La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

E l’assurdo dov’è? La parola agli studenti Camerino, 19 novembre 2008 Samuele Antonini Dipartimento di Matematica Università di Pavia.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "E l’assurdo dov’è? La parola agli studenti Camerino, 19 novembre 2008 Samuele Antonini Dipartimento di Matematica Università di Pavia."— Transcript della presentazione:

1 E l’assurdo dov’è? La parola agli studenti Camerino, 19 novembre 2008 Samuele Antonini Dipartimento di Matematica Università di Pavia

2 La dimostrazione per assurdo è forse quella più ostica per i principianti, anche per l’aura di mistero nella quale si continua ad avvolgerla, gli avvertimenti che ne accompagnano l’esecuzione, il nome stesso; ma si potrebbe, per assurdo, sostenere che è la più importante. (Lolli, Q.E.D., 2005, p. 116) Nei vari corsi universitari, i docenti applicano lo schema di dimostrazione per assurdo con consuetudine e sicurezza, ma pochissimi neo-laureati sono in grado di chiarirne il significato in modo esauriente. (Bernardi, 2002)

3 Difficoltà e dimostrazione per assurdo Accettazione del metodo dimostrativo (Fischbein, 1987; Leron, 1985, Antonini & Mariotti, 2008) Formulazione e interpretazione della negazione (Thompson, 1996; Antonini, 2006) Gestione degli oggetti matematici e della teoria (Leron, 1985; Antonini & Mariotti, 2006) Argomentazioni indirette Superamento difficoltà ???

4 Accettazione del metodo dimostrativo

5 Incommensurabilità 106 studenti (87 scuola superiore, 19 biologi II anno) Dimostrazione: supponiamo esistano due numeri naturali n e m (m non nullo) tali che BD/AB=m/n Allora […] Abbiamo cioè trovato un numero n contemporaneamente pari e dispari, ma nessun numero è sia pari che dispari, dunque...

6 Incommensurabilità POSSIAMO CONCLUDERE CHE: (è possibile segnare anche più di una risposta) a) quella sopra non è una dimostrazione b) abbiamo sbagliato qualche passaggio, ma non so individuare quale c) abbiamo sbagliato qualche passaggio, e cioè abbiamo sbagliato: d) non abbiamo dimostrato niente, perché l'essere pari o dispari non ha niente a che fare con quello che volevamo dimostrare e) abbiamo dimostrato quello che volevamo, infatti: f) ALTRO (specificare):

7 Non è dim. A Err ? B Err C No rel D Dim E Altro F Non risp Sc. superiore (87) 23,517,716,229,422,110,32,9 universitari (19) 10,55, 310,552,636,800 Totale (106) ,525,382,3

8 Non è dim. A Err ? B Err C No rel D Dim E Altro F Non risp Sc. superiore (87) 23,517,716,229,422,110,32,9 universitari (19) 10,55, 310,552,636,800 Totale (106) ,525,382,3

9 abbiamo dimostrato quello che volevamo infatti uno dei due numeri non è un numero naturale (Studente di IV liceo scientifico) Incommensurabilità Abbiamo cioè trovato un numero n contemporaneamente pari e dispari, ma nessun numero è sia pari che dispari, dunque...

10 Le dimostrazioni per assurdo non mi convincono perché devo già sapere quello che devo dimostrare, mentre con quelle dirette posso correggere il tiro strada facendo [...] Per usare le dimostrazioni per assurdo devo in qualche modo essere convinto che quello che devo dimostrare è vero. Giacomo, laureando, ingegneria Le dimostrazioni per assurdo sono da vigliacchi, non è leale, sarebbe più onesto dire okay, non sono stato capace a dimostrare il teorema, invece si ricorre a questi tipi di dimostrazioni.

11 "L'assurdo è… è… come dire… quanto meno imbarazzante. Sei arrivato ad un assurdo... e allora? Mica hai dimostrato nulla!” Fabio, IV anno, corso di laurea in fisica Insomma, la dimostrazione per assurdo è come dire: 'ti dimostro che in tasca ho una sfera. Infatti, se non fosse una sfera e la mettessi a terra non rotolerebbe'. Ma intanto, mica me l'hai mostrata!“

12 Fabio, IV anno, corso di laurea in fisica Si, diciamo che ci sono due salti, un salto iniziale e un salto finale. Neanche il salto iniziale mi è comodo: perché devo partire da qualcosa che non è? [...] Il salto finale è comunque il peggiore, [...] è un salto logico, un atto di fede che devo fare, un sacrificio che faccio. I salti, i sacrifici, se sono piccoli sono disposto a farli, se si sommano sono troppo grandi. Tutto il mio discorso converge verso il sacrificio del salto logico dell’esclusione, assurdo o esclusione, ciò che non è, non la cosa diretta. Va tutto bene, ma quando mi devo ricollegare...

