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2 1 -2 Flusso di Costo Minimo Trasformazioni Equivalenti e Trasformazioni Inverse Viene data la seguente rete di flusso, in cui i valori riportati vicino.

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1 2 1 -2 Flusso di Costo Minimo Trasformazioni Equivalenti e Trasformazioni Inverse Viene data la seguente rete di flusso, in cui i valori riportati vicino agli archi sono i costi, e quelli riportati vicino ai nodi sono le richieste di flusso (ovvero i termini noti b) 1 23 4 1 1 0 1 L’arco (4,2) ha capacità superiore 3 e capacità inferiore 1; l’arco (2,3) ha capacità superiore 1 e capacità inferiore -1; gli altri archi hanno capacità superiore 2 e capacità inferiore 0. 2 -4

2 1.Trasformiamo la rete data in una rete equivalente con costi non negativi, capacità inferiori nulle, singola origine e singola destinazione. Determiniamo la costante F aggiunta alla funzione obiettivo nel corso della trasformazione. 2.A partire dal flusso ottimo x sulla rete trasformata (che verrà dato implicitamente fornendo il corrispondente grafo residuo), determiniamo il flusso ottimo nella rete originale. Confrontiamo il costo delle due soluzioni ottime, tenendo conto della costante F trovata al Passo 1.

3 2 1 -2 Passo 1 passaggio alla rete trasformata 1 23 4 1 1 0 1 2 -4 2 -2 2 1 23 4 1 1 0 1 2 4 Fase 1: eliminazione costi negativi: si satura l’arco (4,2), spedendo un flusso 3. Il nuovo arco (2,4) ha capacità superiore 2. Si aggiunge alla f.o. il valore -4*3=-12. F = -12 arco (4,2) costo negativo, capacità superiore 3 capacità inferiore 1 Nota: il nuovo arco ha capacità inferiore nulla

4 Passo 1 passaggio alla rete trasformata 2 -2 2 1 23 4 1 1 0 1 2 4 Fase 2: eliminazione capacità inferiori non nulle. Dopo la trasformazione, l’arco (2,3) ha capacità superiore 2. Si aggiunge alla costante F il valore -1. 3 -3 2 -2 1 23 4 1 1 0 1 2 4 F = -12 -1 = -13 arco (2,3) costo 1 capacità superiore 1 capacità inferiore -1

5 Passo 1 passaggio alla rete trasformata 1 23 4 1 1 0 1 2 4 Fase 3: singola origine e singola destinazione. In azzurro le capacità superiori degli archi aggiuntivi, tutti gli altri archi hanno capacità superiore pari a due. ts 2 2 3 3 F = -13 3 -3 2 -2 1 23 4 1 1 0 1 2 4 -5 5 0 00 0

6 Passo 1 passaggio alla rete trasformata 1 23 4 [1, 2] [4, 2] Rete trasformata: a ciascun arco si associa la coppia [costo,capacità superiore] ts F = -13 -5 5 [0, 2] [0, 3] [0, 2] [2, 2] [1, 2] [0, 2] [0, 3]

7 Soluzione ottima sulla rete trasformata Grafo residuo rispetto al flusso ottimo: il valore vicino ad ogni arco è la sua capacità superiore; gli archi “inversi” appaiono in rosso 1 23 4 1 1 1 2 ts 2 1 2 1 2 3 2 3 Nota: il grafo residuo rispetto al flusso ottimo sarà il risultato dell’applicazione degli algoritmi per MCF

8 Soluzione ottima sulla rete trasformata Partendo dal grafo residuo relativo al flusso ottimo troviamo tale flusso sulla rete trasformata 1 23 4 1 1 1 2 ts 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 0 1 1 3 3 0 1 23 4 [1, 2] [4, 2] ts -5 5 [0, 2] [0, 3] [0, 2] [2, 2] [1, 2] [0, 2] [0, 3] Il costo totale del flusso ottimo sulla rete trasformata è (costo × flusso) (2 × 1) + (1 × 2) + (1 × 2) = 6 (2,1) (1,4) (2,3)

9 Passo 2 Flusso ottimo sulla rete originale Per prima cosa, ignoriamo gli archi fittizi (trasformazione inversa della Fase 3). Trasformazione inversa della Fase 2: archi a capacità inferiore non nulla. L’arco (2,3) sulla rete originale ha un flusso –1 + 2 = 1 2 2 0 1 1 0 1 23 4 [1, 2] [4, 2] [0, 2] [2, 2] [1, 2] 2-2 -3 3 3 2-2 1 2 0 1 1 0 1 23 4 [1, 2] [4, 2] [0, 2] [2, 2] [1, 2] 2-2 2 2 arco (2,3) originale costo 1 capacità superiore 1 capacità inferiore -1 2

10 Passo 2 Flusso ottimo sulla rete originale Trasformazione inversa della Fase 1: archi a costo negativo. L’arco (4,2) ha un flusso 3 – 0 = 3. I numeri vicini ai nodi sono le differenze flusso entrante meno flusso uscente; si può verificare che corrispondono alle richieste (termini noti) sulla rete originale. 1 2 0 1 1 3 1 23 4 [1, 2] [-4, 2] [0, 2] [2, 2] [1, 2] -2 1 2 1 -2 2 arco (4,2) originale costo negativo -4, capacità superiore 3 capacità inferiore 1

11 Passo 2 Flusso ottimo sulla rete originale Calcolo e confronto dei costi delle soluzioni Il costo totale del flusso ottimo sulla rete originale è (costo × flusso) 2 × 1 + 1 × 1 + ( – 4) × 3 + 0 × 1 + 1 × 2 = -7 (2,1) (2,3) (4,2) (1,3) (1,4) Il costo del flusso ottimo sulla rete originale è dato dal costo sulla rete trasformata (6) più la costante F (– 13). 1 2 0 1 1 3 1 23 4 [1, 2] [-4, 2] [0, 2] [2, 2] [1, 2] -2 1 2 1 -2 2


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