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Cap. 5 I segmenti. Definizione Dal vocabolario sappiamo che segmento significa Porzione, parte di un corpo, di un organo, di un oggetto Se lo troviamo.

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1 Cap. 5 I segmenti

2 Definizione Dal vocabolario sappiamo che segmento significa Porzione, parte di un corpo, di un organo, di un oggetto Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una parte di qualcosa che abbiamo già studiato. Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B I due punti individuano un parte di retta Si dice segmento una porzione di retta delimitata da due punti detti estremi del segmento I segmenti si indicano con una lettera minuscola

3 Segmenti consecutivi Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa significa consecutivo? Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa significa consecutivo? Consecutivi sono degli eventi od elementi che vengono uno dietro laltro Consecutivi sono degli eventi od elementi che vengono uno dietro laltro Perciò anche i segmenti consecutivi debbono venire uno dietro laltro Perciò anche i segmenti consecutivi debbono venire uno dietro laltro Consideriamo i segmenti AB e CD sono consecutivi? Consideriamo i segmenti AB e CD sono consecutivi? Per rispondere facciamo la seguente considerazione: una formica può andare a D ad A senza toccare il piano Per rispondere facciamo la seguente considerazione: una formica può andare a D ad A senza toccare il piano A B C D La risposta è no perché cè una discontinuità (un intervallo) fra i due segmenti discontinuità

4 Per ripristinare questa continuità debbo far coincidere due estremi Come si vede gli estremi B e C vanno a coincidere Definiamo consecutivi due segmenti che hanno un estremo in comune A BC D Segmenti consecutivi

5 Spezzata A cosa vi fa pensare una spezzata? Qualcosa che si rompe in tanti pezzi A me dà lidea di un spaghetto che si rompe Se noi rompiamo uno spaghetto e manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo lidea della spezzata In pratica la spezzata è data dallunione di tanti segmenti uno consecutivi allaltro D B C AE F

6 Elementi di una pezzata D B C AE F estremi vertici I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzata I punti che uniscono i segmenti consecutivi prendono il nome di vertici della spezzata I segmenti consecutivi che formano la spezzata prendono il nome di lati della spezzata lati

7 Tipi di spezzata Spezzata aperta semplice Spezzata aperta semplice Spezzata aperta intrecciata Spezzata aperta intrecciata Spezzata chiusa semplice Spezzata chiusa semplice Spezzata chiusa intrecciata Spezzata chiusa intrecciata

8 Spezzata aperta Una spezzata si dice aperta semplice se i suoi estremi non coincidono Una spezzata aperta (con gli estremi che non coincidono) si dice intrecciata quando ha due o più lati che si intersecano Spezzata aperta Spezzata aperta intrecciata

9 Spezzata Chiusa Una spezzata semplice si dice chiusa se i suoi estremi coincidono Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si intersecano Spezzata semplice chiusa Spezzata chiusa intrecciata p

10 Segmenti a a a a a dddd iiii aaaa cccc eeee nnnn tttt iiiiDue segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e se giacciono sulla stessa retta r A BC Segmenti adiacenti Contributo esterno

11 Confronto di segmenti Confrontare: Mettere di fronte persone o cose, per conoscerne la somiglianza, le affinità, le differenze Confrontare: Mettere di fronte persone o cose, per conoscerne la somiglianza, le affinità, le differenze Confrontare Nel nostro caso, siccome i segmenti si assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle differenze di lunghezza Nel nostro caso, siccome i segmenti si assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle differenze di lunghezza Confrontare due segmenti si riduce quindi a vedere quale è maggiore, quale minore o verificare se sono uguali Confrontare due segmenti si riduce quindi a vedere quale è maggiore, quale minore o verificare se sono uguali

12 Segmento maggiore di un altro Consideriamo i segmenti AB e CD Consideriamo i segmenti AB e CD Facciamo coincidere gli estremi di inizio e vediamo cosa succede Facciamo coincidere gli estremi di inizio e vediamo cosa succede Si vede che AB è maggiore di CD Si vede che AB è maggiore di CD AB C DUn segmento è maggiore di un altro quando facendo coincidere linizio dei due segmenti lestremo del secondo segmento cade allinterno del primo

13 Segmento minore di un altro Consideriamo i segmenti AB e CD Consideriamo i segmenti AB e CD Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede Si vede che AB è minore di CD Si vede che AB è minore di CD AB C DUn segmento è minore di un altro quando facendo coincidere linizio dei due segmenti lestremo del secondo segmento cade allesterno del primo

