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Didattica della matematica II semestre La dimostrazione Oggetto di riflessione: −Evoluzione storica −Problematiche didattiche Attività: −Problem solving.

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1 Didattica della matematica II semestre La dimostrazione Oggetto di riflessione: −Evoluzione storica −Problematiche didattiche Attività: −Problem solving −Analisi di protocolli L’algebra come strumento dimostrativo Attività di avvio alla dimostrazione: -generazione di esempi - …

2 Evoluzione storica del concetto di dimostrazione Dallo storia alla riflessione didattica: –Come si insegna la dimostrazione a scuola? –Come dimostrano gli studenti? Oggetto di riflessione: −Evoluzione storica −Problematiche didattiche

3 Dal questionario…

4 In quali contesti si parla di dimostrazione? Si parla di “dimostrazione” in senso lato: in qualunque ambito con frasi del tipo “questa è la dimostrazione che…” con cui in realtà si intende solo vagamente lo stesso concetto che si usa in matematica. In senso proprio la “dimostrazione” si usa in logica, matematica, a volte in fisica. In ogni ambito della vita reale. Nel contesto matematico (dimostrazioni di teoremi, di proprietà geometriche, …), nella logica, nel ragionamento (sillogistico e non). Anche nella vita di tutti i giorni si usa spesso il termine “dimostrare”: credo che, anche nel linguaggio, esistano regole logiche e metodi induttivi che permettono di dimostrare un pensiero, una convinzione. Insomma, ovunque! Non solo in matematica, anche per esempio in attività fisiche, nella manualità, nelle espressioni artistiche. Spesso si sente dire: “il soggetto ha dimostrato di aver acquisito…”

5 In quali contesti si parla di dimostrazione? Si parla di dimostrazione ogni volta che si vuole convincere se stessi o gli altri della verità di una certa affermazione. In tutti gli ambiti nei quali è necessaria una verifica oggettiva di una certa ipotesi. In tutti i contesti scientifici all’interno dei quali è necessario procedere nello studio attraverso certezze.

6 Uso del termine nella lingua comune e nelle scienze Contesti diversi Fisica, logica Funzioni della dimostrazione - Dimostrazione e verità In quali contesti si parla di dimostrazione?

7 È un ragionamento corretto attraverso il quale si verifica una tesi partendo da alcune ipotesi. Che cos’è una dimostrazione in matematica? La dimostrazione, in matematica, è un ragionamento logico-deduttivo costituito da una sequenza di proposizioni dedotte una dall’altra sulla base di assiomi e postulati assunti noti. Una successione di fatti veri, ognuno dei quali è dedotto dai precedenti e serve per ottenere i successivi. Un numero di passaggi corretti (…) tramite i quali una certa proposizione può essere ricavata a partire da altre proposizioni ritenute valide.

8 Voler verificare che applicando determinate procedure, regole si arriva ad un particolare risultato. Questa procedura deve essere convincente sia per chi la illustra che per chi ascolta. Che cos’è una dimostrazione in matematica?

9 A che cosa serve la dimostrazione in matematica? Serve per poter considerare vere certe proposizioni, in modo da giungere successivamente, a partire da queste, a nuove proprietà. A mostrare la veridicità di nuovi risultati. A stabilire il valore di verità di un’affermazione. Serve ad avere la certezza assoluta della verità di una asserzione matematica presa nel proprio contesto e correttamente interpretata. A convincere che una particolare ipotesi porta ad una particolare verità e a dubitare di qualsiasi concetto.

10 Quali caratteristiche deve avere una dimostrazione per essere accettabile in matematica? Non deve utilizzare argomenti non ancora dimostrati, ma deve avvalersi solo di concetti precedentemente acquisiti e ritenuti indiscutibili. Deve partire da alcune ipotesi, seguire un ragionamento deduttivo logico e corretto per verificare la tesi.

