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Appunti di Logica Binaria Algebra di Boole Regole di inferenza Paradossi Tutti i cretesi mentono! Epimenide di Creta (VI secolo a.C.)

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Presentazione sul tema: "Appunti di Logica Binaria Algebra di Boole Regole di inferenza Paradossi Tutti i cretesi mentono! Epimenide di Creta (VI secolo a.C.)"— Transcript della presentazione:

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2 Appunti di Logica Binaria Algebra di Boole Regole di inferenza Paradossi Tutti i cretesi mentono! Epimenide di Creta (VI secolo a.C.)

3 Vero e falso: logica binaria Una proposizione è una formula ben formata di un linguaggio, che può essere vera oppure falsa; non esiste una terza possibilità, o, come dicono i filosofi: TERTIUM NON DATUR

4 La negazione NOT Se P è una proposizione, si danno due casi possibili: P VERO P FALSO Di conseguenza, per la negazione di P si avranno pure 2 casi corrispondenti: NOT P FALSO NOT P VERO NOT È UN OPERATORE BOOLEANO UNARIO

5 OPERATORI BOOLEANI BINARI Saranno ora definito gli operatori Booleani binari: ANDcongiunzione ORdisgiunzione inclusiva XORdisgiunzione esclusiva implicazione logica doppia implicazione

6 La congiunzione AND Date due proposizioni P e Q loperatore AND permette di costruire una nuova proposizione P AND Q che sarà VERA solo se P e Q sono entrambe vere.

7 La congiunzione AND Date due proposizioni P e Q loperatore AND permette di costruire una nuova proposizione P AND Q che sarà VERA solo se P e Q sono entrambe vere. PQP AND Q VVV V FF FVF FFF

8 La disgiunzione inclusiva OR Date due proposizioni P e Q loperatore OR permette di costruire una nuova proposizione P OR Q che sarà FALSA solo se P e Q sono entrambe false.

9 La disgiunzione inclusiva OR Date due proposizioni P e Q loperatore OR permette di costruire una nuova proposizione P OR Q che sarà FALSA solo se P e Q sono entrambe false. PQP OR Q VVV V FV FVV FFF

10 La disgiunzione esclusiva XOR Date due proposizioni P e Q loperatore XOR permette di costruire una nuova proposizione P XOR Q che sarà VERA quando P e Q hanno valori diversi.

11 La disgiunzione esclusiva XOR Date due proposizioni P e Q loperatore XOR permette di costruire una nuova proposizione P XOR Q che sarà VERA quando P e Q hanno valori diversi. PQP XOR Q VVF V FV FVV FFF

12 Limplicazione logica Date due proposizioni P e Q loperatore permette di costruire una nuova proposizione P Q che sarà FALSA solo se P è vera e Q è falsa.

13 Limplicazione logica Date due proposizioni P e Q loperatore permette di costruire una nuova proposizione P Q che sarà FALSA solo se P è vera e Q è falsa. PQ P Q VVV V FF FVV FFV P Q si legge P implica Q oppure Se P allora Q

14 La doppia implicazione Date due proposizioni P e Q loperatore permette di costruire una nuova proposizione P Q che sarà VERA solo se P e Q hanno valori uguali.

15 La doppia implicazione Date due proposizioni P e Q loperatore permette di costruire una nuova proposizione P Q che sarà VERA solo se P e Q hanno valori uguali. PQ P Q VVV V FF FVF FFV P Q SI LEGGE P coimplica Q oppure P se e solo se Q

16 TAVOLE DI VERITÀ Per calcolare i valori di verità di una proposizione non elementare come: (P AND Q) OR (NOT P AND NOT Q)

17 TAVOLE DI VERITÀ … si assegnano i valori di ingresso alle varie occorrenze di P e di Q (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q)

18 TAVOLE DI VERITÀ … si assegnano i valori di ingresso alle varie occorrenze di P e di Q (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) V V F F

19 TAVOLE DI VERITÀ … si assegnano i valori di ingresso alle varie occorrenze di P e di Q (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VV VF FV FV

20 TAVOLE DI VERITÀ … si assegnano i valori di ingresso alle varie occorrenze di P e di Q (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VVF VFF FVV FVV

21 TAVOLE DI VERITÀ … si assegnano i valori di ingresso alle varie occorrenze di P e di Q (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VVFF VFFV FVVF FVVV

22 TAVOLE DI VERITÀ … si calcolano poi i valori del primo AND e si cancellano le colonne dei valori usati (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VVVFF VFFFV FFVVF FFVVV

23 TAVOLE DI VERITÀ … si opera allo stesso modo con il secondo AND (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VVVFFF VFFFFV FFVVFF FFVVVV

24 TAVOLE DI VERITÀ … si calcola infine OR utilizzando come valori di ingresso le due colonne rimaste… (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VVVVFFF VFFFFFV FFVFVFF FFVVVVV

25 TAVOLE DI VERITÀ … sotto OR, che è il connettivo principale troviamo la tavola di verità della proposizione. (PANDQ)OR(NOT PANDNOT Q) VVVVFFF VFFFFFV FFVFVFF FFVVVVV

26 TAUTOLOGIE… Una proposizione vera per tutti i valori di ingresso è detta TAUTOLOGIA. (P Q) (NOT Q NOT P) VVVVFVF VFFVVFF FVVVFVV FVFVVVV

27 … E CONTRADDIZIONI Una proposizione falsa per tutti i valori di ingresso è detta CONTRADDIZIONE (PANDNOT P) VFF FFV

28 REGOLE DI INFERENZA Consideriamo 2 importanti tautologie: ((P Q) AND P) Q MODUS PONENS ((P Q) AND NOT Q) NOT P MODUS TOLLENS

