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Fulvia Furinghetti Dipartimento di Matematica, Università di Genova INSEGNARE GEOMETRIA.

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Presentazione sul tema: "Fulvia Furinghetti Dipartimento di Matematica, Università di Genova INSEGNARE GEOMETRIA."— Transcript della presentazione:

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2 Fulvia Furinghetti Dipartimento di Matematica, Università di Genova INSEGNARE GEOMETRIA

3 1911

4 David E. Smith (USA, )

5 Inizia con una lista delle ragioni per cui non studiare geometria Non perché è utile Non perché educa la memoria

6 Inizia con una lista delle ragioni per cui non studiare geometria Non perché è utile Astronomi medievali --- poligoni stellati Costruttori di cattedrali --- compasso a apertura fissa arte rinascimentale --- prospettiva e curve Il primo trattato stampato sulle curve è di Dürer XVI e XVII secolo geometria pratica (misura di distanze) --- trigonometria …

7 Ha un valore culturale? Molti lo negano William J. Locke, The morals of Marcus Ordeyne

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9 Ma l’opinione di quei molti riguarda la geometria o come è stata loro insegnata la geometria? Che cosa si può dire delle altre materie?

10 Il piacere Perché studiare la geometria

11 Offre la migliore applicazione della logica che abbiamo a disposizione

12 Eterno dilemma sulle finalità nell’insegnamento della matematica e sulla sua utilità

13 Rivoluzione francese École Polytechnique

14 Gaspard Monge ( )

15 James Hargreaves ( ): filatoio meccanico 1764 probabilmente analfabeta Edmund Cartwright ( ): telaio meccanico 1785 prete con formazione universitaria James Watt ( ): motore a vapore ha lavorato all’università di Glasgow, ma non come accademico, bensì come costruttore di strumenti George Stephenson ( ): lampada di sicurezza dei minatori 1815, prima locomotiva 1814, prima ferrovia 1820, autodidatta, ha seguito lezioni serali La teoria sottostante alle invenzioni di Watt e Stephenson è stata elaborata da Sadi Carnot negli anni 1820 in Francia

16 Non c’è solo la costruzione teorica degli Elementi di Euclide, ma c’è anche una tradizione “pratica”

17 Manuale del tardo medioevo

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19 Manuali del ‘600 e ‘700

20 Leclerc

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22 Sculture di Santo Varni alla biblioteca universitaria

23 Alexis Claude Clairaut ( )

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25 Adrien-Marie Legendre ( ) La linea retta è il più corto cammino tra due punti

26 Dall’Ottocento la geometria (euclidea) entra nei programmi di ogni tipo di scuola Diventa un argomento “tradizionale” quasi “conservatore”

27 Ha avuto uno strano destino: è stata al centro di importanti rivoluzioni Inizio 1900 Anni (Matematica Moderna) Calcolatore

28 Nell’Ottocento in UK gli esami di ammissione alle università di Cambridge, London e Oxford consistevano in esercizi meccanici di geometria euclidea Augustus De Morgan e James Sylvester sono tra i critici di questo orientamento Ci furono grandi discussioni a partire dagli anni 1870 con echi anche in Italia (dove era stato proposto Euclide)

29 ‘The teaching of mathematics’ (Nature, 1900, ) John Perry’s address on ‘The teaching of mathematics’ nella sezione ‘Education’ della British Association (1901)

30 In England we have a ruling class whose interests are sporting, athletic and literary. They do not know, or if they know do not realise, that this western civilisation on which they are parasitic is based on applied mathematics. This defect will lead to difficulties, it is curable and the place for curing it is schoo l. The young applier of physics, the engineer, needs a teaching of mathematics which will make his mathematical knowledge part of his mental machinery, which he shall use [readily and certainly]. [This] method is one which may be adopted in every school in the country, and adopted even with the one or two boys in a thousand who are likely to become able mathematicians.

31 La sua idea di matematica pratica era diretta particolarmente alla geometria. Nelle sue linee di base la geometria dovrebbe essere un lavoro sperimentale con riga, compasso, goniometro, squadre, carta da ritagliare. La matematica secondaria della UK è rifondata Resteranno echi in tutto il XX secolo L’idea di laboratorio di matematica

32 Nelle grandi riforme all’inizio del 1900 (Felix Klein in Germania, Borel e i grandi analisti in Francia) Introduzione della geometria analitica e ruolo della visualizzazione

33 In Italia le cose vanno diversamente Diverso livello di industralizzazione 1868 Gli Elementi di Euclide curati da Betti, Brioschi (Cremona) Alla fine dell’Ottocento molti ottimi libri di geometria 1903 Enriques-Amaldi

34 Matematica moderna

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36 Jean Dieudonné

37 Modifiche nei programmi Teoria degli insiemi Sviluppo di nozioni algebriche: legge di composizione in un insieme, nozione di gruppo, anello, corpo Introduzione precoce dell’analisi Nozioni eliminate Geometria euclidea À bas Euclide

38 15-18 produced by the commissions, the Cartesian plane is defined as a vector space of dimension two with a scalar product. In line with the proposals of Choquet (OEEC, 1962), these concepts had to be introduced via axioms. For the ages a more intuitive approach to geometry was recommended, in line with the proposals by Paul Libois.