11 Quali caratteristiche deve avere una dimostrazione per essere accettabile in matematica? Deve partire da ipotesi fondate e riconosciute valide in ambito matematico, evolversi con passaggi logici e precisi. Una dimostrazione deve essere chiara (comprensibile), il più possibile sintetica e deve essere compatibile con quanto già provato per essere accettata. Deve risultare “corretta” ad ogni passaggio, cioè deve rispettare le ipotesi e gli assiomi di partenza e svilupparsi esclusivamente a partire da questi. Una dimostrazione è accettata, inoltre, se non esistono controesempi che la invalidano.

12 Quali caratteristiche deve avere una dimostrazione per essere accettabile in matematica? In generale fare uso (e farne uso correttamente) di regole di inferenze valide e fatti già dimostrati, oltre che partire da un insieme di ipotesi non contraddittorie (altrimenti qualunque asserzione può essere dimostrata). Vi sono poi problemi specifici e tecnici su assiomi in parte dibattuti (assioma della scelta) o verificabilità effettiva (dimostrazione del teorema dei quattro colori).

13 Dalla letteratura …

14 Spiegazione: discorso che ha lo scopo di mostrare il carattere di verità di una proposizione o di un risultato Prova : spiegazione accettata da una comunità. I criteri di accettabilità sono relativi ad una comunità fissata in un momento storico fissato Dimostrazione: una prova strutturata secondo regole precise, condivise all’interno della comunità dei matematici. (Balacheff, 1987)

15 Un teorema è un enunciato formale condizionale (cioè della forma “se… allora…”) del tipo “ se T allora A ”, dove: T è l’insieme delle assunzioni, gli assiomi della teoria, ed è costituito da un enunciato o un insieme di enunciati. A è la conclusione e può essere a sua volta nella forma condizionale “ B  C ”, il cui antecedente B si chiama ipotesi ed il conseguente C tesi. Un teorema è un enunciato della forma “ se T allora A ” in cui A è conseguenza logica di T, ovvero in ogni interpretazione del linguaggio formale in cui sono T ed A, se T risulta vero allora anche A risulta vero. Dato un teorema “ se T allora A ”, si dice che A è un teorema di T. Un teorema è tale all’interno di una teoria (rappresentata dagli assiomi T ). Scorciatoie : “considerazioni e ragionamenti che permettono di prendere in esame ed eliminare in blocco insiemi di possibili interpretazioni, ed eventualmente arrivare a concludere che tutte ricadono sotto il tipo di considerazioni che si sono svolte”. Queste scorciatoie sono le dimostrazioni. (Lolli, 2005)

16 La dimostrazione è “una bolla di accompagnamento che certifica il fatto che A è conseguenza logica di T.” Non ci sono restrizioni sulla maniera di presentare tale “certificato”, il cui formato varia nella storia della matematica ed all’interno delle sottodiscipline: l’unica condizione è che sia un argomento finito, in modo da poterlo comunicare agli interlocutori. Non si può richiedere che la dimostrazione sia convincente o facile da capire, dal momento che tali caratteristiche dipendono da chi legge la dimostrazione stessa. (Lolli, 2005)

17 La derivazione è una successione finita di formule ciascuna delle quali è ottenuta da qualcuna delle formule precedenti per applicazione di una delle regole del calcolo logico. Teorema di completezza : se A è un teorema di T, allora esiste una derivazione di A da T. (Lolli, 2005) Se in linea di principio ogni dimostrazione si può “tradurre” in modo formale, non è detto che tutte le dimostrazioni si presentino direttamente in modo vicino alla sistemazione formale. Si può distinguere tra: le dimostrazioni formali, ovvero le concatenazioni di passaggi logici, ciascuno dei quali fa riferimento solo ai passaggi precedenti (le quasi- derivazioni ) le dimostrazioni informali, forme argomentative che non si prestano ad una traduzione secondo le regole del calcolo logico, oppure che sono rigorose ma espresse in un linguaggio diverso (per esempio le dimostrazioni semantiche). Al di fuori della logica, sono chiamate comunemente dimostrazioni le dimostrazioni informali, ovvero quelle che si trovano nei libri di testo o sono presentate all’interno della comunità dei matematici.