13 Negazione

14 Un episodio in V ginnasio Teorema: se gli angoli alterni interni formati da due rette r e s tagliate da una trasversale sono uguali, allora le rette r e s sono parallele Enunciato contronominale: se r e s non sono parallele, gli angoli sono diversi.

15 Un episodio in V ginnasio “se non è nero non deve essere per forza bianco ma può essere giallo, verde, rosso e di mille altri colori” (Francesco). “Secondo me, se una cosa non è uguale è diversa e se non è diversa è per forza uguale. [...] In classe qualcuno ha rappresentato il colore nero come la diversità e il colore bianco come l’ugualità aggiungendo poi che però esistono altri colori come l’azzurro, il rosa, il viola ecc... Ma io credo che in questo caso o gli angoli sono uguali oppure sono diversi.” (Emma).

16 Un’interpretazione il soggetto ritiene che possa essere spontaneo pensare a bianco e nero come uno la negazione dell’altro (negazione come contrario); il soggetto è consapevole che la negazione di nero non è bianco ed elenca alcuni casi come controesempio (distinzione in casi); la consapevolezza della presenza di diversi casi in situazioni analoghe a quella dei colori può aver contribuito alla nascita e al rafforzamento della convinzione che ci possono essere altre possibilità oltre a una proposizione e alla sua negazione; tale convinzione può causare errori nell’interpretazione della negazione anche in casi semplici, come nel caso uguali-diversi.

17 I: Cos’ è la negazione? C: È il contrario. I: Cioè? C: Se dico “acceso”, il contrario è “spento”. Ma se dico “piove”, non c’è il contrario, posso solo dire “non piove”. I: Sai cos’ è una dimostrazione per assurdo? C: Dimostrare che il contrario della tesi non può essere vero. Non so se si può fare sempre, credo si possa fare solo in quei casi dove ho solo due possibilità, come acceso-spento. Carlo, I anno, corso di laurea in ingegneria

18 Fabio, IV anno, corso di laurea in fisica “Il non vero lo vedo come complementare del vero, il falso come staccato, opposto, potrebbe esserci qualcosa in mezzo [...] Un problema della dimostrazione per assurdo è alla fine, quel ‘non mi rimane altro che...’ Potrebbe esserci qualcosa che non hai considerato.”

19 Teoria e oggetti matematici

20 “In indirect proofs […] something strange happens to the ‘reality’ of these objects. We begin the proof with a declaration that we are about to enter a false, impossible world, and all our subsequent efforts are directed towards ‘destroying’ this world, proving it is indeed false and impossible. We are thus involved in an act of mathematical destruction, not construction. Formally, we must be satisfied that the contradiction has indeed established the truth of the theorem (having falsified its negation), but psychologically, many questions remain unanswered. What have we really proved in the end? What about the beautiful constructions we built while living for a while in this false world? Are we to discard them completely? And what about the mental reality we have temporarily created? I think this is one source of frustration, of the feeling that we have been cheated, that nothing has been really proved, that it is merely some sort of a trick - a sorcery - that has been played on us.“ (Leron 1985, p. 323)

21 M: [...] dunque, supponiamo ab=0 con a diverso da 0 e b diverso da 0... posso dividere per b... ab/b=0/b... cioè a=0. Non so se questa è una dimostrazione, perché ci possono essere tante cose che non ho visto. Maria, V anno, corso di laurea in farmacia Dimostrare per assurdo che, se ab=0 allora a=0 oppure b=0

22 Dimostrazione: supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria 1.Se x  0 esiste l’inverso moltiplicativo di x; 2.Se x=y allora xc=yc Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0

23 Dimostrazione: supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria 1.Se x  0 esiste l’inverso moltiplicativo di x; 2.Se x=y allora xc=yc Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 CONTRADDIZIONE

24 Dimostrazione: supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria 1.Se x  0 esiste l’inverso moltiplicativo di x; 2.Se x=y allora xc=yc Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 CONTRADDIZIONE

25 Dimostrazione: supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria 1.Se x  0 esiste l’inverso moltiplicativo di x; 2.Se x=y allora xc=yc Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 CONTRADDIZIONE

26 M: E poi, così come ab=0 con a diverso da 0 e b diverso da 0, che è contro le mie normali vedute e devo far finta che sia vero, non so se posso considerare vero che 0/b=0. Cioè non so cosa è vero e cosa faccio finta che sia vero. I: Poniamo di poter usare che 0/b=0. M: Viene che a=0 e quindi... siamo tornati nella realtà…. […] M: Ma il mio problema è capire quali sono le regole del mondo assurdo, sono quelle del mondo assurdo o del mondo reale? È per quello che ho problemi a sapere se 0/b=0, non so se è vero nel mondo assurdo. [......]

