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Parabola Dato un punto F del piano ed una retta d F d si dice parabola parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d.

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Presentazione sul tema: "Parabola Dato un punto F del piano ed una retta d F d si dice parabola parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d."— Transcript della presentazione:

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2 Parabola Dato un punto F del piano ed una retta d F d si dice parabola parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d

3 Animazione : clicca sull’immagine Animazione : clicca sull’immagine Parabola punto per punto

4 fuoco F direttrice Ogni punto è determinato dall’eguaglianza fra le distanze punto-retta punto-fuoco Per ogni punto il valore delle distanze(=raggio) è diversa, tranne che...

5 V vertice F fuoco Asse di simmetria L’insieme dei punti (parabola) ha un punto particolare detto vertice è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria

6 Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano Se nel piano inseriamo un sistema di assi cartesiani si ha la rappresentazione a fianco della parabola. Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno con le sue coordinate, l’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y F V

7 I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice Animazione : clicca sull’immagine Animazione : clicca sull’immagine

8 Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse per posizione... Animazione : clicca sull’immagine Animazione : clicca sull’immagine

9 ... e per ampiezza Animazione : clicca sull’immagine

10 I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione F P

11 Equazione generica della parabola a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse x Per approfondimenti vedere scheda a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse y Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y

12 Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole : Esercizio 2 Variazione dei grafici al variare dei coefficienti a,b,c  R Esercizio 1

13 a>0 a<0 Concavità Si ottengono i grafici Esercizio 2 Esercizio 1

14 Esercizio 3Esercizio 4 Vertice Al variare di aa aa e b varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate : Per approfondimenti vedere scheda

15 c Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato Esercizio 5

16 Intersezioni con gli assi Esercizio 6

17 Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema Y = 0 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema x = 0 P(0,c) Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?

18 La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x Se b 2 -4ac= 0 Se b 2 -4ac< 0 Se b 2 -4ac> 0 La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x

19 La parabola ha il vertice sull’asse y Inoltre b =0 Se b =0 y=ax 2 +c b=0 e c=0 Se b=0 e c=0 y=ax 2 c=0 Se c=0 y=ax 2 +bx La parabola passa per l’origine La parabola ha il vertice nell’origine

20 Formule y=ax 2 +bx+c vertice fuocodirettrice equazione asse di simmetria Per approfondimenti vedere scheda F V

21 Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax 2 +bx+c nel piano cartesiano VDeterminare le coordinate del vertice V asse di simmetriaDeterminare l’equazione dell’ asse di simmetria punti d’intersezione con gli assiDeterminare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi qualche altro puntoDeterminare le coordinate di qualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria caratterizzanoRappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzano il grafico V

22 Con il termine CONICA CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso. La parabola fa parte di una famiglia di curve dette CONICHE Classificazione

23 PARABOLA CIRCONFERENZA (ellisse particolare) IPERBOLE ELLISSE

24 Animazione : clicca sull’immagine Osserva la linea d’intersezione cono-piano

25 In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è la parabola

26 Animazione : clicca sull’immagine Osserva la linea d’intersezione cono-piano

27 In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’ellisse

28 Animazione : clicca sull’immagine Osserva la linea d’intersezione cono-piano

29 In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’iperbole

30 ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f= L’equazione generale di una conica è: ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f=0 a,b,c,d,e,f  R La curva ottenuta dipende dall’inclinazione parabola iperbole ellisse

31 Per farle a casa Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l’ellisse. Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole. Le coniche si ottengono intersecando un cono ed un piano : in questo caso il cono è il fascio di luce ed il piano è la parete.

32 Parabola : applicazioni e meccanismi Moto di un proiettile Fontane Fuochi artificiali Ponti sospesi Proprietà focali della parabola Specchi ustori Antenna parabolica Fari dei porti Fari auto, flash, proiettori

33 FINE

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35 Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo( ) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e quelle del vento. Moto di un proiettile

36 Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0v0 Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax 2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso. Animazione : clicca sull’immagine Animazione : clicca sull’immagine Per approfondimenti vedere scheda v0v0

37 Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo( ) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e quelle del vento. Scheda 4 moto di un proiettile g : accelerazione di gravità v 0 : velocità iniziale, θ : angolo formato col terreno (alzo) v0v0 Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v 0 e con un angolo di inclinazione θ

38 L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così : y = v 0y / v 0x x - 1/2 g x 2 / v 0x 2 che ha la forma: y =ax-bx 2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola. Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0). Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono x = v 0x t y = v 0y t - 1/2 g t 2 v 0x : componente orizzontale della velocità iniziale v 0 v 0y : componente verticale della velocità iniziale v 0 L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta v 0y v0v0 v 0x g

39 Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo v 0x = v 0 cos θ v 0y = v 0 sin θ si ottiene x = (v 0 cos θ) t y = (v 0 sin θ) t - 1/2 g t 2 La funzione che si ottiene eliminando t è y = (tang θ) x -[ g/2 v 0 2 cos 2 θ ] x 2 θ Gittata y max 30° 15° 45° 60° 75° Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittata massima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari. Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha : Gittata = v 0 2 sin 2θ /g Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v 0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà : y max = v 0 2 sin 2 θ /g

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41 Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano. Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P,F) = distanza ( P,retta d) quindi =  y +m  Sviluppando i calcoli si ottiene y = x 2 Ponendo =a si ottiene y =a x 2 asse di simmetria x=0 F P y=-m Parabola con vertice nell’origine Formule La parabola più elementare ha equazione