18 Alcune “funzioni” della dimostrazione (Lolli, 2005) La dimostrazione può contribuire ad aumentare la conoscenza dell’individuo. Tra queste funzioni non c’è quella di stabilire la verità. - Stabilire collegamenti tra risultati Teorema di Bézout: a è uno zero di un polinomio p(x) se e solo se p(x) è divisibile per (x-a) : la dimostrazione del teorema stabilisce un collegamento “inaspettato e fecondo” tra zeri e divisibilità. - Spiegare “perché” e “perché non” - Creare concetti La dimostrazione del fatto che  2 non è razionale ha introdotto il nuovo dominio degli irrazionali.

19 Dal questionario…

20 Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? Convincere noi che l’abbiamo scritta nel senso che non vi troviamo contraddizioni; una volta fatta bisogna che convinca gli altri nel senso che non ci sia sfuggito qualcosa ma sia effettivamente corretta. Convincere nel senso che i passaggi non devono contenere contraddizioni. Illuminare nel senso che deve far ripensare a quanto si è utilizzato, alle cose che già si sanno e a che cosa ci servono per estendere le nostre conoscenze.

21 Più che convincere penso che una dimostrazione in matematica debba illuminare ed essere corretta. Non è necessario che sia “convincente” perché se è corretta afferma la verità. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? Sono d’accordo che una dimostrazione debba convincere se stessi e gli altri, anche se al tempo stesso la mia idea di dimostrazione è di qualcosa di talmente rigoroso da non poter essere discutibile. Quindi in un certo senso non deve convincere, basta che esista. Sul fatto che possa illuminare sono d’accordo, può suscitare nuove intuizioni.

22 Per la seconda mi chiedo: l’illuminazione è riferita a concetti futuri o mi ha permesso di capire e di convincermi di dimostrazioni e concetti precedenti? Forse entrambi gli aspetti. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? Sono perfettamente in accordo con la prima delle due frasi, mentre per la seconda condivido la parte del “convincere” (me e gli altri) ma vorrei precisare l’illuminare. Vedo in questo termine due significati: aprire la strada ad altre dimostrazioni, convincere la persona che può utilizzare l’assunto appena dimostrato.

23 Ritengo vere entrambe le affermazioni, ma penso sia necessario specificare il termine “convincere”. Attribuendo al verbo un significato di oggettività (una convinzione, cioè, derivata univocamente da premesse date sulla base di regole logiche e assiomi condivisi da tutti) allora le due affermazioni, pur non definendo cosa sia dimostrazione, contengono una verità. Altrimenti, implicano una soggettività che nulla ha a che fare con la dimostrazione. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? “Convincere” non è la parola giusta per una dimostrazione, si può convincere qualcuno di una cosa anche se non è corretta. Anche illuminare non è del tutto corretto: illuminare su una certa affermazione può svelare relazioni nascoste tra oggetti ma magari non è sufficiente per arrivare alla tesi.

24 Si tratta di affermazioni (specialmente la seconda) che riguardano qualità assolutamente desiderabili in una dimostrazione, ma non a mio parere assolutamente necessarie per definirla tale. Talvolta la dimostrazione di un fatto evidente può essere oscura, mentre in casi fortunati la dimostrazione di un fatto controintuitivo può essere illuminante. Una dimostrazione poi dovrebbe chiaramente convincere ma può essere valida anche se la sua coerenza è controllata automaticamente. Le affermazioni hanno chiaramente comunque un valore in ambito didattico se interpretate come “Una dimostrazione per essere didatticamente efficace deve…” Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? In parte non mi soddisfano molto perché fanno riferimento a stati d’animo, che non devono necessariamente essere presi in considerazione … userei al posto di “deve” (sembra una condizione necessaria) un altro verbo.