39 L’eliminazione della geometria euclidea è fondata su due argomenti: Argomento teorico I lavori assiomatici seguiti a Hilbert hanno mostrato la “pretesa” di rigore in Euclide e il ricorso frequente all’intuizione. Nell’algebra la presentazione rigorosa è possibile Argomento pratico La geometria tradizionale è inutile e pedante

40 Atti di ICME-2 (1972, Exeter, UK) International Conference on Mathematical Education

41 Sottolinea la contraddizione di un insegnamento che è euristico in principio, ma è basato sulla matematica astratta. Questo è contro il modo usuale di fare matematica che va dal concreto all’astratto. René Thom ( ) La matematica moderna esiste?

42 1.Il modernismo. Le necessità culturali e strumentali dei matematici devono necessariamente ricadere sull’insegnamento secondario? 2. Di tutti i “giochi” la geometria è quello meno gratuito, poiché si riferisce costantemente all’intuizione 3. Se si afferma che la geometria è riservata una élite si fa un discorso sociologico (che Thom non vuole affrontare, siamo nel dopo 1968) 4. Comunque le strutture algebriche non sono più semplici a imparare 5. Rigore (catene di deduzioni locali) 6. Genesi dello spazio nei bambini

43 1974, Mathématiques modernes et mathématiques de toujours Il problema da affrontare nell’insegnamento della matematica non è un problema di rigore, ma di senso

44 Si sviluppano molti importanti progetti (School Mathematics Project in UK) Gli anni 1960 sono fecondi di inziative

45 Inchiesta sugli insegnanti Scomparsa della geometria parallela = scomparsa della dimostrazione Conseguenze della matematica moderna La scomparsa della geometria

46 “Pertanto sembrano giustificate alcune mie scelte di base che sono risposte alle seguenti domande: -Perché introdurre la geometria elementare del piano euclideo? perché occorre rafforzare la componente formativa (in tutti i tipi di scuola) -Come introdurla in un biennio attuale di scuola secondaria? non come sistema ipotetico deduttivo ma come alcune catene deduttive Quali sono le difficoltà che si incontrano? L’impressione che gli studenti hanno di uscire da schemi procedurali unita alla necessità di fare uso del metalinguaggio li pone spesso in condizioni di rifiuto Con quale strategia introdurla? tra il livello intuitivo/sperimentale della scuola media inferiore e quello assiomatico, occorre inserire un livello intermedio, che Francesco Speranza ha definito “di razionalizzazione progressiva””

47 calcolatore

48 Dato un triangolo rettangolo ABC, AB (ipotenusa). Prendere un punto P su AB. Tirare le rette parallele a AC e BC per P. Detti H e K i punti di intersezione con AC e BC rispettivamente. Per quale posizione di P il segmento HK ha lunghezza minima?

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50 Dato il quadrilateralo ABCD, si considerino le bisettrici dei quattro angoli interni: Sia H il punto d’intersezione delle bisettrici in

51 Alex e Luca

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55 è dato un quadrilatero ABCD. Considera le bisettrici dei quattro angoli interni e le loro intersezioni H (intersezione delle bisettrice dell’angolo in A con la bisettrice dell’angolo in B), K (intersezione della bisettrice dell’angolo in B con la bisettrice dell’angolo in C), L (intersezione della bisettrice dell’angolo in C con la bisettrice dell’angolo in D) e M (intersezione della bisettrice dell’angolo in D con la bisettrice dell’angolo in A) che danno origine a un quadrilatero. Proposta di lavoro: come varia HKLM al variare di ABCD? Dimostrate qualcuna delle congetture prodotte.

