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GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON.

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1 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008

2 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Gli Elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

3 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Gli Elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

4 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Manuale di gioco

5 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Sistema assiomatico Termini (primitivi e definiti) Assiomi e postulati Teoremi

6 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Termini

7 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Postulati

8 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Assiomi

9 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Proposizioni Le prime 28 e la 31 sono indipendenti dal V postulato Dipendono dal V postulato tutte le altre, tra cui la 29, la 32, la 47 (Teorema di Pitagora) La 17 è l’inversa del V, la 29 è l’inversa della 27 e 28, la 32 implica la 16 e 17 Proposizione 17: In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti. Proposizione 27: Se una retta che venga a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni interni uguali tra loro, le due rette saranno tra loro parallele. Proposizione 29: Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. Proposizione 32: In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti.

10 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Digressione

11 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

12 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008

13 Formulazioni equivalenti

14 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Elenco di enunciati sostitutivi

15 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 La geometria assoluta

16 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

17 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Dalla pallavolo al beach volley: il punto di vista del matematico moderno

18 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste più di una retta passante per P e parallela ad r Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r N1N2

19 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 In un triangolo la somma degli angoli interni è uguale a 180° Saccheri In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180° In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180° N1N2

20 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Geometria o geometrie? “

21 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Libertà!

22 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 La rivoluzione non euclidea Carl Friedrich Gauss ( ) Immanuel Kant ( )

23 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Kant … e i Munduruku

24 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Come violette a primavera Due giuristi: Schweikart ( ) e Taurinus ( ) … … un militare Bolyai ( ) … e un matematico Lobačevskij ( )

25 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Letteratura

26 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Geometrie diseducative? PRO Giuseppe Battaglini ( ) Eugenio Beltrami ( ) … CONTRO Giusto Bellavitis ( ) Angelo Genocchi ( ) Luigi Cremona ( ) Francesco Brioschi ( ) Giornale di matematiche ad uso degli studenti «geometrie del soprasensibile» o «da manicomio» «i geometri non euclidei hanno una comprensione oscura e menti ingannevoli, e l’insegnamento della geometria immaginaria o non euclidea nelle università e nelle scuole darebbe origine a una razza di studenti arrogante e sciocca, che potrebbe compromettere la società» «a causa delle sue implicazioni filosofiche l’insegnamento della geometria non euclidea si rivelerà molto utile alla gioventù. Infatti, essa dilata il confine delle nostre idee, e può dar luogo a meditazioni elevate e feconde» «racconti di fate», «elucubrazioni deliranti di un professore universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per merito della sua megalomania», «è la ragione che impone il dovere di fare un po’ di pubblicità alla geometria non euclidea, e quest’obbligo è tanto più pressante in quanto l’Italia, divenuta felicemente Nazione, è particolarmente interessata a che la sua gioventù sia al corrente dell’ininterrotto progresso delle scienze esatte». «la geometria non euclidea non può procurare agli studenti altro che stanchezza, vuotezza, arroganza e stupidità» « solo un’incredibile ignoranza può spingere a impedirne lo studio » «i tentativi di rinnovamento radicale dei principi sono il portato naturale dello spirito critico, e quando si presentano come frutto di investigazioni coscienziose e di convinzioni sincere il dovere degli uomini di scienza è di discuterli con animo sereno, tenendosi lontano ugualmente dall’entusiasmo e dal disprezzo».

27 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Libertà: l’influenza sull’arte moderna «se si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non euclidei, meditare su certi [loro] teoremi» Du cubisme (1912), Albert Gleizes e Jean Metzinger «Lobačevskij ha fatto esplodere l’assolutismo di Euclide. Con Gauss e Riemann egli ha distrutto il rigido spazio euclideo. Tutti gli oggetti matematici che essi hanno stabilito sono inimmaginabili e inaccessibili alla sensazione. Lo schiudersi della nuova epoca, annunciata dalla costruzione di nuovi mondi matematici, portava con sé una tentazione, e gli artisti non hanno saputo resistere alla sua forza seduttrice. […] Noi abbiamo deciso di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che, in effetti, essi erano incapaci di concepire». Eliezer El Lissitzky ( ) «Un quadro è l’arte di far incontrare due linee, di cui si constata geometricamente il parallelismo, su una tela, davanti ai nostri occhi, nella realtà di un mondo trasfigurato che segua nuove condizioni e possibilità» Tristan Tzara ( ) Pelham Grenville Wodehouse, Herbert George Wells, Oscar Wilde, Joseph Conrad, Ford Madox Ford, Marcel Proust, Gertrude Stein Alexander Scriabin, Edgar Varèse, George Antheil

28 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: 1.interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; 2.tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; 3.dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

29 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

30 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Caccia all’intruso ???

31 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Che cos’è un segmento? Che cos’è una retta? Segmento AB = il più breve tra tutti i percorsi che congiungono A e B

32 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Le rette del mappamondo…

33 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 …e le rotte degli aerei

34 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 …e le rotte degli aerei

35 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Caccia all’intruso - seguito

36 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Infinito vs illimitato Nozione topologica Nozione metrica

37 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Formalizzando: modello della sfera - S 2 (geometria ellittica doppia)

38 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Geometria dello sputo

39 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Teoremi immediati della geometria sferica tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita 2π; il piano della geometria sferica ha area finita 4π; le perpendicolari a una stessa retta s si incontrano in due punti, tra loro antipodali, che chiamiamo poli della retta s;

40 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Triangoli gonfi

41 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Triangoli gonfi

42 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Niente similitudini! Teorema dell’eccesso di Gauss: Area ( )= α + β + γ - π

43 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Calcolo dell’area di un triangolo sferico

44 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008

45 E Pitagora?

46 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 L’universo di Riemann…

47 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 …e quello di Dante!

48 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Prospettiva sferica

49 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008 Modello della semisfera - B 2 (geometria ellittica singola)


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