25 E.Barbin, 1994: La dimostrazione in matematica: significati epistemologici e questioni didattiche L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, v.17B n.3

26 Idea: rifarsi alla storia ed all’epistemologia della matematica, per meglio affrontare, dopo, le problematiche didattiche Evoluzione storica → apprendimento da parte degli allievi Studenti di riferimento: collège francese (scuole medie + biennio superiori)

27 L’evoluzione storica del concetto di dimostrazione La dimostrazione nell’Antica Grecia Prima rottura: la matematica del secolo XVII Seconda rottura: la matematica del secolo XIX

28 Forme di prova, di diverso livello, sono presenti già nella matematica egizia Solo nella Grecia del V secolo a.C. appaiono i primi esempi di dimostrazione Il passaggio dalla prova alla dimostrazione è legato ad una nuova concezione della matematica, che diviene una scienza ipotetico-deduttiva

29 Dagli Elementi di Euclide Proposizione X, CXVII “Nelle figure quadrate la diagonale è incommensurabile in lunghezza con il lato.”

30 Due grandezze si dicono commensurabili se hanno una misura in comune. Due segmenti AB e CD sono commensurabili se esiste un segmento UV che li misura entrambi, cioè se esistono m, n interi tali che AB=nUV e CD=mUV. AB ha con CD la ratio che m ha con n. Dagli Elementi di Euclide

31 Per assurdo: Se AB e CD sono commensurabili, AB ha con CD la ratio di n con m (posso supp. n, m primi tra loro) Per il teorema di Pitagora, BD² = 2 AB² Dunque m² = 2n² m risulta pari, quindi n dispari; m pari quindi m=2k 4k² = 2n² quindi 2k² = n², quindi n pari Dagli Elementi di Euclide Nelle figure quadrate la diagonale è incommensurabile in lunghezza con il lato

32 Questa dimostrazione convince, ma “ forza a credere ” senza far cogliere il senso del perché la proposizione è vera Caratteristica tipica della dimostrazione nella geometria greca

33 La dimostrazione nella geometria greca La dimostrazione ha lo scopo di convincere l’interlocutore Sono preferiti gli argomenti altamente persuasivi (ex: il ragionamento per assurdo) Sono evitati quegli argomenti che potrebbero risultare “ deboli ” ed essere rifiutati, come i procedimenti all’infinito L’origine della dimostrazione è strettamente legata alla comparsa, a partire dal VI secolo a.C., della democrazia come forma di governo Nella vita politica delle città greche assume grande importanza il dibattito, l’argomentazione volta a contraddire l’avversario: le sue “regole” finiscono col caratterizzare l’attività intellettuale, quindi la filosofia e la matematica

34 Dimostrazione come atto sociale, che mira a convincere l’interlocutore: –L’interlocutore ammette un certo numero di punti (postulati) –Ragionamento deduttivo per portare l’interlocutore a consentire La dimostrazione nella geometria greca

35 Però… Convincere non sempre è facile Per evitare le obiezioni si evitano gli argomenti “pericolosi” (ex: infinito) e non si indica come la dimostrazione è stata prodotta La dimostrazione nella geometria greca Rischio: convincere senza far comprendere In questo modo si convince chi condivide la razionalità euclidea

36 “Allora il teorema di Pitagora è falso” C’è comprensione della dimostrazione per assurdo (un argomento va rifiutato) Ma… quale argomento si rifiuta? Commenti degli studenti Per gli studenti: AB e CD sono commensurabili (evidenza dalla figura vs segmento “ideale”) Non colgono che la commensurabilità è l’unico argomento “sotto esame” Il teorema di Pitagora può essere messo in discussione Razionalità matematica

37 Insoddisfazione perché l’argomento su cui si basa la dimostrazione (pari/dispari) è lontano da ciò che è in causa (segmenti incommensurabili) Argomentazione di tipo aritmetico Dimostrazione artificiosa (per assurdo) Commenti degli studenti

38 Altra dimostrazione della proposizione X, CXVII: metodo della sottrazione successiva Proposizione X,2: Se di due grandezze disuguali veniamo a sottrarre, sempre e vicendevolmente, la minore dalla maggiore, e quella restante non misura mai la precedente, le grandezze sono incommensurabili

39 Altra dimostrazione della proposizione X, CXVII: metodo della sottrazione successiva Si prende E tale che DE=DC. Si ha dunque BD-DC=BE Si prende poi la perpendicolare a a BD in E, che taglia BC in F. Si dimostra che BE=EF=FC. Allora la differenza BC-BE si può scrovere come: BC-BE=DC-FC=BF Ora occorre costruire la differenza BF-BE…

