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Esercizi02 Variabili aleatorie unidimensionali, media, varianza, mediana, moda, quantili.

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Presentazione sul tema: "Esercizi02 Variabili aleatorie unidimensionali, media, varianza, mediana, moda, quantili."— Transcript della presentazione:

1 Esercizi02 Variabili aleatorie unidimensionali, media, varianza, mediana, moda, quantili.

2 ottobre 2008 Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a. Media di una v.a.: sia X una v.a. (dotata di punti di massa x j e legge p X (x) se discreta, di funzione di densità f X (x) se continua). La media E[X] è data da: a patto che queste quantità esistano; Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X ; la varianza di X, indicata con 2 X, o Var(X) è data da: se queste quantità sono definite.

3 ottobre 2008 Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili Data la funzione di ripartizione F X di una v.a. X la mediana è il minimo valore m tale che Analogamente si dice quantile q-esimo (0

4 ottobre 2008 Esercizio 1: testo Quattro autobus portano 148 studenti allo stadio di football; gli autobus portano rispettivamente 40, 33, 25 e 50 studenti. Scegliamo a caso uno degli studenti, e denotiamo con X il numero degli studenti che hanno viaggiato sullautobus dello studente scelto a caso. Scegliamo a caso ora uno dei conducenti dei bus e denotiamo con Y il numero degli studenti che hanno viaggiato sul suo autobus. n Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché? n Si calcolino E[X] ed E[Y]

5 ottobre 2008 Esercizio 1- Soluzione n A voi: proposte? n Che valori può assumere la variabile X? Quindi siamo capaci di calcolare la sua media: Un discorso analogo vale per Y:

6 ottobre 2008 Esercizio 1- Soluzione Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y: Le due variabili assumono valori identici ma con differenti probabilità.

7 ottobre 2008 Esercizio 2: testo e soluzione del punti 1 Sia X una variabile aleatoria tale per cui E(X)=1, e Var(X)=5. Si calcoli: E [(2+X) 2 ]; Var(4+3X); SVOLGIMENTO Calcoliamo la media: Ci manca E[X 2 ], ma possiamo ottenerlo con la formula Si ottiene perciò

8 ottobre 2008 E la varianza, sarà Esercizio 2: testo e soluzione del punto2

9 ottobre 2008 Esercizio 3: testo Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. Sia X la v.a. che conta il numero di assi contenuti nelle 5 carte. Dire quali sono le determinazioni di X ed indicare la sua funzione di densità discreta.

10 ottobre 2008 Esercizio 3- Soluzione Tra le 5 carte pescate si possono presentare 0, 1, 2, 3 oppure 4 assi. Con quale probabilità?

11 ottobre 2008 Esercizio 3- Soluzione Tali probabilità rappresentano la densità discreta della variabile X. Si possono allora disegnare i grafici della densità discreta p X (x) e della funzione di ripartizione F X (x):

12 ottobre 2008 Esempio Si tirano due dadi indipendenti e non truccati, e si denota con la lettera X la v.a. definita dalla loro somma. Ricaviamo la densità discreta di X: X assume tutti i valori interi da 2 a 12, con probabilità specificate dalle equazioni precedenti; poiché X deve necessariamente assumere uno di questi valori, segue che se varrà che

13 ottobre 2008 Esercizio 5: testo e soluzione Sia, dove I A (t) è la funzione indicatrice dellinsieme A, la f.d.r. di una v.a. X : Considerando che il grafico di F X (t) è il seguente, dire quali delle seguenti sono vere e quali false: V F F V V

14 ottobre 2008 Esercizio 6: testo Una v.a. continua ha densità Determinare la costante di normalizzazione k, e poi calcolare Calcolare inoltre il valore atteso e la mediana di X.

15 ottobre 2008 Esercizio 6- Soluzione k deve essere tale che perciò Inoltre

16 ottobre 2008 Esercizio 6- Soluzione Calcoliamo il valore atteso: Poiché X è continua, la mediana è il valore m tale che. Per si ha: e perciò la mediana deve soddisfare

17 ottobre 2008 Esercizi per voi La funzione è una funzione di densità? Se lo è, calcolatene la corrispondente funzione di ripartizione. Determinare la mediana ed il terzo quartile delle variabili aleatorie definite dalle seguenti funzioni di densità: Determinare il k-esimo quantile m p ( con ) in funzione di p, per la variabile aleatoria di densità Sapendo che calcolare


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