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Distribuzione Normale o Curva di Gauss. E la più importante distribuzione di variabili casuali continue, in quanto descrive la distribuzione di probabilità

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Presentazione sul tema: "Distribuzione Normale o Curva di Gauss. E la più importante distribuzione di variabili casuali continue, in quanto descrive la distribuzione di probabilità"— Transcript della presentazione:

1 Distribuzione Normale o Curva di Gauss

2 E la più importante distribuzione di variabili casuali continue, in quanto descrive la distribuzione di probabilità della maggior parte dei fenomeni quantitativi antropometrici. E detta anche curva degli errori accidentali perché descrive la probabilità di commettere un errore accidentale in misure ripetute della stessa grandezza Presenta una tipica forma a campana, è unimodale e simmetrica, presenta il punto di massimo in corrispondenza della media, coincidente con mediana e moda, e tende a zero man mano che la distribuzione tende asintoticamente a - e +. Al centro della distribuzione, la curva si presenta più o meno dispersa e la misura della dispersione intorno alla media è data dalla deviazione standard. Media e deviazione standard sono detti rispettivamente il parametro di locazione e di scala della distribuzione

3 Curva degli errori accidentali Lerrore accidentale è lerrore di misura che si commette per un insieme di cause tra loro indipendenti e non individuabili Gli errori accidentali mediamente si annullano La probabilità di un errore di segno positivo è uguale alla probabilità di un errore di segno negativo Allaumentare dellentità dellerrore, la probabilità di commetterlo si riduce. Al limite, la probabilità di commettere un errore infinitamente grande è uguale a zero.

4 4 Distribuzione Normale La v.c. Normale X, è una v.c. continua che può assumere valori su tutto lasse reale. La funzione di densità è data da: - 2 >0

5 5 Distribuzione Normale

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7 Esistono una doppia infinità di curve, per ogni possibile valore di μ e σ 2 Volendo calcolare la probabilità che x sia compreso entro due possibili valori x 1 ed x 2, vi sono due possibilità: 1.Si calcola lintegrale della funzione normale nellintervallo [x1,x2] 2.Si trasforma la funzione normale con parametri μ e σ 2 nella distribuzione normale standard per la quale gli integrali sono stati calcolati e tabulati

8 8 Distribuzione Normale Proprietà Ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale è ancora una v.c. Normale La somma di due v.c. Normali indipendenti è ancora una v.c. Normale con media e varianza pari, rispettivamente, alla somma delle medie e delle varianze delle due v.c. Normali.

9 9 Curtosi indice di curtosi di Pearson indice di curtosi di Fisher = - 3 >0 se leptocurtica =0 mesocurtica <0 platicurtica

10 La linea blu descrive la funzione di densità Normale e larea ad essa sottesa è pari ad 1. Ciascuna porzione dellarea misura una probabilità La curva normale è simmetrica e mesocurtica

11 11 La v.c. Normale Standardizzata Z Se la v.c. X ha una distribuzione normale con parametri e 2, allora Z= (X-)/ è ancora una v.c. Normale con media nulla e varianza unitaria.

12 12 Funzione di ripartizione Normale standardizzata permette di semplificare i calcoli delle aree sottese dalla funzione di densità. Il calcolo dellarea sottesa nellintervallo [-2,2]

13 Attraverso una semplice trasformazione lineare è possibile passare da una qualunque curva Normale alla Normale standard La Normale standard E la curva normale avente media zero e varianza 1 Attraverso la trasformazione inversa è possibile tornare dalla Normale standard ad una qualunque curva Normale con media μ e deviazione standard σ

14 68.2% 95.4% Utilizzando la distribuzione normale è possibile calcolare la probabilità che unosservazione abbia un valore superiore (o inferiore) ad una determinata soglia. Larea compresa nellintervallo è uguale a 99.7%

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16 Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con media 170 e deviazione standard 4 cm. Calcolare: 1.Si standardizzano i valori: P2P2 P1P1

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18 Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con media 170 e deviazione standard 4 cm. Calcolare: 1.Si standardizzano i valori: P2P2 P1P1

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20 Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con media 170 e deviazione standard 4 cm. Calcolare il 15° Percentile: 1.Si determina il percentile della normale standardizzata che stacca alla coda inferiore una probabilità pari a 0.15: Z=-1.04 x= %

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22 Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con media 170 e deviazione standard 4 cm. Calcolare il 65° Percentile: 1.Si determina il percentile della normale standardizzata che stacca alla coda inferiore una probabilità pari a 0.65 e quindi alla coda superiore lo 0.35: z=0.39 x= %

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