40 Problema dell’ infinito, rischio del rifiuto Procedimento diretto Procedimento che corrisponde direttamente al criterio di incommensurabilità Dimostrazione che “ illumina ”

41 La dimostrazione nel secolo XVII Critiche alla dimostrazione greca: Troppe dimostrazioni per assurdo Mancanza di metodi generali Mancata illustrazione del metodo di scoperta I greci hanno tramandato i risultati ma non la loro “arte”

42 La dimostrazione nel secolo XVII Critiche ai geometri greci (Arnaud & Nicole, 1674): Aver maggior cura della certezza che dell’evidenza Convincere gli spiriti anziché illuminarli Dimostrare cose che non hanno bisogno di essere dimostrate Dimostrazioni per impossibile, che convincono lo spirito senza illuminarlo, perché “ il nostro spirito non è affatto soddisfatto se non sa non solamente che una cosa è, ma anche perché è ” Dimostrazioni dedotte per vie troppo distanti Mancanza di metodo

43 La dimostrazione nel secolo XVII Critiche ai geometri greci Cartesio: Le dimostrazioni negli Elementi non descrivono il metodo usato. Sembra che i risultati siano stati scoperti per caso I greci hanno preferito far sparire la loro arte dell’invenzione

44 La dimostrazione nel secolo XVII I matematici cinesi: Apprezzano i risultati degli Elementi, ma non le dimostrazioni (troppo “verbose”) Distinguono nell’idea di dimostrare: –Convincere e persuadere –Far comprendere

45 La dimostrazione nel secolo XVII Ingegneri-matematici (Galileo, Cartesio, Pascal) Attenzione alla misura ed al funzionamento dei fenomeni più che alla loro spiegazione Creare metodi di risoluzione generale per classi di problemi simili (es: il metodo cartesiano) –Inventare nuovi risultati

46 La dimostrazione nel secolo XVII La dimostrazione ha lo scopo di illuminare e non solo di convincere Se dimostrare significa illuminare, rendere evidente e certo, allora un metodo che porta alla scoperta ha anche valore dimostrativo. Importanza dei metodi di scoperta, non solo del metodo deduttivo Metodo cartesiano : risolvere problemi geometrici riconducendosi a equazioni algebriche Analisi e sintesi: La sintesi strappa il consenso ma non soddisfa L’ analisi mostra la via per la quale la cosa è stata inventata

47 Prime riflessioni didattiche “Dimostrare” può avere diversi significati: –Quale significato per gli studenti? –Quale significato per l’insegnante? Se dimostrare significa illuminare, illustrare il metodo di risoluzione può avere valore dimostrativo Se la dimostrazione non ha solo lo scopo di convincere, perché nell’insegnamento si privilegia il metodo deduttivo? Se una cosa è evidente, per l’allievo non va dimostrata

48 La dimostrazione nel secolo XIX Nel secolo XVII, l’ evidenza è un valore positivo, è fonte di certezza Arnaud & Nicole criticano gli antichi greci, che dimostrano anche ciò che è evidente Legendre (1823) definisce un teorema come una verità che diventa evidente per mezzo di un ragionamento detto dimostrazione Ma… Bolzano (1817) si oppone alla concezione della dimostrazione come “fabbrica di evidenze”

49 La dimostrazione nel secolo XIX Bolzano critica le dimostrazioni che si fondano su una verità geometrica, anche se evidente. Una dimostrazione deve essere un fondamento e ciò che fonda una proposizione è poter stabilire delle relazioni tra questa proposizione ed altre proposizioni.

