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GEOmetria DEScrittiva DINamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge DEFINIZIONI INSIEMISTICA, DINAMICA E DESCRITTIVA DEGLI.

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2 GEOmetria DEScrittiva DINamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge DEFINIZIONI INSIEMISTICA, DINAMICA E DESCRITTIVA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI PUNTO, RETTA, PIANO Prof. Elio Fragassi Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1992/93 da Vanina Facciolà della classe 5°A dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva” IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

3 Gli elementi geometrici fondamentali Punto,Retta,Piano (1) L’ambiente in cui viviamo, sia naturale che artificiale, è costituito da elementi e forme fisiche che hanno consistenza bidimensionale e/o tridimensionale; esse possono essere ricondotte, comunque, a forme geometriche elementari sia solide che piane. Per fare questo è necessario scomporre ogni elemento negli enti fondamentali: punto, retta e piano. Ambiente Scomposizione Le foto sono state estratte da “Ville e Giardini” nn° 269 – 280 –Editore Elemond s.p.a. Milano

4 Le forme geometriche fondamentali, infatti, si compongono ed articolano nello spazio in modo vario e diverso dando vita ad elementi più o meno complessi che costituiscono l'ambiente e caratterizzano il luogo ove si collocano, sia per generazione naturale che per produzione manuale ed artificiale. Gli elementi geometrici fondamentali Punto,Retta,Piano (2) Questa operazione di scomposizione ci dà l'opportunità di individuare le leggi e le strutture elementari, ma fondamentali, delle figure e delle forme geometriche che, poi, trattate sulla superficie definiscono l'ambiente e caratterizzano il luogo fisico ove si collocano. Riveste perciò particolare importanza acquisire la capacità di leggere ed analizzare gli elementi che ci circondano per ricondurli a figure geometriche piane e/o forme geometriche solide. Operata questa prima lettura globale è possibile analizzare le forme individuate scomponendole negli elementi geometrici primari.

5 Aspetto dinamico degli elementi fondamentali della geometria descrittiva Se pensiamo alle forme ed alle figurazioni geometriche non come oggetti ed elementi finiti, definiti e conclusi, ma come risultanti di articolazioni spaziali in divenire degli elementi fondamentali, è necessario immaginare una descrizione dinamica della geometria e delle relative forme e figurazioni che si definiscono in una elaborazione dinamica e rispondono a precise e definite leggi ed operazioni geometrico-descrittive. Per questo, gli appunti che seguono, definiscono anzitutto gli elementi della geometria descrittiva nel loro aspetto dinamico con origine dall'ente principale: il "punto" per passare, poi, all’insieme "retta" ed ai suoi sottoinsiemi per arrivare alla definizione degli insiemi "piano” e semipiano, ciascuno con le specifiche caratteristiche insiemistiche-dinamico- descrittive (fig.01). Pertanto, costituiscono, in sintesi, gli elementi di base di tutte le forme geometriche che definiscono l'ambiente in cui viviamo. PUNTO, RETTA e PIANO

6 Codifica e decodifica degli elementi geometrici Per questo, volendo descrivere graficamente, con linguaggio geometrico, gli elementi che determinano l'ambiente è necessario acquisire capacità di lettura delle immagini per conoscere, bene, (Fig.02, Fig.03, Fig. 04) sia gli elementi geometrici singoli che gli insiemi costituitisi, che le leggi mediante le quali gli stessi si articolano e si compongono in insiemi di figure e forme geometriche (codifica) che le operazioni grafiche per mezzo delle quali è possibile la lettura e la descrizione (decodifica) dinamica degli stessi.

7 Dall'analisi degli elementi alla sintesi della forma Su quanto considerato si innesta la necessità di definire alcune considerazioni per ragionare di dinamicità nella rappresentazione geometrica in modo da poter passare da una descrizione geometrica statica ad una elaborazione descrittiva dinamica mediante la ricerca, lo studio, l'applicazione, la lettura, la composizione e la definizione di processi creativi fondati su elementi geometrici che si compongono, nel tempo e nello spazio, sulla base di leggi insiemistiche-geometrico-descrittive che fanno riferimento ai concetti di una L’oggetto rappresentato (Fig.05) è stato ottenuto componendo, nello spazio e nel tempo, mediante un processo elaborativo mentale e pratico, gli elementi geometrici analizzati nella pagina precedente: un pentagono, un rombo e un rettangolo. Queste sono figure piane delimitate da un perimetro chiuso costituito da lati che, geometricamente, sono segmenti di rette complanari; mentre le rette, intersecandosi, generano i vertici che, dal punto di vista geometrico, sono punti. Questa immagine, pur se complessa, può essere scomposta negli elementi geometrici primari delle precedenti figure 02, 03, 04: Punto, Retta, Piano. GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Infatti: I VERTICI possono essere riguardati come PUNTI. Gli SPIGOLI possono essere riguardati come segmenti di RETTE. Le FACCE possono essere riguardate come porzioni di PIANI. Così operando la figurazione risultante rappresenta la sintesi di un processo elaborativo e descrittivo che integra, in continuo, nel suo divenire, concetti teorici geometrici ed insiemistici, acquisizioni metodologiche ed elaborazioni grafiche tra elementi aventi caratteristiche comuni.