14 Segmenti c c c c c oooo nnnn gggg rrrr uuuu eeee nnnn tttt iiii Consideriamo i segmenti AB e CD Consideriamo i segmenti AB e CD Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede Si vede che AB è uguale a CD Si vede che AB è uguale a CD AB CDUn segmento è congruente ad un altro quando facendo coincidere linizio dei due segmenti lestremo del secondo coincide con lestremo del primo

15 Somma di segmenti Per sommare due segmenti occorre metterli uno dopo laltro facendo coincidere linizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti Consideriamo i segmenti AB e CD Facciamo coincidere B con C Otteniamo il segmento AD Tale segmento è la somma di AB + CD AD = AB + CD AB CD

16 Differenza di segmenti Consideriamo i segmenti AB e CD con AB maggiore di CD Consideriamo i segmenti AB e CD con AB maggiore di CD Facciamo coincidere A con C Facciamo coincidere A con C Otteniamo il segmento DB Otteniamo il segmento DB Tale segmento è la differenza di AB – CD Tale segmento è la differenza di AB – CD DB = AB – CD DB = AB – CD AB CD Per sottrarre due segmenti occorre far coincidere linizio dei due segmenti, la differenza sarà data da quel segmento che sommato al secondo riproduce il primo

17 MMMM uuuu llll tttt iiii pppp llll oooo di un segmento Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un numero intero di volte qualcosaltro Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se lo contiene un numero intero di volte Consideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BC AD = 4 x BC A D C D

18 SSSS oooo tttt tttt oooo mmmm uuuu llll tttt iiii pppp llll oooo di un segmento Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è contenuta un numero intero di volte qualcosaltro Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un altro se questo lo contiene un numero intero di volte Consideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BC BC = AD : 4 A D C D

19 Punto medio di un segmento Medio significa ciò che è nel mezzo tra due estremi Riferito ad un segmento sarà quel punto che è equidistante (cioè che ha la stessa distanza) dagli estremi Il punto medio di un segmento è quel punto che lo divide in due parti congruenti A B M

20 Problema 1 La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare i due segmenti La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare i due segmenti Differenza 5 cm Cosa succede se elimino questa differenza? Rimangono due segmenti uguali (a e b) a b La cui somma è eliminato Se a = b sarà anche a + b = b + b = 2b Da cui s Ed infine c a = 15 cm e c = 5 cm perciò

21 La somma di due segmenti a e b è 65 cm la loro differenza è di 15 cm trovare i due segmenti La somma di due segmenti a e b è 65 cm la loro differenza è di 15 cm trovare i due segmenti a + b = 65 cm a + b = 65 cm a – b = 15 cm a – b = 15 cm Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm b = 50 cm : 2 = 25 cm b = 50 cm : 2 = 25 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cm

22 La somma di due segmenti a e b è 65 cm la uno supera latro di 15 cm trovare i due segmenti (problema uguale al precedente, se uno supera laltro significa che cè una differenza fra i due) a + b = 65 cm a = b + 15 cm Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm b = 50 cm : 2 = 25 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cm

23 La somma di due segmenti è 60 cm uno è il triplo dellaltro. Trovare la lunghezza dei due segmenti Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u Laltro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u La loro somma sarà CD + AB = 4u Il tutto con una lunghezza di 60 cm Cioè 4u = 60 cm …. Cosa debbo fare per sapere quanto vale u (cioè uno dei due segmenti di cui si vuole conoscere il valore?) u uuu AB CD3u 60 cm AB = 15 cm CD = 3 u = 3 x 15 cm = 45 cm

24 La somma di due segmenti è di 37,5 cm uno è il quadruplo dellaltro. Trovare la lunghezza dei due segmenti AB = uCD = 4 u AB + CD = u + 4 u = 5 u 5u = 37,5 cm u = 37, 5 cm : 5 = 7,5 cm AB = 7,5 cm CD = 7,5 cm x 4 =30 cm CD = 30 cm È uguale a perché

25 la differenza di due segmenti è 42 cm uno è il triplo dellaltro, trovare la lunghezza dei due segmenti u uuu AB CD3u 42 cm Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u Laltro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u CA = CD – AB = 3u – u = 2u 2u = 42 cm u = 42cm : 2 = 21 cm AB = 21 cm CD = 3 x AB = 3 x 21 cm = 63 cm CD = 63 cm 2u

26 La differenza di due segmenti è 64 cm uno è il quintuplo dellaltro AB = u CD = 5 u CA = CD – AB = 5u – u = 4 u CA = 4u = 64 cm u = 64 cm : 4 = 16 cm AB = 16 cm CD = 5 x u = 5 x 16 cm = 80 cm CD = 80 cm 80 cm


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