50 La dimostrazione nel secolo XIX “Rottura” legata alla crisi della geometria euclidea, seguita alla nascita delle geometrie non euclidee Si assiste ad una vera “perdita delle certezze”, cui i matematici cercano di porre rimedio rifondando la matematica su basi più sicure: Si pretende un maggiore rigore nelle dimostrazioni ed è rifiutato ogni ricorso all’ evidenza Gli assiomi non sono più, come in Euclide, delle verità evidenti e condivise da tutti, ma diventano dei “ punti di partenza ” liberamente scelti

51 La nascita delle geometrie non euclidee ha effetto: sulla geometria, in quanto mostra che è possibile costruire sistemi coerenti anche assumendo assiomi che non siano basati sull’evidenza fisica a livello più generale, suggerendo la possibilità di creare nuovi sistemi assiomatici in altri campi della matematica La nuova attenzione al rigore ed alla formalizzazione si traduce anche in una ripresa della geometria euclidea, che è riorganizzata in modo assiomatico Si realizza il programma di aritmetizzazione dell’analisi, che ha lo scopo di riprendere e definire in modo più rigoroso i concetti dell’analisi La dimostrazione nel secolo XIX

52 Il ricorso all’ evidenza ed all’intuizione è visto come la possibile causa di tutti gli errori del passato. Il concetto di dimostrazione cambia profondamente: se per Euclide la dimostrazione è un ragionamento che partendo da premesse vere arriva a conclusioni vere, nel secolo XIX e poi ancora più nel XX la dimostrazione diventa un processo formale che porta da formule ben definite di un certo linguaggio (gli assiomi) ad altre formule (i teoremi), attraverso l’applicazione di regole di inferenza. La dimostrazione nel secolo XIX

53 Hilbert: Non dobbiamo avere intuizione degli oggetti geometrici, ma solo conoscenza delle relazioni tra classi di oggetti, fornite dagli assiomi Assiomi come pure asserzioni formali Una proposizione è vera se non è contraddittoria con un sistema di assiomi Dimostrare è provare la non- contraddittorietà

54 Riflessioni didattiche Il concetto di dimostrazione ha conosciuto un’evoluzione storica Alla dimostrazione non va associato necessariamente il ragionamento deduttivo Dimostrare non è solo convincere Non basta essere convinti, si vuole anche essere illuminati

55 La dimostrazione nel XX secolo Agli inizi del XX secolo : dibattito sulla natura stessa della matematica (diverse correnti di pensiero: formalisti, logicisti, intuizionisti) Gödel : non è possibile dimostrare la non contraddittorietà della matematica all’interno della matematica stessa Quasi-empirismo di Lakatos: bisogna accettare il fatto che la matematica è fallibile per sua natura e che i suoi metodi sono in fondo simili a quelli delle scienze sperimentali (congetture e refutazioni)

56 Quasi-empirismo di Lakatos: Supponiamo che la congettura iniziale sia che tutti i poligoni con quattro lati e quattro angoli retti sono dei quadrati. Un controesempio a questa prima congettura è il rettangolo, che ha quattro lati, quattro angoli retti ma non è un quadrato. Se si aggiunge alla congettura iniziale la condizione nascosta “lati uguali”, il rettangolo non è più un controesempio. La nuova congettura è che tutti poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti sono dei quadrati. La dimostrazione non ha più lo scopo di certificare un teorema, ma è piuttosto un esperimento mentale attraverso cui si sottopone ad esame critico, ed eventualmente si migliora, una congettura

57 Dal questionario…

58 A convincere “il più possibile” lo studente della certezza di quanto i teoremi affermano. A che cosa serve la dimostrazione in classe? La dimostrazione in classe serve a mostrare agli alunni che ciò che gli viene trasmesso non deve essere acquisito come verità assoluta di per sé, ma deve essere motivato e supportato da dimostrazione. A far vedere che le cose che si dicono sono vere anche se a volte possono sembrare poco convincenti. È uno strumento che aiuta lo studente a comprendere la validità e veridicità della tesi, che aiuta anche a generalizzare dal singolo esempio.

59 Credo sia importante perché è un esempio chiaro di ragionamento deduttivo. Serve inoltre per prendere confidenza con il formalismo che contraddistingue la matematica più teorica. Serve inoltre ad abituare gli alunni al linguaggio della matematica e al rigore logico. A che cosa serve la dimostrazione in classe? A sviluppare abilità logiche e deduttive, e l’abitudine alla coerenza.

