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Cap. 6 Gli angoli. Definizione di angolo Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi unorigine in comune O Consideriamo un piano α e due semirette.

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1 Cap. 6 Gli angoli

2 Definizione di angolo Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi unorigine in comune O Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi unorigine in comune O Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette Angolo

3 Elementi di un angolo Consideriamo langolo mostrato in figura Definiamo vertice il punto di origine delle due semirette a e b sono i lati dellangolo α è lampiezza dellangolo ed è lunica dimensione che lo caratterizza

4 Angoli concavi e convessi Dalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti Definiamo convesso langolo che non contiene il prolungamento dei sui lati cioè langolo Definiamo concavo langolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè langolo

5 Angoli consecutivi Litaliano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi Cosa significa consecutivo? Una cosa è consecutiva ad unaltra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo? Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune e sono consecutivi perché il hanno in comune il vertice B e il lato b

6 Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

7 Angoli opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice Opposto è ciò che sta dallaltra parte rispetto a qualche cosa; questo qualche cosa si comporta come uno specchio Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un angolo Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il vertice in comune …. Ma ciò non basta Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si comporta come uno specchio Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dellaltro Due angoli opposti al vertice sono congruenti = Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono angoli opposti al vertice; O non si comporta come uno specchio Questi due angoli hanno il vertice in comune e sono angoli opposti al vertice; O si comporta come uno specchio.

8 Bisettrice A O A1A1 Consideriamo langolo AOA 1 Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà Tale retta prende il nome di bisettrice A Definiamo bisettrice di un angolo la semiretta che partendo dal suo vertice O lo divide in due parti uguali bisettrice

9 Confronto di angoli Per confrontare due angoli basta far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede Per confrontare due angoli basta far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: che è simile, che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: che è simile, che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore Se sposto il lato O 1 A 1 e lo faccio coincidere con OA posso confrontare i due angoli Se sposto il lato O 1 A 1 e lo faccio coincidere con OA posso confrontare i due angoli Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale allaltro Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale allaltro

10 Angolo maggiore di unaltro Consideriamo le due figure precedenti Consideriamo le due figure precedenti Comè langolo AOB rispetto allangolo AOB Comè langolo AOB rispetto allangolo AOB Quando li sovrappongo vedo che il alto c cade allinterno dellangolo AOB Quando li sovrappongo vedo che il alto c cade allinterno dellangolo AOB In questo caso avremmo che langolo AOB > AOC In questo caso avremmo che langolo AOB > AOC Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che laltro lato del secondo angolo cade allinterno del primo Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che laltro lato del secondo angolo cade allinterno del primo

11 Angolo minore di unaltro Consideriamo i seguenti due angoli AOB e AOC Consideriamo i seguenti due angoli AOB e AOC Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c cade allesterno del lato AOB Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c cade allesterno del lato AOB In questo caso avremmo che AOB < AOC In questo caso avremmo che AOB < AOC Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che laltro lato del secondo angolo cade allesterno del primo Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che laltro lato del secondo angolo cade allesterno del primo

12 Angoli congruenti Consideriamo i seguenti due angoli AOB e AOC Consideriamo i seguenti due angoli AOB e AOC Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c coincide col lato b Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c coincide col lato b Perciò si ha che AOB = AOC Perciò si ha che AOB = AOC Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha che laltro lato del secondo angolo coincide col suo omologo del primo Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha che laltro lato del secondo angolo coincide col suo omologo del primo

13 Tipi di angoli Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare) 1. A ngolo giro 2. A ngolo piatto 3. A ngolo retto 4. A ngolo acuto 5. A ngolo ottuso

14 Angolo giro Cosa succede se i due lati dellangolo coincidono? Langolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima Chiamiamo questo angolo angolo giro

15 Angolo piatto Definiamo Piatto langolo formato da due semirette che sono una il prolungamento dellaltra cioè che giacciono sulla stessa retta La sua ampiezza è la metà dellangolo giro

16 Angolo Retto Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice Tale bisettrice divide langolo in due parti uguali Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dellangolo piatto

17 Angoli acuti Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto Angolo acuto

18 Angolo ottuso Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto

19 Somma di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD Per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso) AOD è la somma fra langolo AOB e langolo CKD AOB + CKD = AOD γ = α + β A O B C K D A O B C K D

20 Differenza di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD Per fare la differenza di due angoli faccio coincidere i lati omologhi e i due vertici Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa posizione (stesso colore nella figura) DOB è la differenza fra langolo AOB e langolo CKD AOB – CKD = DOB γ = α - β A O B C K D A O B C K D

21 Sottomultipli di angoli Prendiamo langolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali Prendiamo langolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali Comè langolo AOC rispetto allangolo AOB? Comè langolo AOC rispetto allangolo AOB? Sapendo che per definizione langolo AOC è contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo? Sapendo che per definizione langolo AOC è contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo? Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo sottomultiplo Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo sottomultiplo Quando un angolo è sottomultiplo di un altro? Quando un angolo è sottomultiplo di un altro? Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte

22 Multipli di un angolo Quante volte AOB contiene AOC? Quante volte AOB contiene AOC? Tre volte per definizione (perché ho fatto loperazione di dividere langolo in tre parti uguali e quindi lho definito in partenza) Tre volte per definizione (perché ho fatto loperazione di dividere langolo in tre parti uguali e quindi lho definito in partenza) Come sarà AOB rispetto ad AOC? Come sarà AOB rispetto ad AOC? Sarà un suo multiplo Sarà un suo multiplo Quando un angolo è multiplo di un altro? Quando un angolo è multiplo di un altro? Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte α β :n x n è multiplo di β perché lo contiene n volte: β è sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α

23 Angoli complementari Consideriamo due angoli AOB e COD Consideriamo due angoli AOB e COD Proviamo a sommare questi due angoli Proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo retto Dalla somma è uscito un angolo retto Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto

24 Angoli supplementari Consideriamo due angoli AOB e COD e proviamo a sommare questi due angoli Consideriamo due angoli AOB e COD e proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo piatto Dalla somma è uscito un angolo piatto Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto

25 Angoli esplementari Consideriamo due angoli AOB e CKD Consideriamo due angoli AOB e CKD Proviamo a sommare questi due angoli Proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo giro Due Angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro


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