27 supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 non so se posso considerare vero che 0/b=0 Ma il mio problema è capire quali sono le regole del mondo assurdo, sono quelle del mondo assurdo o del mondo reale? ???

28 Difficoltà con le dimostrazioni per assurdo anche per studenti universitari o laureati in fisica e matematica (Leron, 1985, Barbin, 1988, Antonini, 2001, Bernardi, 2002) Dimostrazione e argomentazione Argomentare per via indiretta sembra un modo di pensare "naturale". Gli studenti producono spontaneamente argomentazioni indirette anche in matematica, allo scopo di formulare congetture e di convincersi della verità di certi enunciati (Freudenthal, 1973; Polya, 1967; Thompson, 1996, Antonini, 2003)

29 Difficoltà con le dimostrazioni per assurdo anche per studenti universitari o laureati in fisica e matematica (Leron, 1985, Barbin, 1988, Antonini, 2001, Bernardi, 2002) Argomentare per via indiretta sembra un modo di pensare "naturale". Gli studenti producono spontaneamente argomentazioni indirette anche in matematica, allo scopo di formulare congetture e di convincersi della verità di certi enunciati (Freudenthal, 1973; Polya, 1967; Thompson, 1996, Antonini, 2003) “The indirect proof is a very common activity (‘Peter is at home since otherwise the door would not be locked’). A child who is left to himself with a problem, starts to reason spontaneously ‘... if it were not so, it would happen that...’ “ (Freudenthal, 1973, p. 629) “se così non fosse, succederebbe che…” Dimostrazione e argomentazione

30 Difficoltà con le dimostrazioni per assurdo anche per studenti universitari o laureati in fisica e matematica (Leron, 1985, Barbin, 1988, Antonini, 2001, Bernardi, 2002) Argomentare per via indiretta sembra un modo di pensare "naturale". Gli studenti producono spontaneamente argomentazioni indirette anche in matematica, allo scopo di formulare congetture e di convincersi della verità di certi enunciati (Freudenthal, 1973; Polya, 1967; Thompson, 1996, Antonini, 2003)  Interessante e importante indagare sulle relazioni tra argomentazioni indirette e dimostrazioni per assurdo e tra i processi cognitivi che portano alle loro costruzioni Dimostrazione e argomentazione

31 M: E poi, così come ab=0 con a diverso da 0 e b diverso da 0, che è contro le mie normali vedute e devo far finta che sia vero, non so se posso considerare vero che 0/b=0. Cioè non so cosa è vero e cosa faccio finta che sia vero. I: Poniamo di poter usare che 0/b=0. M: Viene che a=0 e quindi... siamo tornati nella realtà…. […] M: Ma il mio problema è capire quali sono le regole del mondo assurdo, sono quelle del mondo assurdo o del mondo reale? È per quello che ho problemi a sapere se 0/b=0, non so se è vero nel mondo assurdo. [......]

32 supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 non so se posso considerare vero che 0/b=0 Ma il mio problema è capire quali sono le regole del mondo assurdo, sono quelle del mondo assurdo o del mondo reale? ???

33 supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 non so se posso considerare vero che 0/b=0 Ma il mio problema è capire quali sono le regole del mondo assurdo, sono quelle del mondo assurdo o del mondo reale? ??? siamo tornati nella realtà….

34 supponiamo ab=0, a  0 e b  0. Poiché b  0 possiamo dividere entrambi i membri dell’uguaglianza ab=0 per b, ottenendo a=0. Teoria Enunciato: Siano a,b numeri reali. Se ab=0 allora a=0 oppure b=0 non so se posso considerare vero che 0/b=0 siamo tornati nella realtà…. Ma il mio problema è capire quali sono le regole del mondo assurdo, sono quelle del mondo assurdo o del mondo reale? ???