60 Mostra in che modo si forma il sapere scientifico, insegnando ai ragazzi che un’idea scientificamente è valida se a partire da un’ipotesi vera è rigorosamente dimostrata con metodi ritenuti validi da tutti e non soggettivi. Pensando alla dimostrazione di teoremi, la dimostrazione serve per insegnare ad individuare quali sono i concetti noti da cui si parte (le ipotesi) e qual è il concetto che si vuole acquisire (tesi). A questo punto ogni teorema (per esempio) dimostrato può diventare un mezzo per la dimostrazione di altri. Questo permette di capire anche come ci si costruisce il materiale di supporto per continuare ad evolvere. A che cosa serve la dimostrazione in classe? Fondamentalmente a far capire allo studente come funziona la matematica, il suo linguaggio, la sua logica e il suo rigore.

61 Le cose motivate e dimostrate si ricordano di più. Ad abituare gli studenti a porsi in modo critico di fronte ad un’affermazione matematica, evitare che gli studenti apprendano gli enunciati di teoremi a memoria senza capirne il significato. A che cosa serve la dimostrazione in classe? A fare acquisire agli alunni i concetti matematici che l’insegnante via via introduce

62 Può servire per formare la capacità di ragionare, argomentare, dedurre Imparare a dimostrare in matematica può essere utile per imparare ad argomentare e porsi in modo critico di fronte a qualsiasi affermazione. A che cosa serve la dimostrazione in classe? Ritengo che la dimostrazione in classe serva non solo all’apprendimento e all’elaborazione della matematica, ma anche allo sviluppo di facoltà cognitive essenziali nella vita di una persona. Imparare a dimostrare vuol dire infatti essere capaci di argomentare scelte in modo essenziale e, fissato un linguaggio comune, comprensibile a chiunque utilizzi la logica nel ragionare.

63 A che cosa serve la dimostrazione in classe? Convincere della validità / abituarsi a dubitare e giustificare Imparare il linguaggio matematico, il rigore, il formalismo… Imparare “come funziona la matematica” Imparare i concetti / cogliere il senso dei teoremi / ricordare i teoremi senza impararli a memoria Imparare a ragionare, ad argomentare

64 Che spazio riserveresti alla dimostrazione nelle tue lezioni, anche in relazione al tipo di scuola? Riserverei ampio spazio nel liceo scientifico e classico, ne dedicherei meno nelle altre scuole, limitandomi a dimostrazioni più semplici. Forse non ne proporrei affatto negli istituti professionali. Nei licei specialmente scientifico cercherei di dimostrare sempre quanto viene detto in modo che le cose sembrino fondate e non casuali. Per le dimostrazioni più complesse o magari non difficili ma macchinose darei almeno un’idea dei passi che portano al risultato finale. In altre scuole almeno la dimostrazione per sommi capi dei fatti più importanti. È uno strumento utile per formare i ragazzi al ragionamento e ad argomentare in modo corretto le proprie affermazioni. Quindi potrebbe avere un peso importante in una scuola che deve formare i ragazzi al ragionamento (quindi un liceo per es.) più che in un istituto tecnico dove forse può avere più importanza il risultato del processo, in vista anche di uno sbocco lavorativo più immediato.

65 Che spazio riserveresti alla dimostrazione nelle tue lezioni, anche in relazione al tipo di scuola? Molto dipende dal tipo di classe, oltre che dal tipo di scuola. Solitamente i licei abituano e utilizzano molto la dimostrazione, negli istituti tecnici si sorvola di più. Ma quando le classi sono partecipi, presentano buone potenzialità può essere interessante utilizzare e approfondire con la dimostrazione (stimolando perché i ragazzi possano arrivare a dimostrare qualcosa loro).

66 Che spazio riserveresti alla dimostrazione nelle tue lezioni, anche in relazione al tipo di scuola? La dimostrazione dovrebbe occupare la maggior parte del tempo (specie in un liceo scientifico). Meglio poche definizioni e più dimostrazioni, magari svolte direttamente dagli studenti per far scoprire piuttosto che fornire tanti enunciati e regole. Mi piacerebbe far lavorare molto gli studenti sulle dimostrazioni, evitando magari il lavoro di imparare a memoria dimostrazioni già fatte, ma più ad esempio su problemi di geometria euclidea (anche facili). Questo in ogni scuola che comprenda una parte di geometria euclidea. Forse in altri casi l’importanza potrebbe essere ridotta.

