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4/25/2015E. Giovannetti -- OI09.1 Olimpiadi di Informatica 2010 Giornate preparatorie Dipartimento di Informatica Università di Torino marzo 2010 9 – Grafi.

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1 4/25/2015E. Giovannetti -- OI09.1 Olimpiadi di Informatica 2010 Giornate preparatorie Dipartimento di Informatica Università di Torino marzo – Grafi e algoritmi sui grafi: introduzione. (versione 25/04/2015)

2 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.402 Eulero: il problema dei ponti di Königsberg (la città del filosofo Kant, in Prussia; oggi Kaliningrad, in Russia) A B C D A B C D È possibile partire da A e ritornare in A attraversando tutti i ponti esattamente una volta? Eulero dimostrò che no, dando con ciò inizio alla Teoria dei Grafi.

3 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.403 Definizioni preliminari

4 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.404 Che cos'è un grafo ? Definizioni. Un grafo (semplice) G = (V, E) è costituito da: un insieme V di nodi (o vertici, ingl. vertices, sing. vertex); un insieme E di archi (o spigoli, ingl. edges), ognuno dei quali è (costituito da) una coppia di nodi distinti, detti estremi dell’arco. Vi sono due generi di grafi: non orientati (undirected): gli archi non hanno un verso, cioè, formalmente, sono coppie non ordinate; orientati (directed): gli archi hanno ciascuno un verso, cioè sono coppie ordinate; i due estremi sono detti: nodo uscente o coda: è il primo elemento della coppia; nodo entrante o testa: è il secondo elemento della coppia.

5 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.405 Esempio: grafo non orientato V = {A, B, C, D, E, F} E = {{A,B}, {A,D}, {B,C}, {C,D}, {C,E}, {D,E}} A B C D E F (B, C) e (C, B) denotano lo stesso arco, che in realtà è l'insieme {B, C}  {C, B}

6 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.406 Esempio: multigrafo. A B C D E F non possono esistere archi distinti con gli stessi estremi NO ! un “grafo” in cui sono permessi archi distinti con gli stessi estremi è un multigrafo

7 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.407 Esempio: grafo orientato A B C F V = {A, B, C, D, E, F} E ={(A,B), (A,D), (B,C), (C,B), (D,C), (E,C), (D,E)} D E (B,C) e (C,B) denotano due archi fra loro distinti coda testa A è la coda dell’arco (A,D) D è la testa dell’arco (A,D) D è la coda dell’arco (D,E) ecc.

8 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.408 Esempio: multi-grafo orientato A B C D E F ma non possono esistere archi distinti con la stessa coda e la stessa testa NO ! un “grafo orientato” in cui sono permessi archi distinti con la stessa coda e la stessa testa è un multigrafo orientato.

9 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.409 Grafi non orientati: terminologia. l'arco {A, B} è incidente sui nodi A e B; i nodi A e B sono adiacenti: A è adiacente a B, B è adiacente ad A; i nodi adiacenti a un nodo A si chiamano anche i vicini di A; grado di un nodo = numero degli archi incidenti sul nodo; esempio: il nodo B ha grado  (B) = 3; AB B

10 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4010 Grafi orientati: terminologia. l'arco {A, B} è: incidente sui nodi A e B, uscente da A, entrante in B; il nodo B è adiacente ad A, ma A non è adiacente a B. i nodi adiacenti a un nodo A si chiamano anche i vicini di A; grado di un nodo = numero degli archi incidenti sul nodo; grado uscente = numero degli archi uscenti dal nodo; grado entrante = numero degli archi entranti nel nodo; esempio: il nodo B ha: grado uscente  out (B) = 1, grado entrante  in (B) = 2, grado totale  (B) =  out (B) +  in (B) = 3, AB

11 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4011 Grafi: terminologia (sommario) sottografo di un grafo G = grafo che si ottiene da G non considerando degli archi, e/o non considerando dei nodi né gli archi incidenti su di essi. A B C F DE A B C F D

12 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4012 Grafi: terminologia (sommario) sottografo di un grafo G = grafo che si ottiene da G non considerando degli archi, e/o non considerando dei nodi né gli archi incidenti su di essi. A C D A C D

13 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4013 Grafi: terminologia (sommario) sottografo indotto da un insieme di nodi: dato un grafo G, il sottografo indotto da un sottoinsieme V' di nodi di G è il sottografo di G costituito dai nodi di V' e dagli archi di G che connettono tali nodi. Esempio: nel grafo sottostante, il sottografo indotto dall'insieme di nodi {A, C, D} è: A B C F DE A B C F D

14 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4014 Grafi: terminologia (sommario) sottografo indotto da un insieme di nodi: dato un grafo G, il sottografo indotto da un sottoinsieme V' di nodi di G è il sottografo di G costituito dai nodi di V' e dagli archi di G che connettono tali nodi. Esempio: nel grafo sottostante, il sottografo indotto dall'insieme di nodi {A, C, D} è: A C D A C D

