposti), ma infiniti cerchi minori; la distanza angolare tra i due punti è allora univocamente definita solo lungo il cerchio massimo, e si può dimostrare che è anzi il percorso di lunghezza minima che li colleghi. Si usa dire allora che l’arco di cerchio massimo è la geodesica tra i due punti sulla sfera, così come la linea retta lo è per due punti nello spazio euclideo.

20 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0520 Relazioni di Gauss e simili permutando le lettere. Dunque, in un triangolo sferico, i 3 lati sono determinati univocamente dai 3 angoli, una proprietà non presente nei triangoli piani. Un altro modo di esprimere lo stesso concetto: non c’è bisogno di uscire dalla superficie della Terra per misurarne la curvatura (e con le opportune modifiche, dall’Universo). (legge dei seni) (legge dei coseni)

21 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0521 Eccesso sferico e area del triangolo In un triangolo sferico, si dice eccesso sferico la quantità: In un generico triangolo sferico si ha la relazione: L’area del triangolo sulla sfera di raggio unitario vale proprio  sr, e quella sulla sfera di raggio R vale: e simili per b and c. nelle stesse unità di R 2.

22 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0522 Triangoli sferici quasi-piani Intuitivamente, quando i lati del triangolo sferico sono molto piccoli in confronto con il raggio della sfera, si può ricorrere alla approssimazione di un triangolo piano, sul piano tangente alla sfera. Per una migliore approssimazione, Legendre ha dimostrato che un piccolissimo triangolo sferico è equivalente a un triangolo piano avente gli stessi lati a, b, c e angoli:

23 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0523 Coordinate cartesiane e polari Nelle applicazioni astronomiche in cui siano note le distanze all'astro useremo sia sistemi di riferimento cartesiani (x, y, z) che sistemi di riferimento polari sferici (r,,  ), a seconda della convenienza. Le trasformazioni da polari a cartesiane sono:

24 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0524 Da cartesiane a polari Le trasformazioni inverse sono: Abbiamo dato anche l'espressioni dei differenziali, che sono utili per valutare sia l'effetto di piccoli incrementi che di errori di misure (e in tal caso conviene usare i moduli per massimizzare la stima dell'errore).

25 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0525 Vettori Il calcolo vettoriale è utilissimo nel caso del Sistema Solare, perché le distanze possono essere accuratamente determinate, ma trova impiego anche in problemi legati alla sfera celeste in generale. Siano i,j,k i vettori unitari lungo (x,y,z); la posizione del punto H sulla sfera unitaria può essere rappresentata dal vettore unitario r H : e con riferimento alle coordinate angolari (,  ) sarà:

26 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0526 Operazioni sui vettori - 1 Proprietà associativa e commutativa della somma: Il prodotto scalare tra due vettori è il numero c dato da : Dati due vettori a, b la loro somma è il vettore c dato da: Il vettore differenza d è:

27 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0527 Operazioni sui vettori - 2 Il prodotto vettoriale è il vettore: Il prodotto vettoriale gode della proprietà associativa, ma non di quella commutativa: Il prodotto vettoriale si usa anche per definire il momento di una forza F: consideriamo un punto qualunque O e una forza F la cui direzione non passi per O. Si conduca da O un vettore r a un punto qualunque lungo la direzione di F. Il momento di F rispetto a O è il vettore K:

28 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0528 Operazioni sui vettori - 3 In Dinamica e in Meccanica Celeste si usa spesso (ma non sempre) indicare le derivate prime e seconde di un vettore nella seguente maniera: Un vettore può essere derivato e integrato:

29 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0529 Operazioni sui vettori - 4 E' importante ricordare che non tutte le entità specificate da un modulo e da una direzione sono vettori bona fide. La legge di composizione e la proprietà commutativa sono anche elementi essenziali per la definizione di vettore. In particolare, rotazioni angolari finite di un corpo rigido non sono vettori, perché non obbediscono alla proprietà commutativa. Tuttavia, rotazioni infinitesime, e dunque anche le velocità angolari, sono davvero vettori. Incontreremo poi vettori r riferiti a un sistema di coordinate ruotante con velocità angolare  rispetto a un riferimento inerziale. La derivata totale di r rispetto agli assi inerziali sarà:

30 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0530 Esempio: il movimento del centro del Sole rispetto al baricentro B del sistema solare Dunque all’epoca presente il baricentro B del sistema solare è apprezzabilmente esterno al disco del Sole. Il pianeta di gran lunga dominante in queste considerazioni è Giove, la cui massa è circa 1/1000 della massa del Sole. Intervengono poi Saturno, Venere, la Terra, e gli altri pianeti. Questo esempio verrà illustrato con maggior dettaglio in seguito, ma qui si vuole dare un'idea delle distanze coinvolte. Si ricordino i seguenti valori approssimati: - il raggio del Sole è 7x10 5 km. - 1 Unità Astronomica è pari a 1.5x10 8 km = 200 raggi solari.