67 Che spazio riserveresti alla dimostrazione nelle tue lezioni, anche in relazione al tipo di scuola? In genere non riserverei ampio spazio alla dimostrazione. In geometria: trovo utile che gli alunni sappiano individuare le ipotesi e la tesi in un teorema e si rendano conto di come si traducono le informazioni con un disegno. Successivamente dall’analisi o meglio osservazione del disegno cercare di insegnare come avere delle “intuizioni” per utilizzare teoremi già visti. In algebra: la dimostrazione la vedo più istruttiva perché se si “dimostra” si fa esercizio e spesso si utilizzano “trucchetti”. Credo che, laddove l’interesse, la curiosità e la critica dei ragazzi lo consenta, sia assolutamente necessario riservare ampio spazio al concetto di dimostrazione ed alla tecnica dimostrativa. Ritengo infatti che educare alla dimostrazione sia fondamentale per la vita e non solo per la matematica, in quanto implica l’educazione alla logica, alla critica, all’essenzialità, al discernimento. Queste considerazioni valgono, a mio parere, indipendentemente dalla scuola. I ragazzi devono essere formati al di là della scelta fatta. Ciò che può cambiare è il livello e la difficoltà delle dimostrazioni proposte.

68 Che spazio riserveresti alla dimostrazione nelle tue lezioni, anche in relazione al tipo di scuola? Tipo di scuola Tipo di studenti Tipo di attività legate alla dimostrazione: problemi di dimostrazione, dimostrazioni mostrate dall’insegnante Valore formativo della dimostrazione

69 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? “Nei confronti delle dimostrazioni”  almeno due situazioni: -studenti che studiano (capiscono / riproducono) le dimostrazioni fatte da altri -studenti che dimostrano in prima persona - Dimostrazione come problem solving - Dimostrazione come concatenazione logica

70 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? Devono effettuare un procedimento nuovo e ragionare sulle proprietà e sulle implicazioni di tali proprietà. È difficile perché non esiste un “metodo risolutivo” adattabile a tutte le dimostrazioni come invece accade, ad esempio, alle equazioni di secondo grado. La più grande difficoltà, a mio parere riguarda il fatto che, un po’ come i problemi aperti, non conoscono un procedimento univoco e meccanico di procedere, ma devono congetturare, seguire intuizioni ed esplorare strade diverse.

71 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? Penso che la difficoltà maggiore è da attribuire alla poca dimestichezza che lo studente ha con la dimostrazione, ritengo che se si riesce ad abituarli alla dimostrazione poco alla volta incontreranno difficoltà sempre minori. È difficile raccogliere le idee, riuscire a riconoscere cosa può servire, essere utile e cosa no.

72 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? L’astrazione e la capacità di analisi-sintesi a cui i ragazzi sono sempre meno abituati, perché comportano fatica e capacità metacognitive che, ahimé, non si sviluppano da sole ma vanno esercitate.

73 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? Capire da dove si parte, ovvero le ipotesi, e dove si vuole arrivare, ovvero la tesi. Difficoltà essenzialmente logiche, confusione di ipotesi e tesi (scarsa dimestichezza nell’interpretare il valore logico dei passaggi), perdita di orientamento in caso la dimostrazione sia suddivisa in sottodimostrazioni.

74 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? Problemi anche certamente di linguaggio e formalismo anche simbolico. Un altro tipo di difficoltà riguarda il tradurre in linguaggio matematico la dimostrazione. Infine, a volte, nel caso di dimostrazioni geometriche entra in gioco la difficoltà di comprensione dell’enunciato e la conseguente rappresentazione grafica.

75 Secondo te, quali sono le difficoltà incontrate dagli studenti nei confronti delle dimostrazioni? Trovarne il senso. Credo che sia una forma di attività difficile soprattutto perché a volte si segue passo passo una dimostrazione, più raramente si ha una percezione intuitiva dell’intero processo.

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