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Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d

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Presentazione sul tema: "Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d"— Transcript della presentazione:

1 Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d
si dice parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d

2 Parabola punto per punto
Disegniamo i punti che hanno la stessa distanza dal fuoco F e dalla retta d Animazione : clicca sull’immagine

3 Ogni punto è determinato dall’eguaglianza fra le distanze punto-retta punto-fuoco
fuoco F direttrice Per ogni punto il valore delle distanze(=raggio) è diversa, tranne che . . . fuoco F direttrice

4 L’insieme dei punti (parabola)
ha un punto particolare detto vertice è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria Asse di simmetria F fuoco V vertice

5 Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano
4 2 6 8 10 F V Se nel piano inseriamo un sistema di assi cartesiani si ha la rappresentazione a fianco della parabola. Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno con le sue coordinate, l’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y.

6 Animazione : clicca sull’immagine
I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice Animazione : clicca sull’immagine

7 Animazione : clicca sull’immagine
Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse per posizione . . . Animazione : clicca sull’immagine

8 Animazione : clicca sull’immagine
e per ampiezza Animazione : clicca sull’immagine

9 I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione. 5 10 4 2 6 8 F P

10 Equazione generica della parabola
a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse y a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse x Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y Per approfondimenti vedere scheda

11 Variazione dei grafici al variare dei coefficienti
a,b,c  R Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole : Esercizio 1 Esercizio 2

12 Concavità a>0 a<0 Si ottengono i grafici Esercizio 1 Esercizio 2
10 5 Esercizio 2 Concavità a> a<0

13 Vertice Esercizio 3 Al variare di a e b varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate : Esercizio 4 Per approfondimenti vedere scheda

14 Esercizio 5 Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato

15 Intersezioni con gli assi
Esercizio 6

16 Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?
Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema x = 0 P(0,c) Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema Y = 0 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione

17 La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x
Se b2-4ac> 0 La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac= 0 La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac< 0

18 Inoltre y=ax2+bx La parabola passa per l’origine y=ax2+c
Se c=0 y=ax2+bx La parabola passa per l’origine Se b=0 y=ax2+c La parabola ha il vertice sull’asse y Se b=0 e c=0 y=ax2 La parabola ha il vertice nell’origine

19 equazione asse di simmetria
Formule y=ax2+bx+c vertice 4 2 6 8 10 F V fuoco direttrice equazione asse di simmetria Per approfondimenti vedere scheda

20 Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano
Determinare le coordinate del vertice V 4 2 Determinare l’equazione dell’ asse di simmetria Determinare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi Determinare le coordinate di qualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria V Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzano il grafico

21 La parabola fa parte di una famiglia di curve dette CONICHE
Classificazione La parabola fa parte di una famiglia di curve dette CONICHE Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.

22 (ellisse particolare)
PARABOLA ELLISSE IPERBOLE CIRCONFERENZA (ellisse particolare)

23 Osserva la linea d’intersezione cono-piano
Animazione : clicca sull’immagine

24 In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è la parabola

25 Osserva la linea d’intersezione cono-piano
Animazione : clicca sull’immagine

26 In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’ellisse

27 Osserva la linea d’intersezione cono-piano
Animazione : clicca sull’immagine

28 In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’iperbole

29 La curva ottenuta dipende
parabola ellisse La curva ottenuta dipende dall’inclinazione iperbole L’equazione generale di una conica è: ax2+by2+cxy+dx+ey+f= a,b,c,d,e,f R

30 Per farle a casa Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio Le coniche si ottengono intersecando un cono ed un piano : in questo caso il cono è il fascio di luce ed il piano è la parete. Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l’ellisse. Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole.

31 Parabola : applicazioni e meccanismi
Moto di un proiettile Fontane Fuochi artificiali Ponti sospesi Proprietà focali della parabola Specchi ustori Antenna parabolica Fari dei porti Fari auto, flash, proiettori

32 FINE

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34 Moto di un proiettile Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo( ) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.

35 Animazione : clicca sull’immagine
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0 Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso. v0 Animazione : clicca sull’immagine Per approfondimenti vedere scheda

36 Scheda 4 moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo( ) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento. Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e con un angolo di inclinazione θ v0 g : accelerazione di gravità v0 : velocità iniziale, θ : angolo formato col terreno (alzo)

37 Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono x = v0x t y = v0y t - 1/2 g t2 v0x: componente orizzontale della velocità iniziale v0 v0y: componente verticale della velocità iniziale v0 L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta v0y v0 v0x g L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così : y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x2 che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola. Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0).

38 Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo
v0x = v0 cos θ v0y = v0 sin θ si ottiene x = (v0 cos θ) t y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2 La funzione che si ottiene eliminando t è y = (tang θ) x -[ g/2 v0 2cos2 θ ] x2 θ Gittata ymax Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà : ymax= v0 2sin2 θ /g Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha : Gittata = v02 sin 2θ /g 30° 15° 45° 60° 75° Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittata massima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari.