35 Trasformaz oggetti Mondo assurdo Mondo reale

36 Consequentia mirabilis (  A  A)  A

37 Consequentia mirabilis (  A  A) Non deduzione ma Trasformazione

38 “Se una legge di composizione ha un elemento neutro, esso è unico [...] Dimostriamo il teorema per assurdo. La negazione della tesi è: esistono due elementi distinti [in grassetto nel testo] u, u’  A che rispetto all'operazione godono della proprietà: a*u=u*a=a  a  A (4) a*u’=u’*a=a  a  A (5) Considerando in particolare: nella (4) a=u’ si ottiene: u’*  u=u*u’=u’ perché u è elemento neutro nella (5) a=u si ottiene: u*u’=u’*u=u perché u’ è elemento neutro Essendo unico il risultato dell’operazione, vale u=u’.” Unicità elemento neutro, da un manuale scolastico

39 Trasformaz oggetti u ≠ u’ u = u’

40 S: partiamo da un numero finito di numeri primi, siano p1, p2,….,,pn. I: ma quelli sono tutti i numeri primi? [Il docente interviene per essere certo del tipo di dimostrazione che lo studente ha intenzione di riportare] S: si, supponiamo per assurdo siano solo questi. [Costruisce il numero N=p1p2……pn+1]. Se N è primo, abbiamo finito, ne abbiamo trovato un altro, se non è primo è divisibile per un primo, ma nessuno di quelli lo divide perché ha resto 1, quindi è divisibile per un altro numero primo …posso continuare così all’infinito… I: ma dove è l’assurdo? S: l’assurdo era nell’ipotesi iniziale, perché ne ho trovato un altro, cioè che fossero finiti era sbagliato. Infinità dei numeri primi

41 La dimostrazione proposta da molti studenti permette di conciliare due elementi che, anche se tra loro incoerenti, hanno probabilmente colpito i soggetti al punto da diventare caratterizzanti: la struttura per assurdo la costruzione, il metodo che permette di trovare via via sempre nuovi numeri primi Non contraddizioni, non oggetti impossibili

42 Trasformaz oggetti I numeri primi sono n E’ possibile trovare sempre nuovi numeri primi

43 Teorema: se r è parallelo a s, allora  = . Un episodio in classe Dimostrazione proposta dall’insegnante: Supponiamo  <  e δ= . Per un teorema dimostrato in una lezione precedente, t è parallela a r. Allora abbiamo due rette parallele a r passanti per P, e questo è falso per il V postulato di Euclide. Quindi  = .” Gli studenti non accettano questa dimostrazione

44 Nuova proposta dell’insegnante: “Okay. Ascoltatemi. Per il V postulato esiste un’unica retta parallela a r passante per P, quindi, di fatto le rette t e s sono la stessa retta! Quindi gli angoli  e δ sono lo stesso angolo; e poiché δ= , allora  =  ”. Un episodio in classe Gli studenti la accettano e la preferisono alla precedente

45 Trasformaz oggetti  ≠   = 

46 Le dimostrazioni per assurdo non mi convincono perché devo già sapere quello che devo dimostrare, mentre con quelle dirette posso correggere il tiro strada facendo [...] Per usare le dimostrazioni per assurdo devo in qualche modo essere convinto che quello che devo dimostrare è vero. Giacomo, laureando, ingegneria Le dimostrazioni per assurdo sono da vigliacchi, non è leale, sarebbe più onesto dire okay, non sono stato capace a dimostrare il teorema, invece si ricorre a questi tipi di dimostrazioni.

47 Enunciato: l'angolo formato da due bisettrici di un triangolo non può essere un angolo retto Dimostrazione: supponiamo S=  /2. Poiché K/2+H/2+S=  risulta che K/2+H/2=  /2 e quindi K+H=  che è in contraddizione con la relazione K+H< 

48 Oggetto: triangolo in cui l’angolo formato da due bisettrici è retto Dimostrazione: supponiamo S=  /2. Poiché K/2+H/2+S=  risulta che K/2+H/2=  /2 e quindi K+H=  che è in contraddizione con la relazione K+H<  Enunciato: l'angolo formato da due bisettrici di un triangolo non può essere un angolo retto

49 Oggetto: triangolo in cui l’angolo formato da due bisettrici è retto Dimostrazione: supponiamo S=  /2. Poiché K/2+H/2+S=  risulta che K/2+H/2=  /2 e quindi K+H=  che è in contraddizione con la relazione K+H<  Enunciato: l'angolo formato da due bisettrici di un triangolo non può essere un angolo retto

50 Oggetto: triangolo in cui l’angolo formato da due bisettrici è retto Contraddizione Dimostrazione: supponiamo S=  /2. Poiché K/2+H/2+S=  risulta che K/2+H/2=  /2 e quindi K+H=  che è in contraddizione con la relazione K+H<  Enunciato: l'angolo formato da due bisettrici di un triangolo non può essere un angolo retto

