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L A CORRELAZIONE 1. È lo studio della relazione di due variabili misurate su scala a intervalli Il coefficiente di correlazione è la misura descrittiva.

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1 L A CORRELAZIONE 1

2 È lo studio della relazione di due variabili misurate su scala a intervalli Il coefficiente di correlazione è la misura descrittiva di tale relazione, che varia fra -1 (relazione perfetta negativa) a +1(relazione perfetta positiva), passando per lo zero (assenza di correlazione lineare). 2

3 La relazione positiva indica che all’aumentare di una aumenta anche l’altra, (per esempio, atteggiamento conservatore e autoritarismo, oppure test di abilità cognitiva e medie di voti scolastici) mentre la relazione negativa indica che all’aumentare dell’una l’altra diminuisce, (per esempio età cronologia e test di memoria)

4 Osserviamo in un grafico, detto diagramma di dispersione, alcuni casi possibili di correlazione, usando due variabili standardizzate.

5 C ORRELAZIONE POSITIVA 5 È possibile tracciare una retta che passi vicino a molti punti corrispondenti alle osservazioni compiute (ovvero che approssimi bene i punteggi). La retta passerà nel primo e terzo quadrante degli assi cartesiani.

6 C ORRELAZIONE NEGATIVA 6 È possibile tracciare una retta che passi vicino a molti punti corrispondenti alle osservazioni compiute (ovvero che approssimi bene i punteggi). La retta passerà nel secondo e quarto quadrante degli assi cartesiani.

7 * P ERCHÉ LE RETTE SONO INCLINATE IN QUESTO MODO ? Proviamo a moltiplicare tra loro i segni delle variabili dipendente e indipendente nei vari quadranti: = = = = correlazione positiva - correlazione negativa

8 A SSENZA DI CORRELAZIONE 8 Non è possibile tracciare una retta che passi molto vicino ai punti corrispondenti alle osservazioni compiute (ovvero che approssimi bene i punteggi). I punti sono sparsi più o meno equamente nei quattro quadranti degli assi cartesiani.

9 C ORRELAZIONE NON LINEARE ( CURVILINEARE ) 9 Per approssimare in modo adeguato i punteggi occorre tracciare non una retta, come negli esempi precedenti, ma una curva. Questo esempio di correlazione non sarà trattato.

10 C OME QUANTIFICARE QUESTA RELAZIONE ? Con la media dei prodotti dei punti zeta 10 r xy = coefficiente di correlazione di Bravais - Pearson z xi = punteggio standardizzato relativo alla variabile indipendente x ottenuto da un soggetto i z yi = punteggio standardizzato relativo alla variabile dipendente y ottenuto da un soggetto i N = numerosità del campione

11 11 T RASFORMAZIONE IN PUNTI ZETA soggetto test K scarto dalla media quadrato dello scarto quadrato del punteggio punto zeta (*) Anna 1 -3,411,561-1,247 Brigida 2 -2,45,764-0,880 Carlo 4 -0,40,1616-0,147 Delia 7 2,66,76490,953 Enrico 8 3,612,96641,320 somma ,21340 media 4,4 07,4426,80 varianza 7,44 [ trovato con ( 26,8 – (4,4) 2 ] dev stand 2,728 (*) z= (grezzo - media)/dev. stand.

12 R ETTA DI TRASFORMAZIONE DEI PUNTI ZETA E DEGLI SCARTI DALLA MEDIA 12

13 E SEMPIO DI CALCOLO soggettoTest R punto zeta R [z x ] Test Q punto zeta Q [z y ] Prodotto [z x · z y ] Anna 1-1,2591,53-1,91 Brigida 2-0,8870,77-0,67 Carlo 4-0,152-1,150,17 Delia 70,954-0,38-0,37 Enrico 81,323-0,77-1,01 somma ,80 media 4, ,76 varianza7,4416,81 dev stand2,7312,611 [correlazione= sommatoria(z x · z y )/ N] 13

14 C ARATTERISTICHE DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE DI B RAVAIS -P EARSON (r xy ) Varia fra -1 (correlazione negativa perfetta) e +1 (correlazione positiva perfetta). Se r = 0 : correlazione lineare assente. Indice standardizzato, e non una misura, quindi senza dimensione. 14

15 C ALCOLO DEL COEFFICIENTE R USANDO I DATI GREZZI soggetto Test R Quadrato di R Prodotto di R · QTest Q Quadrato di Q Anna Brigida Carlo Delia Enrico somma media 4,426,816,6532 varianza 7,446,8 dev. stand. 2,7282,608 15

16 Dall’esempio precedente: ΣX=22ΣX 2 =134 ΣY=25ΣY 2 =159 ΣXY=83 N = 5 Quindi, applicando la formula, troverò: F ORMULA CHE USA LE CINQUE SOMME 16

17 Coefficienti di correlazione e grafici corrispondenti

18 Il coefficiente di determinazione Il quadrato del coefficiente di correlazione (r2) indica la quota di varianza comune fra le due variabili. Se moltiplicato per 100, indica la percentuale di varianza comune fra le due variabili. Esempio: r xy =-50, r 2 xy = 0,25 = 25 % varianza comune

19 Valori di r e interpretazione possibile I coefficienti di correlazione in psicologia sono suscettibili di questa interpretazione <0,30Inifluente, importante solo per ragioni teoriche 0,30basso 0,40dicreto 0,50,-0,60Buono o molto buono 0,70Eccellente,80Fantastico, 0,90sospetto 0,9 - 0,99Stessa variabili, correlazione fra somme delle stesse variabili

20 V ARIABILITÀ DI R Ecco 100 estrazioni di coppie di dati casuali, presentati come istogrammi. 20

21 A LTRI COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE Coefficiente punto-biseriale Coefficiente fi (φ) Sono strettamente equivalenti al coefficiente di correlazione prodotto- momento di Bravais-Pearson. Si usano quando una (pb) o entrambe (fi) le misurazioni sono dicotomiche. La differenza di nome e di formula aveva senso quando era importante disporre di forme abbreviate di calcolo. Non c’è nessuna differenza nei risultati se non la formula e il nome. 21

22 A LTRI COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE Quando una o entrambe le variabili sono dicotomiche, ma presuppongono una distribuzione continua e normale (es: accordo per un item) si usano i coefficienti: Biseriale Tetracorico (entrambe dicotomiche). 22

23 I L COEFFICIENTE POLICORICO Si usa con le variabili continue che presuppongono una partizione in più parti (non solo in due come per il c. tetracorico), tipica degli item di un questionario. Si usa generalmente nei programmi di modellistica strutturale (SEM, LISREL). Richiede molte centinaia di casi per il calcolo 23


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