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40 Parabola con vertice nell’origine Formule
La parabola più elementare ha equazione F P y=-m Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.   Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d) quindi = y +m Sviluppando i calcoli si ottiene y = x2 Ponendo =a si ottiene y =a x2 asse di simmetria x=0

41 Parabola generica Formule
Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h Y = y+k Q(X,Y) P(x,y) W(h,k) k V(0,0) h Si ricava x = X-h y = Y-k Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2 Y= aX2 - 2ahX + ah2+k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah2+k

42 Formule Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax2+ bx + c X = x+h Y = y+k

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44 Parabola con vertice nell’origine Formule
La parabola più elementare ha equazione F P y=-m Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.   Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d) quindi = y +m Sviluppando i calcoli si ottiene y = x2 Ponendo =a si ottiene y =a x2 asse di simmetria x=0

45 Parabola generica Formule
Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h Y = y+k Q(X,Y) P(x,y) W(h,k) k V(0,0) h Si ricava x = X-h y = Y-k Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2 Y= aX2 - 2ahX + ah2+k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah2+k

46 Formule Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax2+ bx + c X = x+h Y = y+k

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48 Parabola con vertice nell’origine Formule
La parabola più elementare ha equazione F P y=-m Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.   Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d) quindi = y +m Sviluppando i calcoli si ottiene y = x2 Ponendo =a si ottiene y =a x2 asse di simmetria x=0

49 Parabola generica Formule
Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h Y = y+k Q(X,Y) P(x,y) W(h,k) k V(0,0) h Si ricava x = X-h y = Y-k Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2 Y= aX2 - 2ahX + ah2+k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah2+k

50 Formule Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax2+ bx + c X = x+h Y = y+k

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52 Antenna parabolica I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai satelliti.

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55 Fari dei porti LANTERNA di Genova
Lo stesso  principio viene utilizzato in modo opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei fari per auto e moto e nei proiettori in genere: una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio proveniente dal fuoco viene riflesso dalla parabola in una direzione parallela all'asse. fuoco F LANTERNA di Genova

56 Colosso di Rodi Colosso di Rodi
Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu costruito ad Alessandria  (Rodi era una isoletta davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo. Colosso di Rodi

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58 Fari auto, flash, proiettori
La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco della superficie riflettente parabolica dirige i raggi uscenti in direzione parallela all’asse, creando un fascio di luce meno disperso, di più alta luminosità direzionata. Tale principio viene sfruttato in generale nella costruzione di proiettori Moto d’epoca Guzzi Sport14 Ingrandimento della calotta del faro

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60 Fontane Apparato per mostrare la traiettoria parabolica dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, ITALIA). Gli strumenti esposti in questa sala furono costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di Felice Fontana ( ).

61 La Barcaccia - Roma Euroflora Genova Fontana di produzione

62 Fontana di produzione

63 Fontana di produzione

64 Le 99 cannelle – L’Aquila

65 Fontana delle Naiadi – Roma

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67 Fuochi artificiali

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69 Animazione : clicca sull’immagine

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71 Specchi ustori Animazione : clicca sull’immagine
La leggenda secondo la quale Archimede (III sec. a.C.) avrebbe incendiato le navi romane con uno specchio ustorio ha dato luogo a ricerche fino al Seicento inoltrato. Animazione : clicca sull’immagine

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73 Disposizione dei cavi dei ponti sospesi
La costruzione di un ponte è un problema che per la sua utilità ha suscitato interesse fin dall’antichità. I più imponenti sono sicuramente i ponti sospesi, ponti cioè in cui l’impalcato è sospeso mediante tiranti in acciaio ai cavi portanti, disposti secondo una certa curva e sostenuti da alti piloni. Disposizione dei cavi dei ponti sospesi

74 Tali punti appartengono ad una curva parabolica.
Ciascuno dei cavi forma una spezzata i cui vertici sono i punti in cui i tiranti si saldano al cavo. Tali punti appartengono ad una curva parabolica. Per approfondimenti vedere scheda

75 Il Golden Gate, sulla baia di S
Il Golden Gate, sulla baia di S. Francisco, è uno dei ponti maggiori di questo tipo; è stato costruito negli anni ’30 ed ha una luce libera di 1280 m. I cavi d’acciaio del Golden Gate hanno 93 cm di diametro e sono formati da "fili" di 6 mm di diametro, pesano da soli circa tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal mare. Le torri sono alte 223 m sopra il pelo dell’acqua. Questi dati possono forse aiutare a capire l’interesse per calcolare la " curva" lungo cui si dispongono i cavi in modo da conoscere la lunghezza dei tiranti prima di aver iniziato la costruzione del ponte.

76 che differisce dalla parabola
Un problema che potrebbe apparire dello stesso tipo è quello della forma di una catena o di una fune appesa agli estremi: esso ha come soluzione una curva, la catenaria, di equazione y = (ex+e-x)/2. che differisce dalla parabola Le differenze sono dovute alle forze che agiscono sui cavi a causa del peso dell’impalcato.

77 a = distanza fra due tiranti consecutivi b = y1 = ordinata all’origine
SCHEDA y1 = b I vertici della nostra spezzata appartengono alla parabola di equazione: y = (p/2aT) x2 + (b - ap/8T) con: a = distanza fra due tiranti consecutivi b = y1 = ordinata all’origine p = forza peso T = tensione del cavo

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79 Proprietà focali della parabola
Il fuoco della parabola ha interessanti proprietà relative alla riflessione e convergenza dei raggi luminosi. fuoco F Un raggio proveniente  secondo una direzione parallela all'asse della parabola quando incontra la superficie parabolica viene riflesso nel fuoco.

80 Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco.
Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà usare una superficie riflettente a forma di parabola (paraboloide). Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio ustorio, capace di incendiare un pezzo di carta o di legno posto nel suo fuoco. Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco. paraboloide superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse Animazione : clicca sull’immagine


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