42 Parabola generica Formule P(x,y) Q(X,Y) V(0,0) W(h,k) h k Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax 2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h Y = y+k Si ricava x = X-h y = Y-k Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax 2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h) 2 Y= aX 2 - 2ahX + ah 2 +k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX 2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah 2 +k

43 Formule Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax 2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax 2 + bx + c X = x+h Y = y+k

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45 Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano. Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P,F) = distanza ( P,retta d) quindi =  y +m  Sviluppando i calcoli si ottiene y = x 2 Ponendo =a si ottiene y =a x 2 asse di simmetria x=0 F P y=-m Parabola con vertice nell’origine Formule La parabola più elementare ha equazione

46 Parabola generica Formule P(x,y) Q(X,Y) V(0,0) W(h,k) h k Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax 2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h Y = y+k Si ricava x = X-h y = Y-k Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax 2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h) 2 Y= aX 2 - 2ahX + ah 2 +k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX 2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah 2 +k

47 Formule Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax 2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax 2 + bx + c X = x+h Y = y+k

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49 Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano. Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P,F) = distanza ( P,retta d) quindi =  y +m  Sviluppando i calcoli si ottiene y = x 2 Ponendo =a si ottiene y =a x 2 asse di simmetria x=0 F P y=-m Parabola con vertice nell’origine Formule La parabola più elementare ha equazione

50 Parabola generica Formule P(x,y) Q(X,Y) V(0,0) W(h,k) h k Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax 2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h Y = y+k Si ricava x = X-h y = Y-k Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax 2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h) 2 Y= aX 2 - 2ahX + ah 2 +k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX 2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah 2 +k

51 Formule Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax 2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax 2 + bx + c X = x+h Y = y+k

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53 I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai satelliti. Antenna parabolica

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56 Lo stesso principio viene utilizzato in modo opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei fari per auto e moto e nei proiettori in genere: una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio proveniente dal fuoco viene riflesso dalla parabola in una direzione parallela all'asse. LANTERNA di Genova fuoco F Fari dei porti

57 Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu costruito ad Alessandria (Rodi era una isoletta davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo. Colosso di Rodi Colosso di Rodi

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59 Moto d’epoca Guzzi Sport14 Ingrandimento della calotta del faro La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco della superficie riflettente parabolica dirige i raggi uscenti in direzione parallela all’asse, creando un fascio di luce meno disperso, di più alta luminosità direzionata. Tale principio viene sfruttato in generale nella costruzione di proiettori Fari auto, flash, proiettori

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61 Apparato per mostrare la traiettoria parabolica dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, ITALIA). Gli strumenti esposti in questa sala furono costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di Felice Fontana ( ). Fontane

62 La Barcaccia - Roma Fontana di produzione Euroflora Genova

63 Fontana di produzione

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65 Le 99 cannelle – L’Aquila

66 Fontana delle Naiadi – Roma

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68 Fuochi artificiali

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70 Animazione : clicca sull’immagine

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72 La leggenda secondo la quale Archimede (III sec. a.C.) avrebbe incendiato le navi romane con uno specchio ustorio ha dato luogo a ricerche fino al Seicento inoltrato. Animazione : clicca sull’immagine Animazione : clicca sull’immagine Specchi ustori

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74 Ponti sospesi La costruzione di un ponte è un problema che per la sua utilità ha suscitato interesse fin dall’antichità. I più imponenti sono sicuramente i ponti sospesi, ponti cioè in cui l’impalcato è sospeso mediante tiranti in acciaio ai cavi portanti, disposti secondo una certa curva e sostenuti da alti piloni. Disposizione dei cavi dei ponti sospesi

75 Per approfondimenti vedere scheda Ciascuno dei cavi forma una spezzata i cui vertici sono i punti in cui i tiranti si saldano al cavo. Tali punti appartengono ad una curva parabolica.

76 Il Golden Gate, sulla baia di S. Francisco, è uno dei ponti maggiori di questo tipo; è stato costruito negli anni ’30 ed ha una luce libera di 1280 m. I cavi d’acciaio del Golden Gate hanno 93 cm di diametro e sono formati da "fili" di 6 mm di diametro, pesano da soli circa tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal mare. Le torri sono alte 223 m sopra il pelo dell’acqua. Questi dati possono forse aiutare a capire l’interesse per calcolare la " curva" lungo cui si dispongono i cavi in modo da conoscere la lunghezza dei tiranti prima di aver iniziato la costruzione del ponte.

77 Le differenze sono dovute alle forze che agiscono sui cavi a causa del peso dell’impalcato. Un problema che potrebbe apparire dello stesso tipo è quello della forma di una catena o di una fune appesa agli estremi: esso ha come soluzione una curva, la catenaria, di equazione y = (e x +e -x )/2. che differisce dalla parabola

78 SCHEDA I vertici della nostra spezzata appartengono alla parabola di equazione: y = (p/2aT) x 2 + (b - ap/8T) con: a = distanza fra due tiranti consecutivi b = y 1 = ordinata all’origine p = forza peso T = tensione del cavo y 1 = b

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80 Proprietà focali della parabola Il fuoco della parabola ha interessanti proprietà relative alla riflessione e convergenza dei raggi luminosi. Un raggio proveniente secondo una direzione parallela all'asse della parabola quando incontra la superficie parabolica viene riflesso nel fuoco. fuoco F

81 Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà usare una superficie riflettente a forma di parabola (paraboloide). Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio ustorio, capace di incendiare un pezzo di carta o di legno posto nel suo fuoco. Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco. paraboloide superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse Animazione : clicca sull’immagine Animazione : clicca sull’immagine


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