29 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDP) Q MODUS PONENS

30 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDP) Q VV VV FF FF MODUS PONENS

31 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDP) Q VVVV VFVF FVFV FFFF MODUS PONENS

32 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDP) Q VVVVV VFFVF FVVFV FVFFF MODUS PONENS

33 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDP) Q VVVVVV VFFFVF FVVFFV FVFFFF MODUS PONENS

34 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDP) Q VVVVVVV VFFFVVF FVVFFVV FVFFFVF TAUTOLOGIA MODUS PONENS

35 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDNOT Q) NOT P MODUS TOLLENS

36 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDNOT Q) NOT P VF VF FV FV MODUS TOLLENS

37 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDNOT Q) NOT P VVFF VFVF FVFV FFVV MODUS TOLLENS

38 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDNOT Q) NOT P VVVFF VFFVF FVVFV FVFVV MODUS TOLLENS

39 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDNOT Q) NOT P VVVFFF VFFFVF FVVFFV FVFVVV MODUS TOLLENS

40 Esercizi: dimostrare le due tautologie. ((P Q)ANDNOT Q) NOT P VVVFFVF VFFFVVF FVVFFVV FVFVVVV TAUTOLOGIA MODUS TOLLENS

41 IL MODUS PONENS Il significato della prima tautologia è il seguente: Se ogni volta che accade un certo evento P allora accade anche un certo evento Q (ossia P è causa di Q) E io so che un evento P è realmente accaduto Allora posso inferire (= dedurre) che è avvenuto anche levento Q

42 IL MODUS TOLLENS Il significato della seconda tautologia è il seguente: Se ogni volta che accade un certo evento P allora accade anche un certo evento Q (ossia P è causa di Q) E io so che levento Q non è accaduto Allora posso inferire (= dedurre) che non è avvenuto neppure levento P

43 QUINDI …. Alla base della logica matematica ci sono: Le regole di composizione di proposizioni elementari per la costruzione di proposizioni complesse Il calcolo dei valori di verità delle proposizioni complesse Un ruolo importante è svolto dalle tautologie, che sono sempre vere, e dalle contraddizioni, che sono sempre false.

44 Teorie Ipotetico-Deduttive In una teoria ipotetico-deduttiva sono date alcune proposizioni iniziali (ASSIOMI) dalle quali, attraverso le regole di inferenza, potranno essere DEDOTTE nuove proposizioni (TEOREMI) attraverso procedure di DIMOSTRAZIONE che sono una applicazione del MODUS PONENS e del MODUS TOLLENS. Ma non sempre le cose vanno come ci aspettiamo …

45 Teorie non-contraddittorie Vediamo ora cosa accade se in una teoria è presente una contraddizione: sia F una proposizione sempre falsa. Allora F Q sarà una TAUTOLOGIA, qualunque cosa ci sia al posto di Q (una implicazione con antecedente falso è sempre vera!). Quindi, applicando la regola di inferenza detta Modus Ponens, si deduce che Q è vera. In sostanza, nella teoria che contiene una dimostrazione, TUTTE LE PROPOSIZIONI SONO VERE! (e anche le negazioni di tutte le proposizioni lo sono)

46 I Paradossi Una situazione analoga si ha con i paradossi Un paradosso è una proposizione P tale che Se P è vera, allora P è falsa Se P è falsa, allora P è vera. Ossia P è vera se e solo se P è falsa! Esaminiamo, per concludere, un paradosso famoso e un paradosso divertente

47 Epimenide di Creta afferma: Tutti i cretesi mentono Se Epimenide, che è cretese, dice il vero, allora sta mentendo Se Epimenide sta mentendo, allora dice il vero Più semplicemente potrei dire: IO STO MENTENDO Se dico il vero, allora sto mentendo, ma Se sto mentendo, allora ciò che dico è falso e dunque non sto mentendo, ossia dico il vero.

48 Il paradosso del Barbiere Bertrand Russell Un generale ordina al barbiere della caserma (che è un soldato) di radere tutti e soli i soldati che non si radono da sé. Il barbiere deve radersi o no? Se si rade, allora non deve radersi. Ma se non si rade, allora deve radersi …

49 Il Ponte dei Bugiardi Pierino è un bugiardo. Un giorno suo padre, stanco delle bugie, lo conduce davanti a un ponte e gli dice: Questo è il ponte dei bugiardi, se un mentitore lo attraversa, crolla! Pierino, spaventato, giura di non dire più bugie, e torna a casa. Il padre attraversa il ponte, e il ponte crolla. Infatti il padre è un mentitore: IL PONTE DEI BUGIARDI NON ESISTE!

50 Il paradosso dellavvocato In Academica (II, 95) Cicerone ( a.C.) racconta il seguente caso, attribuito agli stoici. Il filosofo Protagora accettò di avere come studente di legge un ragazzo che non poteva permettersi di pagarlo subito, con la clausola che egli l'avrebbe pagato dopo aver vinto la sua prima causa. Poiché, dopo gli studi, lo studente non si decideva a praticare l'avvocatura e quindi non lo pagava, Protagora lo citò in giudizio. Lo studente, che non poteva permettersi un avvocato, decise di difendersi da solo.

51 Il paradosso dellavvocato Protagora sosteneva che, se avesse vinto la causa, avrebbe dovuto essere pagato in base alla sentenza. E se avesse perso, avrebbe dovuto essere pagato in base all'accordo. Quindi, in ogni caso, doveva essere pagato! Lo studente sosteneva che, se avesse vinto la causa, non avrebbe dovuto pagare in base alla sentenza. E se avesse perso, non avrebbe dovuto pagare in base all'accordo. Quindi, in ogni caso, non doveva pagare!

52 Conclusione paradossale Non ho niente da dire, e lo sto dicendo! John Cage


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