56 1 a fase gli studenti trascinano i vertici A, B, C, D casualmente. È un trascinamento “ alla cieca ” utilizzato per farsi venire in mente idee, anche se di una forma particolare, quasi statica, nel senso che gli studenti trascinano per poco e poi si soffermano più a lungo su una configurazione fissa. Durante questo trascinamento gli studenti passano per la seguente configurazione, nella quale i punti H, K, L, M sono quasi sovrapposti:

57 2 a fase l a modalità di dragging ora cambia in modo significativo: Alex e Luca decidono di prestare attenzione al quadrilatero HKLM. In realtà, per far variare HKLM non hanno altra alternativa che agire sui vertici A, B, C, D, ma l’oggetto della loro attenzione non è il quadrilatero ABCD. In altri termini, essi stabiliscono una particolare configurazione di HKLM (un punto, un quadrato, un rettangolo, un rombo, un parallelogramma, un trapezio) e muovono i vertici A, B, C, D in modo tale che il quadrilatero HKLM rimanga nella particolare configurazione scelta

58 Ad Alex e Luca è offerta la significativa opportunità di rendersi conto che il quadrilatero HKLM degenera in un punto non solo se ABCD è un quadrato o un rombo, ma anche in altri casi

59 3 a fase “Abbiamo allora cercato una relazione tra queste figure che si ottengono con la stessa configurazione della figura interna. Svolgendo questa ricerca abbiamo scoperto un teorema che abbiamo così formalizzato: quando le bisettrici di un quadrilatero si intersecano in un unico punto P, questo punto è il centro di una circonferenza inscrittibile nel quadrilatero”

60 4 a fase Abbiamo quindi cercato di dimostrarlo: per fare ciò ci siamo serviti di due rette passanti per il centro che siano perpendicolari a due lati adiacenti del quadrilatero Passano a carta e matita

61 Hp: PQ  BC PO  DC OC^P = QC^P TS: PQ = PO (raggi della circonferenza) Dimostrazione

62 Prendiamo in considerazione i triangoli POC e PQC. Dobbiamo dimostrare che sono congruenti. Sappiamo che PQ^C e PO^C sono entrambi retti e quindi congruenti; sappiamo inoltre QC^P e OC^P sono congruenti, e siccome PC è in comune, per il quarto criterio di congruenza dei triangoli POC e PQC sono congruenti e in particolare sono congruenti PQ e PO, che quindi sono due raggi della circonferenza inscritta nel quadrilatero ABCD

63 La dimostrazione non è ovviamente completa, ma basterebbe poco per renderla del tutto accettabile. In ogni caso risulta chiaro che gli studenti, in questa fase, hanno cambiato modalità di comunicazione, ponendo attenzione non ai fatti che si osservano sullo schermo, ma alla loro giustificazione all’interno della geometria euclidea L’idea di tracciare le perpendicolari (e quindi di effettuare una costruzione) è venuta in modo naturale dopo l’esplorazione in Cabri

64 Notiamo che Alex e Luca, al contrario di altri studenti, non usano Cabri in fase di dimostrazione. La dimostrazione viene condotta totalmente con carta e matita

65 5 a fase “Facendo un passo indietro possiamo dire che tra le figure ottenute con una particolare configurazione di HKLM (in questo caso la sovrapposizione di H, K, L, M), abbiamo osservato in comune solo la validità del teorema appena dimostrato. Conosciamo quindi il teorema che dice che un quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza quando le somme dei lati opposti sono uguali (AB+CD =AD + BC). E quindi possiamo dire che H, K, L, M si sovrappongono quando AB+CD = AD + BC”

66 Legame geometria-algebra attraverso la storia (Cartesio)

67 Dato un triangolo ABC, costruire un retta passante per un P appartenente ad AB e che divide il triangolo in due parti di uguale area A B C P

68 Area trUPB: xdsen B Area trABC: acsen B xdsen B = 1/2 acsen B xd = 1/2 ac x : c = 1/2 a : d

69 1 2 3

70 Furinghetti, F. (1998). La tradizione italiana nell’insegnamento della geometria. La Matematica e la sua Didattica, n. 2, Furinghetti, F., Olivero, F. & Paola, D. (2001). Students approaching proof through conjectures: snapshots in a classroom. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32, Furinghetti, F. & Paola, D. (2003). To produce conjectures and to prove them within a dynamic geometry environment: a case study. In N. A. Pateman, B. J. Dougherty, J. T. Zilliox (Eds.), PME 27-PMENA (2, ). Howson, A.G. (1982). A history of mathematics education in England. Cambridge etc: C. U. P. Howson, A. G. (2010). Mathematics, society, and curricula in nineteenth- century England. International Journal for the History of Mathematics Education, 5(1), Smith, D. E. (1911). The teaching of geometry. Boston: Ginn and company. Thom, R. (1979). La matematica moderna: esiste? In C. Sitia, C. (Ed.) La didattica della matematica oggi, ; traduzione dell’articolo in Howson, A. G. (Ed.) Proceedings ICME 2 (Exeter, 1972). Thom, R. (1974). Mathématiques modernes et mathématiques de toujours. In Pourquoi les mathématiques? Editions 10/18 Van Maanen, J. (1992). Seventeenth century instruments for drawing conic sections. The Mathematical Gazette, 76(476),


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