8 Alcuni esempi di punto geometrico Il punto geometrico ENTE GEOMETRICO ADIMENSIONALE Perché deve essere inteso come qualcosa che esiste concettualmente Perché riferito, in modo specifico al campo della geometria Perché privo di ogni dimensione: altezza, lunghezza, larghezza, peso,

9 Caratteristiche fisiche: punto reale e punto improprio Punto reale : Ente geometrico collocato nello spazio finito Punto improprio : Ente geometrico collocato nello spazio infinito Contraddistinguiamo, pertanto, il "punto reale" (Fig.14) come l'elemento geometrico primario collocato nello spazio finito di un determinato luogo geometrico e lo indichiamo, sia nei disegni e nelle figure, che nello scritto di questi appunti, con le lettere maiuscole dell'alfabeto A, B, C, D Caratterizziamo, invece, il "punto improprio" (Fig.15) come l'ente geometrico primario collocato in un luogo dello spazio infinito, e lo indichiamo, sia nei disegni che nelle figure, che nello scritto di questi appunti con le annotazioni, come di seguito: A , B , C , D ,.... Ampliando l'ambito operativo dello spazio geometrico-descrittivo con il concetto di infinito  ) il punto può caratterizzarsi come "ente reale" o "ente improprio" a seconda che la sua ubicazione spaziale sia riconducibile all'interno di un luogo geometrico; finito e reale, oppure in un luogo geometrico dello spazio infinito

10 La linea Tra le forme geometriche di terza specie, di norma, vi si colloca il cosiddetto " spazio di punti " o " spazio punteggiato ”, intendendo con esso il luogo geometrico costituito da tutti i punti dello spazio fisico tridimensionale. Se immaginiamo questo "spazio di punti" non statico ma dinamico, allora vuol dire che ogni punto può muoversi liberamente, occupando, istante per istante, posizioni diverse all'interno di un luogo o di un ambito definito. Sulla base di questa presupposizione, un punto in movimento nello spazio descrive, con il suo spostarsi, una linea l. Linea curva (fig.16) Linea spezzata (fig.17) Linea mista (fig.18) Linea retta (fig.19)

11 La linea: caratterizzazione dinamica ed insiemistica Ogni punto in movimento casuale nello spazio implica l’esistenza di una ed una sola linea l Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni punto in movimento nello spazio si può associare una linea, che assume, a seconda del percorso che descrive una specifica caratterizzazione con relativa denominazione (Fig.20). Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni punto in movimento nello spazio si può associare una linea, che assume, a seconda del percorso che descrive una specifica caratterizzazione con relativa denominazione (Fig.20). Dal punto di vista geometrico e dinamico- descrittivo possiamo riassumere il concetto di cui sopra con la seguente espressione insiemistica:  = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).  = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). P = Punto in movimento casuale.  = Appartiene W = Spazio  = Implicazione logica.  = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). l = Linea generata da un punto dinamico. | = Quantificatore insiemistico universale (tale che). Legenda dei simboli

12 La linea: caratterizzazione spaziale e descrittiva La linea geometrica-dinamica è costituita dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove casualmente nello spazio bidimensionale e/o tridimensionale Dalle considerazioni dinamiche e dalle esemplificazioni grafiche di cui sopra possiamo dedurre quanto di seguito. Se il punto P si muove, nello spazio, in modo casuale, si può affermare che esso descrive una linea che può caratterizzarsi come quella della fig. 21 e configurarsi come "linea sghemba" (se il punto, nel movimento, occupa un luogo geometrico tridimensionale), o come "linea piana" (Fig.22) (se il punto, nello spostarsi occupa un luogo geometrico piano). Pertanto, nell'uno o nell'altro caso, si può concludere, sintetizzando il concetto con la seguente formalizzazione dinamico-descrittiva della linea l. l = Linea l generata da un punto P in movimento casuale. S = Sommatoria delle posizioni di P in movimento casuale. -  +  = Estremi impropri della sommatoria. {P} = Insieme delle posizioni del punto geometrico in movimento casuale.