15 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4015 Sia G = (V, E) un grafo. Un cammino nel grafo è una sequenza di nodi tale che (w i, w i+1 )  E per 1  i  n–1. Definizione con esempio A B C F D E A B C F D E Es.  A, B, C, E  è un cammino nel grafo

16 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4016 A B C F D E Es. la lunghezza del cammino  A, B, C, E  è 3. Il cammino contiene i vertici w 1, w 2,…, w n e gli archi (w 1,w 2 ) (w 2,w 3 )...(w n-1,w n ). La lunghezza del cammino è il numero totale di archi che collegano i vertici della sequenza (uno in meno del numero di vertici).

17 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4017 Definizione con esempio Se esiste un cammino p tra i vertici v e w, si dice che w è raggiungibile da v tramite p Es.: A è raggiungibile da D e viceversa A B C F D E

18 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4018 A B C F D E Es.: D è raggiungibile da A ma non viceversa

19 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4019 Se G è un grafo non orientato, definiamo G connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice. Ad es. questo grafo non orientato è connesso. A B C F D E A B C F D E Definizione con esempio

20 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4020 A B C F D E A B C F D E Questo grafo non orientato NON è connesso. Esempio G

21 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4021 Se G è un grafo orientato, definiamo G fortemente connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice. Definizione con esempio Ad es. questo grafo orientato è fortemente connesso. A B C F D E A B C F D E

22 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4022 A B C F D E Esempio A B C F D E Ad es. questo grafo orientato NON è fortemente connesso. Infatti, non esiste cammino da C a B, né da E ad A, ecc. Tuttavia è debolmente connesso.

23 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4023 Un ciclo in un grafo è un cammino  w 1, w 2, …, w n  di lunghezza almeno 1, tale che w 1 = w n. Definizione il cammino  A, B, C, E, D, A  è un ciclo; A B C F D E A B C F D E

24 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4024 grafo aciclico = grafo senza cicli Definizione con esempio Ad es. questo grafo orientato non è aciclico, … A B C F D E A B C F D E

25 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4025 Un grafo orientato aciclico è spesso chiamato DAG (Directed Acyclic Graph). A B C F D E

26 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4026 A B C F D E – Definizione con esempio. grafo pesato: ad ogni arco è associato un peso, costituito da un numero reale.

27 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4027 Rappresentazione La rappresentazione più comoda è tramite liste di adiacenza: per ogni nodo si tiene la lista dei nodi ad esso adiacenti. Se gli N nodi di un grafo sono rappresentati dagli interi da 0 a N-1, il grafo può essere realizzato come un vettore di vettori, ad esempio: grado

28 Rappresentazione In molti esercizi la struttura-grafo è data implicitamente dalla struttura-dati caratteristica del problema e non deve essere costruita esplicitamente. 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4028

29 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4129 Visita di grafi e algoritmi sui grafi (sommario) visita in ampiezza (iterativa con uso di coda); su grafi pesati: cammini minimi da un nodo: algoritmo di Dijkstra (uso di coda con priorità); minimo albero di copertura: algoritmo di Prim (uso di coda con priorità); minimo albero di copertura: algoritmo di Kruskal (uso di struttura union-find); visita in profondità (iterativa con uso di pila, o ricorsiva); ordinamento topologico; componenti fortemente connesse.

30 Albero di visita Durante la visita di un grafo si costruisce implicitamente un albero, detto albero di visita. Se richiesto dall’applicazione, tale costruzione può essere effettuata esplicitamente (nei problemi olimpici di solito non è necessaria). 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4030

31 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4131 Visita in profondità ricorsiva. Come negli alberi, la visita in profondità si può realizzare molto semplicemente in modo ricorsivo. Occorre però marcare i nodi che vengono visitati. visitaInProfondità (il grafo G a partire dal nodo s) { marca tutti i nodi di G come non visitati; T = albero vuoto; visitaRic(s); } // la procedura visita il sottografo di G connesso con s. visitaRic (dal nodo u) { inizia_visita(u); marca u come visitato; for each (nodo v adiacente a u) if (v è non visitato) { aggiungi v come figlio di u nell’albero T; visitaRic(v); } termina_visita(u); }

32 Visita di tutto il grafo Se il grafo non è connesso, la procedura precedente non visita i sottografi non connessi con il nodo di partenza. La visita di tutto il grafo si ottiene semplicemente iterando la visita ricorsiva sui nodi di partenza non ancora visitati: visitaTutti(grafo G) { marca tutti i nodi di G come non visitati; T = foresta vuota; for each (nodo u del grafo G) if (u è non visitato) visit(G, u); } 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.4032


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