31 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0531 Che trasformazioni applicare? Come si è accennato, le trasformazioni tra i vari sistemi di riferimento che tra poco introdurremo sono delle roto-traslazioni rigide. Ne vedremo vari esempi. Tuttavia, nelle trasformazioni tra riferimenti in moto relativo può intervenire la velocità finita della luce a alterare le direzioni apparenti degli astri. Quando poi dovremo trasformare sistemi di riferimento di velocità e di accelerazione (derivate prime e seconde delle posizioni rispetto al tempo), sorgerà una ulteriore difficoltà: - le derivate vanno fatte rispetto al tempo, e allora quale tempo si deve usare? Ne daremo varie definizioni operative. Approfondiremo questi concetti dopo aver trattato i vari sistemi di riferimento.

32 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0532 Esercizio svolto nr. 1 Area del triangolo sferico per 3 stelle Le coordinate di 3 stelle in un generico riferimento sferico sono: ( ,  ) A = (0°, 0°), ( ,  ) B = (1°, 0°), ( ,  ) C = (1°, 1°) Ricavare gli elementi e l’area del triangolo. Ripetere l’esercizio se le coordinate sono: ( ,  ) A = (0°, 0°), ( ,  ) B = (15°, 0°), ( ,  ) C = (15°, 45°) Nel primo caso, il triangolo ha lati sufficientemente piccoli da potersi considerare piano, con angolo retto nel secondo vertice. Pertanto l’area sarà A = ½ gradi quadrati = 1.2x10 -5 sr. Nel secondo caso invece, il triangolo deve essere considerato completamente sferico. Due lati valgono rispettivamente a = 15° e b = 45°, mentre l’angolo in B è retto. Ricaviamo il lato c che passa per A e per C: c = 46°.9205, sin c = 0.703406 Dalla formula dei seni: B = 75°.489 A = 20°.754 Vediamo facilmente che l’eccesso sferico è pari a  = 6°.24, cioè l’area è pari a:  /180 = 0.109 sr.

33 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0533 Esercizio svolto nr. 2 Completiamo l’esercizio calcolando l’area del triangolo sferico per A, B e il polo. In tal caso il lato b e il lato c divengono di 90°, come pure gli angoli A e B. L’angolo al polo è 15°, per cui l’area del triangolo sferico sta all’area della semi-volta celeste come 15/360 = 0.04, e dunque l’area vale 0.04x2  = 0.262 sr. Da un altro punto di vista, se dividiamo la sfera in 24 fusi orari, ciascun fuso ha un’area di 4  /24 = 0.524 sr, e dunque il triangolo dall’equatore verso il Polo ha metà di questo. Per differenza ricaviamo anche che l’area PAC vale 0.262 – 0.109 = 0.153 sr. Lo si dimostri direttamente.

34 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0534 Esercizio svolto nr. 3 ricordiamo gli sviluppi in serie di sen e tan: Quando l’arco a e' piccolo, l'errore commesso confondendo il seno con l'arco e' inferiore al primo termine trascurato, cioè a quello in a 3 ; nel caso della tangente e' un po' superiore al doppio di quello commesso per il seno, e in senso contrario (il termine in a 5 supera 0".01 solo a circa 5°). Calcoliamo il valore massimo che si può dare ad a affinché l'errore sia inferiore a un limite prefissato, mettiamo 1". Si avrà: Quando si può confondere l'arco con il suo seno, quest'ultima funzione restituisce il valore dell'angolo in radianti. Per convertirlo in secondi d'arco lo si moltiplica per 2062064".8. Se ad es. sena = 0.00141, se ne conclude che a = 0.00141x206264".8 = 290".83. Dunque si ha:

35 18/04/2005C. Barbieri Astronomia I AA2004-0535 Alcuni esercizi per casa 1.la Luna ha parallasse media di 3422".70, si esprima il seno della parallasse in secondi d'arco arrestandosi al secondo termine. 2.sia sulla superficie terrestre a = 5000 m, b = 3000 m,  = 40°.5. Si trovino gli altri elementi del triangolo. 3.Dato il rettangolo piano con vertici A, B sulla superficie della terra, di lato c = 100.0 km e angoli ad esso adiacenti  = 87°,  = 88°, si vogliano gli altri elementi del triangolo; in questo caso, il lato c e' da intendersi come corda passante per i due vertici di base, mentre il vertice C puo' essere un satellite. 4.Discutiamo in 2) gli effetti degli errori di misura, supponendo che l'errore su c sia di 0.1 km, e quelli sugli angoli ,  di 1' 5.Si discuta la propagazione degli errori con il tendere di ,  entrambi verso 90°


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