13 La linea: caratterizzazione spaziale e descrittiva (2) Volendo estendere la natura dinamico-descrittiva del punto quale ente generatore primario e fondamentale della geometria in generale e della geometria descrittiva in particolare, si può enunciare, come di seguito, la proprietà principale dell'elemento "linea" della "Geometria Descrittiva Dinamica" In uno spazio geometrico punteggiato, per ogni punto in movimento casuale, si genera un insieme, non vuoto, chiamato "linea" costituito dalla sommatoria, estesa da -  a , dell’insieme di tutte le posizioni del punto P in movimento casuale nella spazio bidimensionale e/o tridimensionale. Ogni punto in movimento casuale implica l’esistenza di uno ed un solo insieme linea costituito dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni del punto P in movimento nello spazio La formalizzazione sintetica insiemistica-dinamico-descrittiva assume, pertanto, il seguente aspetto. dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito

14 La linea retta: caratteristiche geometriche e descrittive Se il punto P si muove nello spazio secondo una direzione unica e definita, allora si dirà che il punto è in "movimento orientato" (Fig.23). In questo caso la linea l sarà contenuta da un piano (fig.24) assumendo il nome di "linea retta", che per facilità di esposizione si indicherà semplicemente con il termine "retta". Didascalicamente, verrà indicata, sia nei disegni che nelle figure che negli scritti dei seguenti appunti, con le lettere minuscole dell'alfabeto: esempio a, b, c, d,... La caratterizzazione descrittiva ed insiemistica verrà definita nelle pagine successive.Come il punto, anche la retta può essere un elemento geometrico reale oppure un elemento geometrico improprio.La retta sarà un elemento reale quando il suo campo di esistenza ricade in un luogo geometrico reale; viceversa sarà un elemento geometrico improprio quando il suo campo di esistenza ricade in un logo geometrico improprio come ad esempio nel caso di retta intersezione tra due piani paralleli. Le didascalie sono le seguenti: rette reali = a, b, c, d,... rette improprie = a , b , c , d ,...

15 Formalizzazione delle caratteristiche geometrico- descrittive La retta r è costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove secondo una direzione stabilita nello spazio. dove: r = Linea retta { } = Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato. = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio. -  ;+  = Estremi impropri della sommatoria. Quanto sopra può applicarsi ad ogni punto riguardato in senso dinamico per cui, poiché nello spazio i punti sono infiniti e le direzioni sono anch'esse infinite, possiamo sintetizzare, per la retta, la seguente espressione insiemistica:  = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). = Punto in movimento definito ed orientato.  = Appartiene W = Spazio  = Implicazione logica.  ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). r = Linea retta | = Quantificatore insiemistico universale (Tale che). Per ogni punto in movimento definito ed orientato nello spazio, esiste una ed una sola retta che si legge

16 Formalizzazione delle caratteristiche geometrico- descrittive (2) Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemistico- geometrico-descrittiva della retta come di seguito, la cui formalizzazione sintetica assume la seguente forma Ogni punto in movimento orientato implica l’esistenza di una ed una sola linea che assume il nome di “retta” r ed è costituita dalla sommatoria orientata, estesa da - - a + +, dell'insieme costituito dalle posizioni del punto P in movimento orientato e definito nello spazio dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito.

17 Sulla base delle considerazioni sviluppate, dato uno spazio, sia piano che solido, per definire, univocamente, una retta possiamo utilizzare due metodi, a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive. La definizione geometrica classica postula che una retta è tale, ed univocamente definita, quando coincide con la linea che passa per due punti distinti con il minore sviluppo (Fig.25). Per cui dati due punti A e B si possono tracciare infinite linee che passano per essi ma una, ed una sola linea retta. Se i due punti, pur diversi, coincidono A º B siamo, fisicamente, in presenza di un unico punto e pertanto per un punto possono passare infinite rette complanari determinando un fascio di rete, oppure infinite rette dello spazio determinando una stella di rete. Elementi necessari alla definizione della retta Se consideriamo l’aspetto dinamico della geometria e quindi la retta come elemento generato da un punto in movimento orientato, sarà sufficiente definire un solo punto P ed una direzione d per determinare univocamente una ed una sola retta (Fig. 26). Date infatti le infinite direzioni esistenti nello spazio e/o sul piano, se si assegna una determinata direzione d di spostamento ad un punto P, ci sarà solo una retta che con quella direzione assegnata passerà per il punto P dato. Concludendo, per definire descrittivamente una retta possiamo utilizzare, a secondo dei casi, uno dei seguenti metodi: a) retta passante per due punti distinti e non coincidenti. b) retta passante per un punto secondo una direzione assegnata.

18 Continua con Semiretta Segmento Superficie Piano rigato Piano punteggiato Semipiano Gli elementi geometrici di cui sopra sono stati omessi dalla trattazione

19 Abaco delle formalizzazioni Elementi geometrici EspressioniFormalizzazioni Linea l punteggiata Insiemistica Descrittiva Insiemistico- descrittiva Elementi geometrici EspressioniFormalizzazioni Retta r punteggiata Insiemistica Descrittiva Insiemistico- descrittiva


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