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Esercizio n.16 Dare un limite massimo all’errore commesso: a) alla seconda iterazione col metodo Newton-Raphson per risolvere la x 3 + 2x 2 + 10x  20.

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1 Esercizio n.16 Dare un limite massimo all’errore commesso: a) alla seconda iterazione col metodo Newton-Raphson per risolvere la x 3 + 2x x  20 = 0, partendo da x 0 = 1.5 b) alla quarta iterazione per risolvere la x 3 + 2x x  20 = 0, scrivendola come x = x/2 + (20  x 3  2x 2 )/20 e partendo da x 0 = 1.5 Si consideri che la radice esatta si trova in [1,1.5]

2 Soluzione n.16a f (x) = x 3 + 2x x  20; f (x) = 0; x 0 = 1.5 Metodo di Newton-Raphson Essendo f (x) = 3x 2 + 4x + 10 (parabola senza inters. con l’asse x) ed f  (x) = 6x + 4 si ha che, in [1,1.5], Dunque m = |(13/17) h 1 | = < 1 per cui si può applicare il teorema sull’errore del metodo iterativo il quale afferma che Nel nostro caso n = 2 e l’errore d’arrotondamento in tutti i valori h n è  = 5  10  5, dunque: (poichè f (x) ha il minimo assoluto in  2/3 e in [1,1.5] ha il minimo relativo in 1).

3 Soluzione n.16b F(x) = x/2 + (20  x 3  2x 2 )/20 ; x = F(x) ; x 0 = 1.5 Metodo iterativo Essendo, in [1,1.5], |F (x)|  |10  3x 2  4x|/20  |F (1.5)|/20 = 11/80 = m ed essendo gli errori d’arrotondamento sulle F(x n ),  = 5  10  5 possiamo applicare la diseguaglianza che per n = 3 fornisce:


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