51 Cosa si può dire dell'angolo formato da due bisettrici di un triangolo? Paolo e Riccardo, V liceo scientifico

52 61.P: Per quanto riguarda 90, sarebbe necessario che tutti e due, sia K e H, fossero di 90 gradi, quindi K/2 = 45, H/2 = e 90 gradi 62.I: Basta che la somma, in realtà, sia 90 gradi, basta che K/2 + H/2 faccia R: Si, però non può farlo. 64.P: Si, però vorrebbe dire che K+H è... un quadrato. […] 65.R: Dovrebbe essere un quadrato sicuramente, o un quadrato o un parallelogramma

53 66.P: (K-H)/2 vorrebbe dire che K-H fa 180 gradi... che K+H fa 180 gradi R: Sarebbe impossibile. Esatto, avrei con questi due angoli già 180 che sicuramente non è un triangolo. 68.P: E quindi torniamo nel caso del triangolo degenere, non so se varia anche R: No, dovrebbe essere un... Quadrato […] 71.R: Si può escludere che sia  /2 perché verrebbe un quadrilatero

54 80.R: Non sarà neanche uguale a 90 gradi perché se no avrei un quadrilatero, infatti la somma dei due angoli sarebbe già 180, escludendo il terzo angolo. Cioè l'unico caso possibile è che sia un quadrilatero, cioè che la somma interna sia 360. […] … su considerazione che la somma interna del triangolo è 180. La dimostrazione

55 No contraddizioni Ricerca di un’ipotesi (quadrilatero) che possa spiegare l’anomalia (proposizione in contraddizione con il teorema) Non distruzione di oggetti ma trasformazione

56 Mondo assurdo Mondo reale Nuova assunzione T è un parallelogramma in cui l’angolo tra due bisettrici è retto Proposiz. “assurda” Nel triangolo T, La somma di due angoli è un angolo piatto Proposiz. “vera” Nel parall. T, la somma di due angoli adiacenti è un angolo piatto Prima assunzione T è un triangolo in cui l’angolo tra due bisettrici è retto

57 Abduzione (Peirce) Un fatto A è osservato Se C è vero, allora A è vero E’ ragionevole supporre C A: Questi fagioli sono bianchi B: I fagioli di quel sacco sono tutti bianchi C: Questi fagioli provengono da quel sacco

58 “[…] the process of inferring certain facts and/or laws and hypotheses that render some sentences plausible, that explain or discover some (eventually new) phenomenon or observation; it is the process of reasoning in which explanatory hypotheses are formed and evaluated” (Magnani, 1999) Abduction

59 Mondo assurdo Mondo reale Nuova assunzione T è un parallelogramma in cui l’angolo tra due bisettrici è retto Proposiz. “assurda” Nel triangolo T, La somma di due angoli è un angolo piatto Proposiz. “vera” Nel parall. T, la somma di due angoli adiacenti è un angolo piatto Prima assunzione T è un triangolo in cui l’angolo tra due bisettrici è retto Sembra che il caso venga individuato attuando una trasformazione (minima) in modo da spiegare l’anomalia (contraddizione) rendendola coerente conseguenza dell’ipotesi trovata.

60 Incommensurabilità 106 studenti (87 scuola superiore, 19 biologi II anno) Dimostrazione: supponiamo esistano due numeri naturali n e m (m non nullo) tali che BD/AB=m/n Allora […] Abbiamo cioè trovato un numero n contemporaneamente pari e dispari, ma nessun numero è sia pari che dispari, dunque... POSSIAMO CONCLUDERE CHE: abbiamo dimostrato quello che volevamo infatti uno dei due numeri non è un numero naturale (Studente di IV liceo scientifico)

61 Argomentazioni degli studenti Dimostrazione matematica Oggetti dinamici: trasformazioni, correzioni Oggetti statici, temporanei Inferenze nel “mondo assurdo” (su oggetti impossibili) Teoria: uno degli strumenti per effettuare il trattamento dell’oggetto Meta-teoria Re-interpretazione di proprietà “assurde” (abduzione)

62 Dimostrazione matematica Oggetti dinamici: trasformazioni, correzioni Oggetti statici, temporanei Inferenze nel “mondo assurdo” (su oggetti impossibili) Teoria: uno degli strumenti per effettuare il trattamento dell’oggetto Meta-teoria Fattori culturali Re-interpretazione di proprietà “assurde” (abduzione) Argomentazioni degli studenti

63 Fattori culturali Dimostrazione matematica Argomentazioni degli studenti

64 E l’assurdo dov’è? La parola agli studenti Camerino, 19 novembre 2008 Samuele Antonini Dipartimento di Matematica Università di Pavia


Scaricare ppt "E l’assurdo dov’è? La parola agli studenti Camerino, 19 novembre 2008 Samuele Antonini Dipartimento di Matematica Università di Pavia."

Presentazioni simili


Annunci Google